Elaborazione Numerica dei Segnali

5.5. Applicazioni della Trasformata Discreta di Fourier 117
segnale compresso y = M(x) non è in generale possibile ricostruire univocamente il segnale
originale x, un parametro importante della compressione è l’errore di ricostruzione.
Data una famiglia di segnali, l’operatore di compressione che, tra le trasformazioni
lineari, minimizza l’errore quadratico di ricostruzione è ottenibile dalla cosiddetta trasformata
di Karhunen-Loève, descritta per esempio in [DeOb97]. Essa associa ad ogni vettore
[x(0), . . . , x(N − 1)] un vettore [K(0), . . . , K(N − 1)] tale che la “informazione” contenuta
in K(j) è maggiore di quella contenuta in K(j + 1), con j = 0, . . . , N − 2: la
compressione ottima di [x(0), . . . , x(N − 1)] in un vettore ad M componenti è il vettore
[K(0), . . . , K(M − 1)].
Questa tecnica, detta analisi delle componenti principali, richiede tuttavia di conoscere
la distribuzione dei segnali ed è computazionalmente costosa. Se tuttavia ipotizziamo di
trattare segnali con spettro concentrato sulle basse frequenze, un risultato simile alla
trasformata di Karhunen-Loève può essere ottenuto applicando la DFT; un inconveniente
di questa scelta sta nel fatto che la DFT tratta il segnale [x(0), . . . , x(N −1)] come segnale
periodico [x(0), . . . , x(N − 1), x(0), . . . ], introducendo “salti” fittizi (vedi Figura 5.3(b))
che comportano la presenza di alte frequenze.
0
(a)
N−1
Salto Salto
0 N−1 2N−1
(b)
0 2N−1
(c)
. . .
. . .
Figura 5.3 (a) Segnale finito. (b) Segnale reso periodico. (c) Segnale ripetuto
specularmente.