Elaborazione Numerica dei Segnali

7.2. Trasformata e Antitrasformata Zeta 143
Tabella 7.1 Alcune coppie note di trasformate e relativa regione di convergenza (ROC).
Segnale Trasformata ROC
δ(n) 1 Tutti gli z
δ(n − m) z−m
Tutti gli z eccetto
0
+∞
se m > 0
se m < 0
a n u(n)
1
1−az −1
|z| > |a|
Tabella 7.2 Proprietà della trasformata z e relativa regione di convergenza (ROC).
Proprietà x(n) ↔ X(z) ROC
Linearità ax(n) + by(n) aX(z) + bY (z) RX
Traslazione x(n − n0) z−n0X(z) RX
Scalatura (dominio z) anx(n) X
z
a
|a|RX
Convoluzione x(n) ∗ y(n) X(z)Y (z) RX
Differenziazione (dominio z) nx(n) −z d
dtX(z) RX
RY
RY
Per quanto riguarda la proprietà di traslazione, si consideri +∞
n=−∞ x(n − a)z−n ;
ponendo k = n − a, quindi n = a + k, si ha:
+∞
n=−∞
x(n − a)z −n =
+∞
k=−∞
x(k)z −a−k = z −a
Proviamo infine la proprietà di convoluzione:
X(z)Y (z) =
=
+∞
k=−∞
+∞
n=−∞
x(k)z −k
−n
z
k+j=n
+∞
j=−∞
y(j)z −j =
x(k)y(j) =
+∞
k=−∞
+∞
k=−∞ j=−∞
+∞
+∞
n=−∞
x(k)z −k = z −a X(z).
+∞
k=−∞
x(k)y(j)z −k−j
x(k)y(n − k)
Applicando le proprietà presentate in Tabella 7.2 alle coppie di trasformate elencate
in Tabella 7.1 è possibile determinare le trasformate zeta di una vasta classe di segnali,
comprendenti tutti quelli di interesse pratico trattati in questo testo.
Esempio 7.2.5
z −n .
Determinare le trasformate z dei segnali 2 −n u(n) + u(n − 3), n2 −n u(n), cos(3n)u(n).