Elaborazione Numerica dei Segnali

7.4. Trasformata zeta e Trasformata di Fourier a Tempo Discreto 149
−π 0
π
Figura 7.7 Guadagno del filtro passa-alto con funzione di trasferimento 1 − z −1 .
Dal grafico della funzione guadagno si evince che questo sistema si comporta come un
filtro passa-alto, che inibisce le componenti a bassa frequenza (ω ≈ 0) e lascia passare
quelle ad alta frequenza (ω ≈ π).
4
7.4.2 Risposta in Frequenza nel Caso di Funzioni di Trasferimento Razionali
Studiamo ora come determinare la risposta all’impulso di un sistema, conoscendone la
risposta in frequenza. A tal riguardo, si osserva che la risposta in frequenza H(e iω ) è la
trasformata di Fourier a tempo discreto della risposta all’impulso h(n), studiata in Sezione
5.1. La risposta all’impulso può essere ottenuta determinando i coefficienti della serie di
Fourier H(e iω ):
H(e iω ) =
Esempio 7.4.2
+∞
k=−∞
h(k)e −ikω , h(k) = 1
+π
H(e
2π −π
iω )e ikω dω.
Determinare la risposta all’impulso h(k) di un filtro passa basso ideale di frequenza di
taglio π/2 e fase 0. Per ipotesi, la risposta in frequenza H(eiω ) del sistema è:
H(e iω
1, |ω| <
) =
π
2
0, altrimenti .
Ne segue:
h(k) = 1
2π
+π
−π
Si osserva che il filtro non è causale né stabile.
H(e iω )e ikω dω = 1
π + 2
2π − π
e
2
ikω dω =
sin kπ
2
kπ