Elaborazione Numerica dei Segnali

148 Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto
7.4.1 Risposta in Frequenza di Filtri Lineari a Tempo Discreto
Supponiamo di operare con sistemi LTI che si applicano a segnali a tempo discreto
con intervallo di campionamento τ o equivalentemente con frequenza di campionamento
Fs = 1/τ. Obbiettivo di questa sezione è studiare la risposta di un sistema S a ingressi
sinusoidali di frequenza ω (rad/sec) del tipo e ioτn . Per semplicità, porremo τ = 1; i
risultati ottenuti si adattano facilmente al caso generale, interpretando ω come frequenza
normalizzata alla frequenza di campionamento Fs (Hz).
Supponiamo che la risposta del sistema S all’impulso unitario δ(n) sia h(n); la risposta
y(n) di S al segnale d’ingresso x(n) = e inω è la convoluzione di h(n) ed e inω , cioè:
y(n) =
+∞
k=−∞
h(k)e i(n−k)ω = e inω
+∞
k=−∞
h(k)e −ikω .
Ricordando che H(z) = +∞
k=−∞ h(k)z−k è la trasformata z di h(n), risulta +∞
k=−∞ h(k)einω =
H(eiω ) Possiamo pertanto concludere:
Teorema 7.1 La risposta di un sistema LTI a segnali sinusoidali di tipo e inω è completamente
descritta da H(e iω ), cioè dalla funzione di trasferimento valutata sui punti della
circonferenza unitaria. In particolare:
• |H(e iω )| è il guadagno della risposta sul segnale e inω di frequenza ω;
• ∢H(e iω ) è la variazione di fase della risposta rispetto a quella del segnale e inω di
frequenza ω.
Il risultato precedente è illustrato in Figura 7.6.
Esempio 7.4.1
i n
ω
e
h(n)
S e Η( e )
H(z)
i ω n i ω n
Figura 7.6 Risposta a segnali sinusoidali.
Determinare il guadagno della risposta in frequenza del sistema y(n) = x(n)−x(n−1).
La risposta all’impulso di questo sistema è δ(n)−δ(n−1). La funzione di trasferimento
risulta dunque H(z) = 1 − z −1 e di conseguenza la risposta in frequenza è data da
H(e iω ) = 1 − e −iω . Il guadagno risulta infine (vedi Figura 7.7:
|H(e iω )| 2 = (1 − cos ω) 2 + sin 2 ω = 4 sin 2 ω
2 .