CD04 - Campionamento e ricostruzione - ARSCONTROL@unimore

CONTROLLI DIGITALI
4- CAMPIONAMENTO E
RICOSTRUZIONE
Lorenzo Sabattini
lorenzo.sabattini@unimore.it
0522 522666
http://www.arscontrol.org
1

Sistemi a dati campionati
• Analogamente a quanto fatto nel corso di Controlli Automatici per i sistemi
continui, sarebbe possibile approfondire ulteriormente l’analisi dei sistemi
discreti usando la Z trasformata
• Nell’ambito dell’automazione, è necessario considerare sistemi “misti”
dove l’algoritmo di controllo è un sistema a tempo discreto che opera su
segnali discreti mentre il plant è un sistema a tempo continuo
e
A/D
Calcolatore
digitale
D/A
Trasduttore
Attuatore
Impianto
2

Sistemi a dati campionati
• Sono necessari campionatori e ricostruttori, dispositivi che
trasformino segnali tempo continuo in segnali a tempo
discreto e viceversa.
• Il ruolo dei campionatori e dei ricostruttori è fondamentale
per capire la risposta di un sistema di controllo digitale
• I sistemi dove compaiono sia segnali a tempo discreto che
segnali a tempo continuo sono detti sistemi a dati
campionati
3

• Viene detto anche convertitore A/D
Campionatore impulsivo
• Converte un segnale tempo continuo in una sequenza di campioni prelevati agli
istanti 0, T, 2T, 3T …, dove T è un parametro del campionatore, detto periodo di
campionamento
A/D
• Nell’ambito dei controlli digitali, si suppone che il campione sia preso esattamente
all’istante di campionamento e che il campionamento sia esattamente sempre
uguale e di periodo T. In pratica questo non è sempre verificato, ma le deviazioni
dal comportamento ideale non introducono effetti significativi al fine del progetto
del controllore.
4

Campionatore impulsivo
• Grazie al treno di impulsi di Dirac è possibile dare una
rappresentazione tempo continua di una sequenza di
campioni!
x(t)
t
δ T(t)
x*(t)
t
7

Ricostruttore di ordine frazionario
• É una variante del ricostruttore di ordine uno. La relazione
ingresso-uscita è:
x ( kT ) x (( k 1)
T )
x ( t ) x ( kT ) K
( t kT
1
T
• La risposta all’impulso è:
• La funzione di trasferimento è:
H
f
( s )
K
T
-T
Ts
g f(t)
1
1
e
s
sT
2
)
K
( 1
2
3
0 T 2T 3T
K
)
( 1
e
s
sT
0 K
)
e
sT
1
14

Ricostruttore ad uscita continua
• Questo ricostruttore viene utilizzato nei casi in cui si desideri avere
un segnale continuo all’uscita del ricostruttore in modo da non
sollecitare eccessivamente l’attuatore. L’uscita é data da:
x c
( t ) x (( k 1)
T )
x ( kT ) x (( k 1)
T )
( t kT
T
• La risposta all’impulso g c(t) ha il seguente andamento:
-T
g c(t)
1
0 T 2T 3T
x ( kT ) t x (( k 1)
T
• La funzione di trasferimento del ricostruttore ad uscita continua
corrisponde a:
H
c
( s )
1
T
)
g c
1 e
s
( t )
r ( t ) 2 r ( t T )
r ( t 2T
)
T T
T
sT
2
)
15

Panoramica dei Ricostruttori di Segnale
Per la sua semplicità realizzativa e il limitato ritardo introdotto, il
ricostruttore di ordine zero è quello di gran lunga più usato nelle
applicazioni pratiche.
16

Campionamento e ricostruzione
≠
T=1 ZOH
17

Spettro del segnale campionato
• Dalla sequenza di campioni non siamo riusciti a riottenere il segnale
tempo continuo originale tramite il ricostruttore.
• Se aumentiamo il periodo di campionamento, la situazione peggiora
ulteriormente.
T=1 T=2 T=3 T=6.28
• Questa perdita di informazioni è dovuta al campionamento? Oppure non
abbiamo scelto un ricostruttore sufficientemente sofisticato?
• Quale periodo di campionamento bisogna usare per riuscire a ricostruire
il segnale originale dai campioni? Quale ricostruttore bisogna usare per
effettuare la ricostruzione?
18

