Elaborazione Numerica dei Segnali

112 Trasformata Discreta di Fourier
Poniamo k −j = s e osserviamo che se 0 ≤ k ≤ N −1 allora 〈s〉N varia in {0, 1, . . . , N −1};
vale inoltre e −i2πn(k−j)
N = e −i2πn〈s〉 N
N .
Concludiamo allora:
H(n) =
N−1
j=0
f(j)e −i2πnj
N
N−1
s=0
g(s)e −i2πns
N = F (n)G(n).
Ricordiamo infine che per la trasformata discreta di Fourier vale l’analoga della relazione
di Parseval (vedi la (2.12)):
N−1
k=0
| f(k) | 2 = 1
N−1
| F (n) |
N
n=0
2 .
5.4 Algoritmo per il Calcolo Veloce della Trasformata Discreta
(FFT)
Il calcolo della trasformata discreta di Fourier richiede di moltiplicare un vettore a N
componenti [f(0), . . . , f(N − 1)] per la matrice N × N la cui componente alla riga n e
colonna k è:
e −i2πnk
N .
Tale calcolo può essere ovviamente effettuato con O(N 2 ) operazioni di somma e prodotto,
poichè il calcolo di ognuna delle N componenti F (n) richiede O(N) operazioni. Algoritmi
più efficiente per il calcolo della trasformata sono stati proposti tra gli altri da Runge e
Konig nel 1924 e da Cooley e Tukey nel 1965. Questi algoritmi richiedono O(N log N)
invece di O(N 2 ) operazioni e per tal motivo sono chiamati FFT (Fast Fourier Transform
algorithm). Presentiamo qui l’idea base quando N è una potenza di 2.
Ricordiamo che la trasformata discreta è definita da:
F (n) =
N−1
k=0
f(k)e −i2πnk
N .
Separando nella sommatoria i termini di indice pari da quelli di indice dispari, si ottiene:
da cui:
F (n) =
F (n) =
N/2−1
k=0
N/2−1
k=0
f(2k)e −i2π2kn
N/2−1
N +
k=0
f(2k)e −i2πkn
N/2 + e −i2πn
N/2−1
N
f(2k + 1)e −i2π(2k+1)n
N ,
k=0
f(2k + 1)e −i2πnk
N/2 .
Questa formula esprime la possibilità di calcolare la trasformata discreta del vettore a
N componenti [f(0), . . . , f(N − 1)] usando la trasformata discreta dei 2 vettori a N/2
componenti [f(0), f(2), . . . , f(N − 2)] e [f(1), f(3), . . . , f(N − 1)]. Questo suggerisce la
seguente procedura ricorsiva basata sulla tecnica divide et impera: