Elaborazione Numerica dei Segnali

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152 Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto Fatto 7.6 Se F (ω) e G(ω) sono lo spettro di frequeza di segnali rispettivamente in ingresso e uscita all’operazione di decimazione con fattore M, vale: G(ω) = 1 M (F (ω) + F (ω − 2π M 2(M − 1)π ) + · · · + F (ω − ). M Osserviamo che la funzione G(ω) è periodica di periodo 2πM: se Fs è la frequenza di campionamento del segnale di ingresso, la frequenza del segnale di uscita risulta Fs M . Osserviamo inoltre che il segnale di ingresso può essere perfettamente ricostruito dal segnale di uscita se si evita il fenomeno dell’aliasing, e cioè se il limite di banda del segnale di ingresso è π M . Se quindi desideriamo che l’operazione di decimazione non crei perdita di informazione rispetto al segnale di ingresso, tale operazione dovrà essere preceduta da un filtro passa-basso, con frequenza di taglio π M . In Figura 7.10 viene mostrato il sistema Decimatore, composto da un filtro anti-aliasing e dall’operazione di decimazione. n Filtro n ω anti−aliasing 3 Figura 7.10 Sistema Decimatore. L’interpolazione di segnali digitali ha forti similitudini con la conversione digitaleanalogica: in questo caso, tuttavia, il segnale di uscita continua ad essere digitale, anche se “campionato” a frequenza più alta. Più precisamente, un interpolatore con fattore L trasforma un segnale campionato con frequenza Fs in uno campionato con frequenza LFs. In Figura 7.11 è rappresentato un sistema Interpolatore (con fattore 3). Esso è costituito da un’operazione di interpolazione ↑L che inserisce, tra x(n) e x(n+1), L − 1 campioni a valore 0. Il nuovo segnale viene poi filtrato con un filtro digitale passabasso a frequenza di taglio Fs 2L , dove Fs è la frequenza di campionamento di x(n). Poiché l’inserzione di L − 1 zeri “distribuisce” l’energia di un campione su L campioni, l’uscita y(n) risulta attenuata di un fattore 1 L : questo fatto può essere compensato moltiplicando per L il valore dell’uscita. Come è ben evidenziato dalla rappresentazione in frequenza, il Decimatore e l’Interpolatore rappresentano sistemi l’uno inverso dell’altro. Esempio 7.5.1 Conversione di frequenze per fattori non interi. Determinare un sistema che permette di trasferire il contenuto di un CD a 44.1 kHz su un nastro audio digitale a 48 kHz. ω n ω
7.5. Sistemi in Multifrequenza: Decimazione e Interpolazione 153 n 3 −3π −π π 3π −π −π π π −π −π π π 3 3 3 3 n Filtro passa−basso Figura 7.11 Sistema Interpolatore. Una possibile soluzione è data dalla composizione sequenziale di un interpolatore a fattore L con un decimatore a fattore M, tale che L 48 48 160 M = 44.1 . Poichè 44.1 = 147 si può porre L = 160 e M = 147: per prima cosa la frequenza di campionamento <strong>dei</strong> dati su CD è interpolata co L = 160 ottenendo una frequenza di 7056 kHz, poi ridotta com M = 147 a 48 kHz. È utile osservare che l’interpolatore deve precedere il decimatore, altrimenti il processo di decimazione rimuove alcune componenti in frequenza. n
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Università degli Studi di Milano -
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ii Indice 3.2.2 Filtri di Chebysche
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Capitolo 1 Segnali e Sistemi I conc
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Capitolo 2 Analisi in Frequenza di
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2.1. Numeri Complessi 23 y 0 θ r r
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2.2. Segnali Periodici 25 Esempio 2
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2.4. Serie di Fourier 27 questa sez
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2.7. Risposta in Frequenza dei Sist
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Bibliografia [1] J. D. Gibson. Prin
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