Elaborazione Numerica dei Segnali

170 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR)
Tabella 8.1 Ampiezza delle oscillazioni in banda passante e proibita e l’ampiezza della
banda di transizione (normalizzata) di alcune finestre.
Finestra Osc. Ap (dB) Att. As (dB) Amp. trans. (Hz)
Rettangolare 0.74 21 1/N
Hanning 0.05 44 3.1/N
Hamming 0.02 53 3.3/N
Dalla Tabella 8.1 si evince che solo la finestra di Hamming permette un’attenuazione
di almeno 50 dB.
L’ampiezza della banda di transizione, normalizzata alla frequenza di campionamento,
risulta ∆ω = (650 − 500)/3000 = 0.05; riferendoci alla Tabella 8.1 possimo concludere
che la finestra di Hamming con dimensione N = 67 > 3.3/0.05 soddisfa i vincoli dello
schema di tolleranza. Tali coefficienti risultano allora ottenibili dalla finestra:
0.54 + 0.46 cos
w(n) =
2πn
N , se |n| ≤ 33
0, altrimenti.
Analisi del fenomeno di Gibbs
In questa sottosezione diamo una spiegazione qualitativa dei due fenomeni precedentemente
rilevati:
1. HN(e iω ) ha una banda di transizione non nulla, la cui ampiezza converge a 0 quando
N diverge;
2. |HN(e iω )| presenta delle oscillazioni, sia in banda passante sia in banda proibita, di
ampiezza massima indipendente dalla dimensione temporale N della finestra.
Poiché il filtro hN (n) ottenuto trattando il filtro desiderato hd(n) con la finestra wN(n)
è tale che
hN(n) = wN(n)hd(n),
dal teorema di convoluzione si ottiene
HN(e iω ) = Hd(e iω ) ∗ WN(e iω ),
dove Hd(e iω ) è la risposta in frequenza di un filtro passa-basso desiderato e WN(e iω ) è la
risposta in frequenza della finestra wN(n).