Elaborazione Numerica dei Segnali

5.3. Proprietà della Trasformata Discreta di Fourier 109
Definizione 5.1 La Trasformata Discreta di Fourier (DFT) di un vettore a componenti
complesse a(0), . . . , a(N − 1) è il vettore a componenti complesse A(0), . . . , A(N − 1), dove
A(k) =
N−1
n=0
2nπ
−i
a(n)e N (k = 0, . . . , N − 1).
Per quanto riguarda la relazione tra la trasformata di Fourier e la trasformata discreta
di Fourier, se le varie approssimazioni fatte (passo di campionamento τ, numero N di
campioni) risultano ragionevolmente buone, allora:
a(k) = f(kτ) (0 ≤ k ≤ N − 1) implica che A(k) ≈ F
k
Nτ
(0 ≤ k ≤ N − 1).
Queste approssimazioni risultano ragionevolmente buone quando l’intervallo di campionamento
in un dominio (per esempio il tempo) consente di avere un aliasing trascurabile
nell’altro dominio (frequenza).
Si hanno essenzialmente tre situazioni distinte:
1. segnali periodici (tempo) a banda limitata (frequenza): questa è l’unica classe di
segnali per cui la trasformata discreta e quella continua coincidono (a meno di un
fattore di scala);
2. segnali non nulli in un intervallo temporale finito: tali segnali non sono banda limitata
(frequenza), per cui il campionamento produce aliasing che si può solamente
ridurre ad un valore accettabile ma non eliminare. La trasformata discreta differisce
pertanto da quella continua a causa di errori introdotti dall’aliasing.
3. segnali a supporto temporale di dimensione infinita e non a banda limitata (frequenza):
la trasformata discreta differisce da quella continua a causa di errori sia di
aliasing che di troncamento.
5.3 Proprietà della Trasformata Discreta di Fourier
Reintroduciamo ora la trasformata discreta di Fourier in modo assiomatico e ne analizziamo
le principali proprietà.
Consideriamo lo spazio C n dei vettori [f(0), . . . , f(N − 1)] a N componenti complesse.
Tale spazio è uno spazio vettoriale rispetto alla somma tra vettori e prodotto di un vettore
per un numero complesso:
somma: [f(0), . . . , f(N −1)]+[g(0), . . . , g(N −1)] = [f(0)+g(0), . . . , f(N −1)+g(N −1)]
prodotto: λ[f(0), . . . , f(N − 1)] = [λf(0), . . . , λf(N − 1)]