Elaborazione Numerica dei Segnali

108 Trasformata Discreta di Fourier
Xd(Ω) =
+∞
n=−∞
xd(n)e −iΩn , xd(n) = 1
2π
Xd(Ω)e
2π 0
iΩn dΩ.
Riassumiamo la discussione precedente nel seguente:
Fatto 5.1 Sia fc(t) il segnale ottenuto campionando f(t) con passo τ e sia Fc(ω) la sua
) vale:
trasformata di Fourier. Posto xd(n) = f(nτ) e Xd(Ω) = Fc( Ω
τ
Xd(Ω) =
+∞
n=−∞
xd(n)e −iΩn , xd(n) = 1
2π
Xd(Ω)e
2π 0
iΩn dΩ.
Le due trasformazioni sopra descritte sono dette rispettivamente trasformata e antitrasformata
di Fourier a tempo discreto.
5.2 Introduzione alla Trasformata Discreta di Fourier (DFT)
La trasformata di Fourier a tempo discreto è applicabile a segnali campionati; tali segnali
sono a tempo discreto e con frequenza normalizzata nel continuo [0, 2π). Per poter trattare
opportune approssimazioni di tali segnali con tecniche digitali, dobbiamo ulteriormente:
1. considerare solo un numero finito di campioni nel tempo,
2. campionare in frequenza, così da considerare solo un numero finito di frequenze
anziché l’intervallo continuo [0, 2π).
Questo obiettivo può essere raggiunto:
1. approssimando l’informazione contenuta in un segnale f(t) con quella ottenuta dal
vettore x formato da N campioni del segnale campionato con passo τ:
x = (x(0), . . . , x(N − 1)) con x(n) = f(nτ) (0 ≤ n < N).
Il vettore x è quindi costituito da N campioni nell’intervallo [0, (N − 1)τ];
2. considerando il vettore X formato da N campioni della trasformata a tempo discreto
Xd(Ω), campionata a intervalli di ampiezza 2π
N :
X = (X(0), . . . , X(N − 1)) con X(k) = Xd
k 2π
N
(0 ≤ n < N).
Supponiamo ora che l’energia del segnale sia essenzialmente contenuta negli N campioni
x(0), . . . , x(N − 1); sotto questa ipotesi vale che:
X(k) = Xd k 2π
+∞
N−1
2nπ
2nπ
−i −i
= x(n)e N ≈ x(n)e N .
N
n=−∞
Possiamo pertanto approssimare la trasformate (continua) di Fourier con la seguente
trasformazione tra vettori complessi N-dimensionali, che chiameremo Trasformata Discreta
di Fourier (DFT):
n=0