Elaborazione Numerica dei Segnali

136 Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto
z
3
z
2
z
1
∆ z
i
. . . .
.
.
z
z i+1
i
L
. . .
Figura 7.1
Dati N punti z1, . . . , zN sul cammino L, presi percorrendolo in senso antiorario, risulta
ben definita l’espressione
N−1
f(zk)∆zk,
k=0
dove ∆zk = zk+1 − zk e z−1 = zN . Si definisce integrale di linea complesso (se esiste) il
seguente limite:
f(z)dz = lim
L
max
k |∆zk|→0
N−1
f(zk)∆zk.
Esempio 7.1.5
k=0
Un importante risultato, che utilizzeremo di seguito, è il seguente:
L
z k−1 dz =
dove L è un cammino chiuso che circonda l’origine.
2πi,
0,
se k = 0
,
se k = 0
(7.1)
Verifichiamolo nel caso in cui il cammino è la la circonferenza di raggio r > 0 centrata
nell’origine. Passando alla forma esponenziale per la variabile z, si ha:
z = re iθ
Possiamo allora concludere che:
L
z k−1 dz =
2π
r
0
k−1 e i(k−1)θ (ir)e iθ dθ = ir k
2π
0
da cui dz = ire iθ dθ.
e ikθ ⎧
⎪⎨
dθ =
⎪⎩ r
iθ| 2π
0
k eikθ
k
= 2πi, se k = 0
2π
0
.
= 0, se k = 0