Elaborazione Numerica dei Segnali

142 Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto
da cui si ricava:
x(n) = −a n u(−n − 1) + b n u(−n − 1)
Gli esempi precedenti illustrano la procedura base per determinare la trasformata z inversa
di una funzione razionale data la corona di convergenza. In generale, consideriamo una
funzione razionale R(z) che ammette come poli z1, . . . , zm con |z1| < |z2| < · · · < |zm|.
Poiché ogni possibile corona di convergenza non può contenere poli, avremo le seguenti
m + 1 corone di convergenza:
C1 = {z : |z| < |z1|}, . . . , Ck = {z : |zk| < |z| < |zk+1|}, . . . , Cm+1 = {z : |zm| < |z|}.
La sequenza xk(n) che ammette come trasformata z la funzione X(z) definita sulla corona
Ck, può essere ottenuta da:
xk(n) = X(z)z n−1 dz,
Lk
dove Lk è un cammino chiuso contenuto in Ck. Espandendo X(z) in frazioni parziali in
z−1 si ottiene:
m Ak
X(z) =
,
1 − zkz−1 pertanto:
xk(n) =
Lk
X(z)z n−1 dz =
k=1
m
j=1
7.2.1 Trasformata Zeta e sue Proprietà
Lk
Aj
1 − zjz −1 zn−1 dz =
k
j=1
Ajz n j u(n).
La trasformata zeta di un segnale a tempo discreto x(n) è la funzione X(z) a variabile
complessa tale che:
X(z) =
+∞
n=−∞
x(n)z −n .
La trasformata zeta X(z) del segnale x(n) ha come dominio di esistenza, che indichiamo
con RX, la regione di convergenza (ROC) della serie +∞
n=−∞ x(n)z−n . Ad esempio,
indicando con δ(n) e u(n) rispettivamente l’impulso e il gradino unitari, alcune note
trasformate e relativa regione di convergenza sono date in Tabella 7.1.
La trasformata zeta possiede un certo numero di proprietà che la rendono uno strumento
flessibile ed efficace per lo studio dei segnali a tempo discreto. Le principali proprietà
sono presentate in Tabella 7.2.
La linearità è provata come segue:
+∞
n=−∞
(ax(n) + by(n))z −n = a
+∞
n=−∞
x(n)z −n + b
+∞
n=−∞
y(n)z −n = aX(z) + bY (z).