Elaborazione Numerica dei Segnali

7.1. Richiami di Analisi Complessa 135
Attraverso la nozione di limite possiamo definire (quando esiste) la derivata f ′ (z) della
funzione f(z) data come limite del rapporto incrementale:
f ′ (z) = lim
h→0
f(z + h) − f(z)
.
h
Dato un sottoinsieme aperto A, una funzione f : A → A è detta analitica su A se per ogni
punto z ∈ A esiste la derivata f ′ (z).
Esempio 7.1.2
Un polinomio di grado N è una funzione del tipo P (z) = N
k=0 ckz k , con cN = 0.
Poiché P ′ (z) = N−1
k=0 (k + 1)ck+1z k , il polinomio P (z) risulta essere una funzione
analitica su tutto il piano complesso. Dato un polinomio P (z) di grado N, è noto che
l’equazione p(z) = 0 ammette N radici z1, . . . , zN (eventualmente ripetute) tali che
P (z) = cN(z − z1) · · · (z − zN).
Tali radici vengono anche dette zeri del polinomio e il numero di ripetizioni di zi è
detto molteplicità della radice zi.
Esempio 7.1.3
P (z)
Una funzione razionale è una funzione R(z) = Q(z) ottenuta dal rapporto di due
polinomi P (z) e Q(z); poiché R ′ (z) = P ′ (z)Q(z)−Q ′ (z)P (z)
Q2 (z) , tale funzione è analitica su
tutto il piano complesso ad eccezione degli zeri del denominatore, cioè i punti per i
quali Q(z) = 0. Gli zeri del numeratore sono detti zeri della funzione razionale, mentre
gli zeri del denominatore sono detti poli della funzione razionale.
È importante rilevare che una funzione razionle è, a meno di una costante moltiplicativa,
individuata dai suoi zeri e dai suoi poli.
Esempio 7.1.4
Una serie del tipo +∞
k=0 ckzk è detta serie di potenze. Data una serie di potenze
+∞
k=0 ckzk , si può dimostrare che esiste R ≥ 0 tale che, se |z| < R allora la serie
converge assolutamente (cioè +∞
k=0 |ck||z| k < +∞), mentre per |z| > R allora
+∞
k=0 |ck||z| k = +∞.
La serie +∞
k=0 ckzk definisce quindi nel cerchio aperto di raggio R e centro nell’origine
una funzione s(z) = +∞
k=0 ckzk . Poiché s ′ (z) = +∞
k=0 (k + 1)ck+1zk , la funzione s(z)
è analitica nel cerchio aperto di raggio R, detto cerchio di convergenza.
Consideriamo ora un cammino regolare chiuso L nel piano complesso come in Figura
7.1 ed una funzione f(z) definita su un aperto A contenente il cammino L.