Elaborazione Numerica dei Segnali

8.1. Filtri FIR e IIR 157
Passando alle trasformate z e applicando la proprietà della traslazione temporale, si
ottiene:
Y (z) = H(z)X(z),
dove H(z) = M−1
k=0 h(k)z−k e X(z), Y (z) sono le trasformate z rispettivamente di x(n) e
y(n). Si osservi che H(z) è un polinomio in z −1 .
Le caratteristiche più interessanti dei filtri FIR sono le seguenti:
1. Un filtro FIR è sempre causale e stabile; ciò può essere rilevato dal fatto che H(z) è
un polinomio in z −1 , e quindi ha un solo polo in z = 0, di fatto interno alla cerchio
di raggio 1.
2. Un filtro FIR può avere fase lineare: se la funzione h(n) è simmetrica o antisimmetrica
rispetto a (M − 1)/2 (cioè h(k) = h(M − 1 − k) oppure h(k) = −h(M − 1 − k)),
allora la fase ∢H(e iω ) è lineare.
Infatti, se h(k) = h(M − 1 − k):
H(e iω ) =
=
M−1
k=0
M−1
k=0
h(k)e −ikω
h(k) e−ikω + e −i(M−1−k)ω
2
M−1
−i
= e 2 ω
M−1
M−1
ei( 2
h(k) −k)ω M−1
−i( + e 2 −k)ω
2
k=0
M−1
−i
= e 2 ω
M−1
k=0
M − 1
h(k) cos − k ω.
2
Poichè M−1
k=0 h(k) cos M−1
2 − k ω è un numero reale, la fase risulta lineare:
∢H(e iω ) = −
M − 1
ω.
2
Analogamente, se h(k) = −h(M − 1 − k), si ottiene:
H(e iω M−1
−i
) = ie 2 ω
M−1
Osservando che i = e iπ/2 , si ottiene:
k=0
∢H(e iω ) = −
M − 1
h(k) sin − k ω.
2
M − 1
ω +
2
π
2 .
In Figura 8.1 sono rappresentate le risposte all’impulso di due filtri FIR a fase lineare,
uno antisimmetrico (a), l’altro simmetrico (b).