Elaborazione Numerica dei Segnali

5.3. Proprietà della Trasformata Discreta di Fourier 111
5.3.1 Operazioni e Proprietà
Nello spazio dei vettori a N componenti complesse si possono introdurre alcune importanti
operazioni:
Prodotto: (f · g)(n) = f(n) · g(n),
Traslazione ciclica: (Shiftaf)(n) = f(〈n − a〉N ),
Convoluzione Ciclica: (f ∗ g)(n) =
N−1
k=0
dove con 〈s〉N si intende il resto della divisione di s con N.
f(k) · g(〈n − k〉N ),
Queste operazioni hanno forti analogie con le operazioni su funzioni a variabile complessa
che abbiamo precedentemente introdotto; non stupisce allora che la trasformata
discreta goda di proprietà simili a quelle della trasformata continua. In Tabella 5.1, in cui
denotiamo con F (n) la trasformata di Fourier di f(k) e con G(n) la trasformata di Fourier
di g(k), elenchiamo le principali proprietà.
Tabella 5.1 Proprietà della Trasformata Discreta di Fourier.
Proprietà f(k) ↔ F(n)
Linearità af(k) + bg(k) aF (n) + bG(n)
Traslazione ciclica f(〈k − a〉N ) e −i2πan F (n)
Convoluzione ciclica f(k) ∗ g(k) F (n)G(n)
Delle proprietà sopra elencate, dimostriamo qui l’importante proprietà di convoluzione
ciclica, che asserisce che la trasformata di una convoluzione ciclica è il prodotto, componente
per componente, delle trasformate.
Sia h = f ∗ g e H(n) la sua trasformata discreta di Fourier. Per definizione di
convoluzione ciclica e di trasformata discreta abbiamo:
H(n) =
N−1
k=0
⎛
⎞
N−1
⎝ f(j) · g(〈k − j〉N ) ⎠ e −i2πnk
N .
Osservando che e −i2πnk
N = e −i2πnj
N · e −i2πn(k−j)
N , possiamo scrivere:
H(n) =
N−1
j=0
j=0
f(j)e −i2πnj
N
N−1
k=0
g(〈k − j〉N )e −i2πn(k−j)
N
.