Spettro del segnale campionato
Trasformando secondo Laplace il segnale campionato si ottiene:
n
X * ( s ) L [ x * ( t )]
1
T
L [ x ( t ) e
jn s t
]
at
Ricordiamo il teorema della traslazione in s: L [ f ( t ) e ] F ( s a )
Si ottiene quindi:
n
1
X * ( s ) X ( s jn ) s
T
Lo spettro del segnale campionato è quindi dato da:
n
1
X * ( j
) X ( j
jn ) s
T
A meno della costante moltiplicativa 1/T, lo spettro del segnale
campionato si ottiene dalla somma degli infiniti termini X(jω−jnω s),
ciascuno dei quali è ottenuto da X(jω) mediante traslazione di jnω s
nel campo complesso.
22

Se s> 2 c
Spettro del segnale campionato
In base a quanto visto, lo spettro del segnale campionato è il seguente:
n
1
X * ( j
) X ( j
jn ) s
T
|X*(j)|
3
s
s
s
2
2
2
s
0
c
1
T
s
2
s
3 s
2
2
s
24

Se s< 2 c
Spettro del segnale campionato
|X*(j)|
2
0
s
s
s
s 2
• La componente primaria è parzialmente sovrapposta alle
componenti complementari contigue.
• Quindi, mediante filtraggio NON è più possibile ricavare il segnale
originario a partire dal segnale campionato.
1
T
26

Teorema di Shannon
• Il teorema di Shannon dà un’indicazione su quale valore scegliere per la
frequenza di campionamento al fine di riuscire a ricostruire il segnale tempo
continuo a partire dai campioni
• Se la condizione del teorema viene rispettata, non è possibile che il segnale
tempo continuo abbia un comportamento dinamico tra due punti
(intersample dynamics) che non sarebbe possibile ricostruire utilizzando
solamente i campioni
• Il teorema di Shannon garantisce che non si perdano informazioni a causa
del campionamento. In altre parole, i campioni e il segnale tempo continuo
hanno lo stesso contenuto informativo.
• Il fenomeno per cui alcune componenti secondarie si sovrappongono alla
componente primaria si chiama aliasing. Questo fenomeno comporta la
generazione di nuove componenti spettrali alla stessa frequenza della
componente primaria e impediscono di ricostruire il segnale originale
28

Aliasing
• In realtà, un segnale reale ha componenti spettrali su tutte le
pulsazioni. Il segnale considerato nella dimostrazione del
teorema di Shannon è ideale.
• Tuttavia, tutti i segnali possiedono una pulsazione al di sopra
della quale il contributo frequenziale cala fino a diventare
irrilevante. Tale pulsazione può essere considerata come c e per
i segnali passa basso è la pulsazione di taglio.
• Tuttavia per minimizzare l’effetto di aliasing che può essere
introdotto dalle componenti ad alta frequenza di un segnale, è
consigliabile scegliere pulsazioni di campionamento maggiori di
quelle strettamente richieste dal teorema di Shannon. Nei casi
pratici, è consigliabile scegliere s 810 c
29

Esempio
Si consideri il problema di campionare la risposta impulsiva g(t) di un
sistema tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento
G ( s )
s
2
25
6 s
Lo spettro della risposta impulsiva è dato da G(j)
25
p 3 4
1 , 2
n
5
Lo spettro è diverso da
0 per ogni pulsazione
j
30

2
s
2
s
10
5
n
n
T
T
50
25
Esempio
Avvicinando la pulsazione di campionamento ω s a ω n le componenti
spettrali complementari tendono ad avvicinarsi e a sovrapporsi sempre più. In questo
caso, mediante filtraggio, non è più possibile ricostruire il segnale x(t) a partire da
x ∗ (t).
31

Filtraggio Ideale
Se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Shannon, è possibile
ricavare lo spettro del segnale originale da quello del segnale
campionato
|X*(j)|
3
s
s
s
2
2
2
s
0
X ( j
) G ( j
) X ( j
)
I
*
G
I
(
c
s
2
j
)
T
0
s
3 s
2
2
s
s
2
altrove
32
2
s

