Elaborazione Numerica dei Segnali

158 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR)
h h
1 2
0 M+1 M−1 n 0
M+1
M−1
2
2
(a) (b)
Figura 8.1 Risposta all’impulso di un filtro a fase non lineare (a) e lineare (b).
8.1.2 Filtri IIR
Consideriamo ora un sistema LTI in cui la relazione ingresso-uscita verifica la seguente
equazione alle differenze finite:
L−1
aky(n − k) =
k=0
M−1
k=0
bky(n − k) (aL−1 = 0).
Osserviamo che se L = 1 l’equazione precedente definisce un filtro FIR.
Se invece L > 1, l’equazione precedente non è in grado di specificare univocamente
il sistema: passando infatti alle trasformate z e applicando la proprietà della traslazione
temporale, si ottiene:
Y (z) = H(z)X(z),
dove H(z) =
PM−1 k=0 bkz−k PL−1 k=0
akz −k e X(z), Y (z) sono le trasformate z rispettivamente di x(n) e
y(n). Poiché H(z) è una funzione razionale in z −1 dotata di poli distinti da 0, possiamo
descrivere più sistemi caratterizzati dalla stessa funzione H(z) ma aventi diverse corone
di convergenza. Solo uno di essi tuttavia, e cioè quello contenente ∞, è causale. Possiamo
allora dare la seguente:
Definizione 8.1 Un filtro IIR (Infinite Impulse Response) è un sistema LTI causale tale
che la relazione ingresso-uscita verifica l’equazione ricorsiva alle differenze finite:
L−1
aky(n − k) =
k=0
M−1
k=0
bky(n − k) (aL−1 = 0, L > 1).
Come abbiamo visto sopra, la funzione di trasferimento H(z) di un filtro IIR è H(z) =
PM−1 k=0 bkz−k PL−1 k=0
akz −k ; la presenza di poli distinti da 0 comporta che, se il filtro è causale, la risposta
n