Elaborazione Numerica dei Segnali

168 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR)
un filtro passa-basso ideale caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza:
Hd(e iω
1, se |ω| ≤ 1
) =
0, se 1 < |ω| ≤ π.
Denotiamo con HN(e iω ) la risposta in frequenza del filtro hN (n). Si possono osservare
due fenomeni, di cui in seguito daremo spiegazione:
1. HN(e iω ) ha una banda di transizione non nulla, la cui ampiezza converge a 0 quando
N diverge;
2. |HN(e iω )| presenta delle oscillazioni, sia in banda passante sia in banda proibita, la
cui ampiezza massima è circa 0.2, indipendentemente dalla dimensione temporale N
della finestra.
Il secondo fenomeno è particolarmente negativo, ed è collegato al tipo di convergenza
della serie di Fourier (fenomeno di Gibbs); esso tuttavia può essere limitato, anche se non
completamente eliminato, scegliendo finestre wN(n) diverse dalla finestra rettangolare.
Tali finestre non dovranno avere discontinuità come quella rettangolare, dovranno essere
diverse da 0 nell’intervallo −(N − 1)/2 ≤ n ≤ (N − 1)/2 e dovranno essere simmetriche
rispetto all’origine.
La relazione tra il filtro desiderato e il filtro FIR ottenuto con la finestra wN(n) è
allora:
hN(n) = wN(n)hd(n). (8.2)
Esempi di finestre comunemente usate oltre alla finestra rettangolare sono elencate di
seguito.
Finestra Triangolare (o Bartlett):
Finestra di Hanning:
Finestra di Hamming:
wN(n) =
1 + 2n
N
1 − 2n
N
, se − (N − 1)/2 ≤ n < 0
, se 0 ≤ n ≤ (N − 1)/2.
wN(n) = 1
1 + cos
2
2πn
, |n| ≤ (N − 1)/2.
N
wN(n) = 0.54 + 0.46 cos 2πn
, |n| ≤ (N − 1)/2.
N
Kaiser ha inoltre proposto una famiglia di finestre kN (n, ωa), parametrizzata da ωa. La
Figura 8.10 illustra il grafico delle finestre sopra elencate.
La progettazione mediante finestre richiede di operare due scelte: