Elaborazione Numerica dei Segnali

8.2. Applicazioni di Filtri FIR e IIR 163
z p
z o
z* p
z* o
Figura 8.6 Poli e zeri di un filtro notch.
2. ω è “molto lontano” da ωnotch, cioè e iω − e iωnotch >> 0. In questo caso, ricordando
che z0 ≈ zp e che z ∗ 0 ≈ z∗ p, si ha:
|H(e iω )| = |eiω − z0|
|eiω − zp| · |eiω − z∗ 0 |
|eiω − z∗ ≈ 1 · 1 = 1 .
p|
Di conseguenza, il guadagno del filtro realizzato ha una forma del tipo disegnato in
Figura 8.5.
Esempio 8.2.2
Realizzare un filtro notch a frequenza normalizzata ωnotch.
Ponendo ad esempio zp = ρe iωnotch dove ρ ≈ 1 ma comunque ρ < 1, si ottiene la
funzione di trasferimento:
H(z) = 1 − z−1 cos ωnotch + z−2 1 − z−12ρ cos ωnotch + ρ2 .
z−2 Si ottiene quindi un filtro IIR realizzabile dalla seguente equazione:
y(n) = x(n) − 2 cos ωnotchx(n − 1) + x(n − 2) + 2ρ cos ωnotchy(n − 1) − ρ 2 y(n − a).
Una caratteristica importante dei filtri notch è la forma a V dell’intaglio: aumentando
la distanza tra il polo e lo zero tale V si “apre”. È allora conveniente che il polo e lo
zero siano più vicini possibile; un limite è dato tuttavia dall’errore di quantizzazione
dei coefficienti. L’analisi dell’effetto della quantizzazione è data nel paragrafo 8.4.5 :
possiamo qui osservare che la modifica dei coefficienti del filtro in genere si traduce in
un cambiamento delle posizioni dei poli e degli zeri, con risultati distruttivi che possono
portare alla instabilità del sistema se il polo non risulta più posizionato internamente al
cerchio unitario.