Elaborazione Numerica dei Segnali

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168 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR) un filtro passa-basso ideale caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza: Hd(e iω 1, se |ω| ≤ 1 ) = 0, se 1 < |ω| ≤ π. Denotiamo con HN(e iω ) la risposta in frequenza del filtro hN (n). Si possono osservare due fenomeni, di cui in seguito daremo spiegazione: 1. HN(e iω ) ha una banda di transizione non nulla, la cui ampiezza converge a 0 quando N diverge; 2. |HN(e iω )| presenta delle oscillazioni, sia in banda passante sia in banda proibita, la cui ampiezza massima è circa 0.2, indipendentemente dalla dimensione temporale N della finestra. Il secondo fenomeno è particolarmente negativo, ed è collegato al tipo di convergenza della serie di Fourier (fenomeno di Gibbs); esso tuttavia può essere limitato, anche se non completamente eliminato, scegliendo finestre wN(n) diverse dalla finestra rettangolare. Tali finestre non dovranno avere discontinuità come quella rettangolare, dovranno essere diverse da 0 nell’intervallo −(N − 1)/2 ≤ n ≤ (N − 1)/2 e dovranno essere simmetriche rispetto all’origine. La relazione tra il filtro desiderato e il filtro FIR ottenuto con la finestra wN(n) è allora: hN(n) = wN(n)hd(n). (8.2) Esempi di finestre comunemente usate oltre alla finestra rettangolare sono elencate di seguito. Finestra Triangolare (o Bartlett): Finestra di Hanning: Finestra di Hamming: wN(n) = 1 + 2n N 1 − 2n N , se − (N − 1)/2 ≤ n < 0 , se 0 ≤ n ≤ (N − 1)/2. wN(n) = 1 1 + cos 2 2πn , |n| ≤ (N − 1)/2. N wN(n) = 0.54 + 0.46 cos 2πn , |n| ≤ (N − 1)/2. N Kaiser ha inoltre proposto una famiglia di finestre kN (n, ωa), parametrizzata da ωa. La Figura 8.10 illustra il grafico delle finestre sopra elencate. La progettazione mediante finestre richiede di operare due scelte:
8.3. Progetto di Filtri Digitali 169 1 N−1 2 Kaiser 1. il tipo di finestra, Rettangolare Hanning 0 w(n) Hamming Triangolare N−1 2 Figura 8.10 Finestre comunemente usate per il progetto di filtri FIR. 2. la dimensione N dell’intervallo. Le scelte progettuali sono legate alle seguenti considerazioni: 1. la massima ampiezza delle oscillazioni in banda passante e proibita dipende dal tipo di finestra ma non dipende da N; 2. l’ampiezza della banda di transizione è inversamente proporzionale ad N, con coefficiente di proporzionalità dipendente dal tipo di finestra. La Tabella 8.1 riporta l’ampiezza delle oscillazioni in banda passante e proibita e l’ampiezza della banda di transizione (normalizzata alla frequenza di campionamento) per la finestra rettangolare, quella Hanning e quella di Hamming. Esempio 8.3.1 Vogliamo determinare col metodo delle finestre i coefficienti di un filtro FIR, che verifica il seguente schema di tolleranza: banda passante ωc 500 Hz banda proibita ωs 650 Hz attenuazione (banda proibita) As 50 dB oscillazione (banda passanta) Ap 0.05 dB frequenza di campionamento ω0 3 KHz n
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