Elaborazione Numerica dei Segnali

114 Trasformata Discreta di Fourier
−π
τ
F( ω)
f(t)
π
τ
ω 0
T=N τ
Figura 5.2 Localizzazione in tempo e frequenza di un segnale.
1. per un opportuno τ, sia F (ω) ≈ 0 per |ω| > π
τ ;
2. per un opportuno T , sia f(t) ≈ 0 se t < 0 o t > T .
Per l’ipotesi 1, il segnale f(t) è essenzialmente individuato dal suo campionamento
x(n) = f(nτ) con periodo τ. Posto ora N = T
τ , per l’ipotesi 2 possiamo concludere che
f(t) è essenzialmente individuato dal vettore [x(0), . . . , x(N − 1)].
Sotto le ipotesi date, vale che:
Infatti:
F (ω) =
+∞
≈ f(t)
≈
−∞
Nτ
N−1
k=0
f(t)e −iωt dt
0
F (ω) ≈ τ
N
x(k)e −iωk
k=0
f(t)e −iωt dt (per ipotesi 1)
f(kτ)e −iωkτ τ (approssimando l’integrale con la somma).
La DFT del vettore [x(0), . . . , x(N − 1)] è il vettore [X(0), . . . , X(N − 1)] dove:
X(n) =
Dalla (5.3) e dalla (5.4) segue allora:
N−1
k=0
2πn
−i
x(k)e N k
t
(5.3)
(5.4)
2πn
F ≈ τX(n) (5.5)
N