Elaborazione Numerica dei Segnali

110 Trasformata Discreta di Fourier
Definiamo Trasformata Discreta di Fourier la trasformazione Fd : C n → C n che
associa al vettore f(k) (0 ≤ k ≤ N − 1) il vettore F (n) (0 ≤ n ≤ N − 1) nel seguente
modo:
F (n) =
N−1
k=0
f(k)e −i2πnk
N , (0 ≤ n ≤ N − 1).
La trasformazione Fd è lineare e invertibile e la sua inversa F −1
d , detta antitrasformata,
è data da:
f(k) = 1
N−1
F (n)e
N
i2πnk
N , (0 ≤ k ≤ N − 1).
n=0
Questo risultato può essere dimostrato a partire dall’identità:
N−1
k=0
e −i2πnk
N =
N if n = 0
0 if n = 0
Essa deriva dal fatto che se n = 0, allora N−1 k=0 1 = N, se n = 0 si ha invece:
N−1
k=0
e −i2πnk
N−1
N =
k=0
(e −i2πn
N ) k =
Ora, per verifica diretta abbiamo che se F (k) = 1
N
N−1
1
N
k=0
F (k)e i2πnj
N = 1
N
N−1
k=0 n=0
= 1
N−1
N
n=0
= 1
N−1
N
= 1
N
n=0
(e −i2πn
N ) N − 1
N−1
e −i2πn
N − 1
= 0.
N−1 −i2πnk
n=0 f(n)e N allora:
f(n)e −i2πnk
N e i2πnj
N
N−1
f(n)
f(n) ·
k=0
· Nf(j) = f(j).
e −i2πk(n−j)
N
N if n = j
0 if n = j
In conclusione la coppia trasformata-antitrasformata discreta di Fourier è riassunta di
seguito:
F (n) =
N−1
k=0
f(k)e −i2πnk
N , f(k) = 1
N−1
N
n=0
F (n)e i2πnk
N . (5.2)