Elaborazione Numerica dei Segnali

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118 Trasformata Discreta di Fourier Allo scopo di moderare i salti, il segnale può essere ripetuto in modo speculare come in Figura 5.3(c), ottenendo il nuovo segnale [z(0), . . . , z(2N − 1)] con: x(k) se 0 ≤ k ≤ N − 1 z(k) = x(N − 1 − k) se N ≤ k ≤ 2N − 1. Il segnale z contiene ovviamente la stessa informazione del segnale x. Applicando la DFT a z e ricordando che z = [x(0), . . . , x(N − 1), x(N − 1), . . . , x(0)], si ottiene per k = 0, . . . , 2N − 1: Z(k) = = = = 2N−1 n=0 N−1 n=0 N−1 n=0 N−1 n=0 2πnk −i x(n)e 2N 2πnk −i x(n) e 2N + e 2π(2N−n−1)k −i 2N πk e−i 2N 2x(n) (2n+1) πk i + e 2N (2n+1) πk 2x(n) cos (2n + 1) 2N 2 πk i e 2N πk i e 2N (per la simmetria di z) πk −i Ponendo Xc(k) = NZ(k)e 2N e considerando le prime N componenti, si ottiene la trasformazione: Xc(k) = 1 N−1 πk 2x(n) cos (2n + 1) N 2N n=0 (0 ≤ k ≤ N − 1). Questa trasformazione viene chiamata Trasformata Discreta Coseno (DCT). Come abbiamo visto, essa può essere calcolata direttamente mediante la FFT; sono stati comunque implementati algoritmi per il calcolo della DCT che richiedono ancora meno moltiplicazioni. Per quanto riguarda l’inversa della DCT, è possibile provare che: x(n) = Xc(0) 2 + N−1 πk Xc(k) cos (2n + 1) 2N Esempio 5.5.1 k=1 (0 ≤ n ≤ N − 1). Compressione nello standard JPEG. Una immagine rettangolare digitalizzata è rappresentata da una matrice N × M di pixel (picture element) s(j, k), valori numerici che denotano attributi dell’immagine come intensità o colore. Le immagine occupano parecchia memoria; per esempio, una immagine a colori di 320 × 240 pixel, ognuno dei quali contiene le intensità dei tre
5.5. Applicazioni della Trasformata Discreta di Fourier 119 colori fondamentali (rosso, giallo, verde) per 1 byte l’uno, occupa 320 × 240 × 3 = 230 kbyte, equivalenti a circa 75 pagine di testo. La gestione di immagini richiede dunque efficienti algoritmi di compressione: presentiamo qui schematicamente l’algoritmo di compressione raccomandato nello standard JPEG (Joint Photographic Experts Group). Ricordiamo che la standardizzazione è necessaria per permettere lo scambio di immagini tra differenti applicazioni, supportate ad esempio da Personal Computer, Reti, CD ROM, macchine fotografiche digitali. L’algoritmo di compressione in JPEG, illustrato in Figura 5.4, prevede i seguenti passi descritti schematicamente. Immagine DCT Coeff. DCT DCT = Trasformata Discreta Coseno Q = Quantizzatore DCPM = Differential Pulse Code Modulation Huffman = Codice di Huffman Q Coeff. dc DCPM Altri coeff. Figura 5.4 Compressione dati JPEG. Huffman Huffman Dati compressi Dati compressi Calcolo della DCT. L’immagine viene divisa in blocchi di 8 × 8 pixel e di ogni blocco viene calcolata la trasformata coseno bidimensionale: dove: S(i, l) = 1 4 C(i)C(l) 7 j=0 k=0 7 s(j, k) cos((2j + 1)iπ/16) cos((2k + 1)lπ/16), C(i) = 1/ √ 2 se i = 0 1 se i = 0 . La trasformata viene ottenuta calcolando dapprima la DCT di ogni riga, formando con i vettori ottenuti una nuova matrice e calcolando infine la DCT di ogni colonna. Si osservi che ogni matrice 8 × 8 così ottenuta contiene in alto a sinistra le ampiezze delle basse frequenze e in basso a destra le ampiezze delle alte frequenze. Quantizzazione dei coefficienti. Per ogni blocco, ognuna delle 64 componenti viene quantizzata con un quantizzatore uniforme e arrotondata con un intero; questa procedura crea matrici a componenti intere con molti zeri in basso a destra.
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2.1. Numeri Complessi 23 y 0 θ r r
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