Elaborazione Numerica dei Segnali

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164 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR) 8.2.3 Equalizzatore a un Polo Come abbiamo visto in Sezione 4.5, un convertitore digitale-analogico ZOH ha una risposta in frequenza che diminuisce le ampiezze delle componenti alle frequenze più alte. Molti sistemi contengono allora un equalizzatore che compensa la distorsione del segnale creata dal convertitore. In Figura 8.7 riportiamo sia il guadagno del DAC (linea tratteggiata) sia il guadagno di un equalizzatore ideale. 1 |H( ω)| 1.5 1 0.66 0 Figura 8.7 Risposta in frequenza ideale di un equalizzatore. In questo paragrafo costruiamo un semplice equalizzatore, il cui guadagno è una ragionevole approssimazione del guadagno dell’equalizzatore ideale. Si consideri il filtro con una funzione di trasferimento caratterizzata da un polo in z0 = α, con α reale. Si osservi che, perché il filtro sia stabile, deve essere −1 < α < 1. La funzione di trasferimento, fissata una costante A > 0, è: A H(z) = . 1 − αz−1 Di conseguenza, il guadagno di questo filtro risulta essere: |H(e iω A )| = 1 + α2 − 2α cos ω . Posto α = −0.14 e a = 1.13, la funzione di trasferimento di questo filtro è: 1.13 H(z) = . 1 + 0.14z−1 Tale filtro un filtro risulta essere un filtro IIR causale e stabile, definito dall’equazione: y(n) = 1.13x(n) − 0.14y(n − 1). Il suo guadagno, almeno per |ω| < 3 4π, è una buona approssimazione del guadagno dell’equalizzatore ideale (con un errore inferiore a 0.01), come si può osservare dalla in Figura 8.8. Il filtro ottenuto risulta allora un buon equalizzatore per il DAC di tipo ZOH. π ω
8.3. Progetto di Filtri Digitali 165 H( ω) 1.5 1 0 Figura 8.8 Risposta in frequenza di un equalizzatore a un polo. 8.3 Progetto di Filtri Digitali Un filtro digitale è un sistema LTI a tempo discreto, realizzato con aritmetica a precisione finita. La progettazione di tali filtri richiede dunque tre passi principali: 1. Specificazione delle proprietà desiderate del filtro, ad esempio la frequenza di taglio per un filtro passa-basso; poiché i filtri ideali non sono realizzabili, ci dovremo tuttavia accontentare di una approssimazione e la specifica dovrà riguardare il livello di errore che riteniamo di poter tollerare. 2. Determinazione di un filtro che soddisfa le specifiche stesse; nel caso di un filtro FIR basterà ad esempio determinare i coefficienti che definiscono la sua risposta all’impulso, in un filtro IIR basterà determinare i coefficienti dell’equazione alle differenze finite che lo caratterizzano, oppure determinare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento. 3. Realizzazione del sistema con una rete a precisione finita, con eventuale implementazione su un DSP o su un circuito programmabile; è di particolare interesse in questa fase riuscire a controllare gli effetti della quantizzazione <strong>dei</strong> coefficienti del filtro imposti dall’uso di aritmetica a precisione finita. Di seguito vengono analizzati più in dettaglio i punti precedenti. 8.3.1 Specifiche di Filtri Digitali Le proprietà di un filtro digitale sono generalmente ben esprimibili nel dominio delle frequenze. In particolare, per filtri selettivi come filtri passa-basso o passa-banda, le specifiche possono essere date attraverso uno schema di tolleranza. Gli elementi principali di uno schema di tolleranza esemplificati per il filtro passa-basso si riferiscono al guadagno e sono (vedi Figura 8.9): 3 4 π π ω
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ii Indice 3.2.2 Filtri di Chebysche
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Capitolo 1 Segnali e Sistemi I conc
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