Elaborazione Numerica dei Segnali

5.1. Trasformata di Fourier a Tempo Discreto 107
Infatti:
Fc(ω) =
=
=
+∞
−∞
+∞
n=−∞
+∞
n=−∞
f(t)
t
(a) (b)
f (t)
c
. . . −3τ −2τ −1τ 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ . . . t
Figura 5.1 (a) Segnale f(t) continuo. (b) Segnale f(t) campionato.
+∞
n=−∞
+∞
−∞
f(nτ)δ(t − nτ)e −iωnt dt
f(nτ)δ(t − nτ)e −iωnt dt (per la linearità)
f(nτ)e −iωnτ
(poiché
+∞
−∞
g(t)δ(t − t0)dt = g(t0)).
Operiamo ora il cambio di variabile ωτ = Ω. Denotando con Fs = 1
τ la frequenza
di campionamento in Hz, risulta che Ω = ω . La variabile Ω assume dunque significato
Fs
di frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento; poiché ω è data in rad/sec,
mentre Fs è data in cicli/sec, Ω è data in radianti.
Poniamo ora:
Con le nuove notazioni, risulta quindi:
Poichè Xd(Ω + 2π) =
xd(n) = f(nτ), Xd(Ω) = Fc
+∞
n=−∞
Xd(Ω) =
+∞
n=−∞
xd(n)e −i(Ω+2π)n =
xd(n)e −iΩn .
+∞
n=−∞
Ω
.
τ
xd(n)e −iΩn = Xd(Ω), la funzione
Xd(Ω) risulta periodica di periodo 2π e vale quindi la seguente espansione in serie di
Fourier: