Elaborazione Numerica dei Segnali

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8 Segnali e Sistemi • q(t) = Cvc(t), dove C e q(t) sono rispettivamente la capacità e la carica del condensatore. La relazione tra la corrente i(t) e la carica q(t) è invece data da: i(t) = dq(t) dt dvc(t) = C . dt La seguente equazione differenziale mette in relazione l’ingresso e l’uscita: vi(t) = RC dvc(t) dt + vc(t). Si osservi che la precedente equazione differenziale ammette, fissato l’ingresso vi(t), infinite soluzioni. Per identificare univocamente il comportamento del sistema occorre aggiungere quindi ulteriori richieste: un esempio è quella di causalità, come sarà discusso in seguito. Esempio 1.3.3 Un importante esempio di sistema è il Campionatore a periodo τ (o equivalentemente a frequenza di campionamento Fs = 1τ, illustrato in Figura 1.8. f(t) Campionatore f(n τ) t 0 τ n Figura 1.8 Campionatore. Esso trasforma il segnale a tempo continuo f(t) nel segnale a tempo discreto f(nτ). In Sezione 4.1 sarà affrontato l’importante problema di determinare condizioni per cui il segnale f(t) è ricostruibile a partire dal segnale campionato f(nτ). Esempio 1.3.4 Dato un insieme finito V = {x1, . . . , xm} di numeri, consideriamo la funzione Q che ad ogni reale x associa l’elemento in V più vicino ad x, cioè: Q(x) = arg min|x − xk| xk∈V Il sistema quantizzatore associa al segnale f(t) il segnale Q(f(t)). Tale sistema riceve in ingresso un segnale continuo e restituisce un segnale a valori finiti. Un esempio di quantizzatore a 2 valori {1, −1} è dato in Figura 1.9.
1.3. Sistemi per l’Elaborazione dei Segnali Deterministici 9 f(t) Esempio 1.3.5 Quantizzatore a 1 bit Q(f(t)) t t Figura 1.9 Quantizzatoretore. Questo esempio mostra come sia possibile trattare numericamente sistemi operanti su segnali analogici. Si consideri il sistema integratore, che associa ad un segnale analogico f(t) il segnale g(t) dato da: g(t) = t −∞ f(x)dx. Supponiamo ora di aver campionato l’ingresso f(t) ottenendo il segnale a tempo discreto f(nτ). Il problema è quello di determiare un sistema, che chiameremo integratore numerico, che avendo in ingresso f(nτ) dia una risposta S(nτ) che sia una buona approssimazione di g(t), cioè S(nτ) ≈ g(nτ). A questo proposito ci può essere d’aiuto la regola di Eulero per approssimare g(t) mediante la somma di aree di rettangoli (vedi Figura 1.10). Vale allora: f(t) ¨¡¨¡¨ §¡§¡§ ¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥ ¥¡¥¡¥ ¦¡¦¡¦ ¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥ ¡ ¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢ §¡§¡§ ¨¡¨¡¨ ¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤ ¦¡¦¡¦ ¡ §¡§¡§ ¡ ¨¡¨¡¨ ¥¡¥¡¥ ¢¡¢¡¢ ¡ ¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥ ¡ ¦¡¦¡¦ £¡£¡£¡£ §¡§¡§ ¨¡¨¡¨ ¡ ¦¡¦¡¦ £¡£¡£¡£ §¡§¡§ ¨¡¨¡¨ ¡ ¤¡¤¡¤ ¢¡¢¡¢ ¥¡¥¡¥ ¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£ ¨¡¨¡¨ §¡§¡§ ¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥ ... ... ¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢ ¡ ¡ £¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤ ¨¡¨¡¨ §¡§¡§ ¦¡¦¡¦ §¡§¡§ ¨¡¨¡¨ £¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥ (n−1) τ nτ (n+1) τ t Figura 1.10 Regola di approssimazione dell’integrale di f(t). g(nτ) = nτ −∞ f(x)dx = (n−1)τ −∞ ≈ g((n − 1)τ) + τf((n − 1)τ). nτ f(x)dx + f(x)dx (n−1)τ Con i limiti introdotti dall’approssimazione, si ricava la seguente equazione lineare alle differenze: g(nτ) = g((n − 1)τ) + τf((n − 1)τ),
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