Elaborazione Numerica dei Segnali

8.3. Progetto di Filtri Digitali 171
Per le finestre considerate, la funzione WN(eiω ) può essere approssimata con funzioni
della famiglia G∆,a(ω) (con ∆ e a reali positivi), mostrata in Figura 8.11 assieme al grafico
della risposta in frequenza del filtro ideale passa-basso:
⎧
1+a ⎪⎨ ∆ , se |ω| ≤ ∆
G∆,a(ω) = −
⎪⎩
a
∆ , se ∆ < |ω| ≤ 2∆
0, se |ω| > 2∆.
1
H ( ω)
d
−π -1
1 π
ω
−π
a
∆
1+a
∆
Figura 8.11 Grafico delle funzioni Hd(ω) e G∆,a(ω).
∆
2∆
G ( ω)
∆, a
In altre parole, G∆,a(ω) è composta da un lobo rettangolare centrale di altezza 1+a
∆ e
base 2∆ e da due lobi laterali, anch’essi rettangolari, di altezza a e base ∆; siamo qui
interessati a studiare il caso 0 < a ≪ 1, per cui vale che a ≈
Esempio 8.3.2
Per la finestra rettangolare vale:
RETTN(ω) =
N
e iωn =
n=0
∆
∆
|altezza lobo laterale|
|altezza lobo centrale| .
1 − eiωn
N−1 sin(ωN/2)
= e−iω 2
1 − eiω sin(ω/2)
A meno di una variazione di fase, il grafico della funzione sin(ωN/2)
sin(ω/2)
π
è mostrato in
Figura 8.12. Trascurando i lobi laterali ad eccezione dei tre lobi centrali, possiamo
approssimare la funzione sin(ωN/2)
sin(ω/2) con G∆,a(ω) (come mostrato nella figura), dove
∆ = 2π
N
2
3πN. e a ≈ 2
3
π, poiché l’altezza del lobo centrale è N e quella dei lobi laterali è
Le principali caratteristiche delle varie finestre, che permettono di approssimare le
risposte in frequenza con una funzione del tipo G∆,a(ω) sono elencate nelle Tabella 8.2
La convoluzione HN(e iω ) = Hd(e iω ) ∗ G∆,a(ω) può essere facilmente calcolata e risulta
essere la funzione lineare a pezzi di Figura 8.13. Dal grafico precedente osserviamo che il
filtro passa-basso ideale viene approssimato da un filtro che ha le seguenti caratteristiche:
ω