Elaborazione Numerica dei Segnali

7.4. Trasformata zeta e Trasformata di Fourier a Tempo Discreto 147
Esempio 7.3.2
L’integratore numerico presentato nell’Esempio 1.3.5 ha funzione di trasferimento
1
1−z −1 . Essa ha un polo per z = 1 quindi l’integratore non è un sistema stabile.
Riassumendo, le condizioni di causalità e di stabilità per il caso in cui la funzione di
trasferimento di un sistema LTI è razionale, portano al seguente importante:
Fatto 7.4 Un sistema LTI è causale e stabile se tutti i poli della sua funzione di trasferimento
cadono all’interno del cerchio unitario |z| = 1, cioè quando essi hanno tutti modulo
minore di 1.
Esempio 7.3.3
La funzione H(z) = (a−b)z
(z−a)(z−b)
è la funzione di trasferimento di un sistema contem-
poraneamente causale e stabile se e solo se max{|a|, |b|} < 1. Infatti i poli di H(z)
sono z = a e z = b; essi stanno all’interno del cerchio di raggio 1 se e solo se |a| < 1 e
|b| < 1.
7.4 Trasformata zeta e Trasformata di Fourier a Tempo
Discreto
La trasformata di Fourier a tempo discreto di un segnale x(n) introdotta in Sezione 5.1 è:
Xd(ω) =
+∞
n=−∞
x(n)e −iωn .
in cui utilizziamo la variabile ω per denotare la frequenza di normalizzata alla frequenza
di campionamento.
Poichè la trasformata zeta di x(n) è:
Possiamo allora concludere:
X(z) =
+∞
n=−∞
x(n)e −z .
Fatto 7.5 La trasformata di Fourier a tempo discreto Xd(ω) del segnale x(n)
Xd(Ω) =
+∞
n=−∞
xd(n)e −iΩn , xd(n) = 1
2π
Xd(Ω)e
2π 0
iΩn dΩ.