Filtraggio Ideale
• Siccome non è possibile realizzare fisicamente il filtro ideale, e
siccome i segnali di controllo reali hanno sempre contenuti
armonici ad elevata frequenza dovuti a rumori di varia natura,
ne consegue che, indipendentemente dal periodo di
campionamento scelto, non è mai possibile ricostruire
esattamente un segnale a tempo continuo a partire dal
corrispondente segnale campionato.
• Nel campo dei controlli, i ricostruttori che vengono utilizzati in
pratica sono i ricostruttori di ordine zero, di ordine uno, ecc.
– Essi hanno una risposta frequenziale che è solo una grossolana
“approssimazione” di quella del filtro ideale.
– Essi hanno tuttavia il pregio di essere causali e facilmente realizzabili.
36

x(t)
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
t
X
δ T(t)
Il segnale campionato:
• può essere interpretato come un treno di impulsi di Dirac modulati. È
quindi possibile rappresentare il segnale campionato tramite la sua
trasformata di Laplace:
* ( s )
k 0
x ( kT ) e
• può essere interpretato come una sequenza. È quindi possibile
rappresentare il segnale campionato tramite la sua Z trasformata
X ( z )
k 0
x ( kT ) z
k
kTs
x*(t)
t
37

Corrispondenza tra il piano s e il piano z
La X(z) e la X*(s) sono due rappresentazioni nel piano complesso del segnale
campionato:
• Qual è la relazione tra X(z) e X*(s)?
• Qual è la relazione tra il piano s e il piano z?
X
* ( s ) X ( z )
Le variabili complesse s e z sono legate fra di loro dalla relazione:
Posto s=s+j si ha che:
z
z
e
e
sT
z e
sT
2 k
jT ( )
( s j
) T s T j
T s T
T
e
e
e
e
38

Corrispondenza tra il piano s e il piano z
Siccome
z
e
2 k
jT ( )
( s j
) T s T j
T s T
T
e
e
• Punti del piano s la cui pulsazione differisce di un multiplo
intero della pulsazione di campionamento 2/T vengono
trasformati nello stesso punto del piano z.
• Quindi la relazione non è biunivoca
e
e
39

Corrispondenza tra il piano s e il piano z
Se è possibile rappresentare la sequenza di segnali campionati tramite la
trasformata di Laplace, perché si utilizza la trasformata Z?
• La trasformata di Laplace di segnali campionati ha
un’espressione trascendente (e quindi poco maneggevole)
mentre la trasformata Z ha un’espressione razionale fratta per
la maggior parte dei segnali campionati di interesse
• Grazie al legame tra la trasformata Z e la trasformata di Laplace,
è possibile mappare sul piano z alcuni luoghi caratteristici del
piano s
• Tali luoghi caratteristici potranno poi essere utilizzati per il
progetto di controllori discreti direttamente sul piano z, in
maniera del tutto analoga a quanto si fa per il progetto di
controllori analogici sul piano s
40

Corrispondenza tra il piano s e il piano z
42

Corrispondenza tra il piano s e il piano z
43

Luoghi a decadimento esponenziale costante
s s j
z
|
e
( s j
) T
• Nel piano s sono rette verticali:
• se la parte reale è negativa si ha attenuazione
• se la parte reale è positiva si ha amplificazione
• Nel piano z sono circonferenze centrate nell’origine
• di raggio minore di 1 nel caso di attenuazione
• di raggio maggiore di 1 nel caso di amplificazione 44
|
e
s T

Luoghi dei punti a smorzamento costante
Nel piano s, il luogo dei punti a cui corrisponde un coefficiente di
smorzamento costante = 1 è una retta uscente dall’origine s=0, che
forma con il semiasse immaginario positivo un angolo β pari a arcsin 1
z
s
tan j
1
1
j
e
sT
e
( tan j
) T tan j
e
e
1
T
0
46

Luoghi dei punti a smorzamento costante
47

Posizione dei poli in z e risposte campionate
49

U(s) Y(s)
G(s)
Sistemi a dati campionati
Se si ha a che fare con sistemi completamente tempo continuo, o completamente
tempo discreto, è possibile analizzare i segnali presenti antitrasformando le
corrispondenti funzioni di trasferimento
Y ( s ) G ( s ) U ( s )
T(z) W(z)
H(z)
W ( z ) H ( z ) T ( z )
50

U(s) Y(s)
G(s)
Sistemi a dati campionati
U
( s )
???
A/D
W
( z )
H(z)
W(z)
• Tipicamente, in un sistema di controllo digitale si hanno sia
elaborazioni tempo continue che elaborazioni discrete
• Per analizzarne il comportamento, quindi è necessario riuscire
a calcolare la trasformata di un segnale di uscita per sistemi
che contengono sia elaborazioni discrete che continue
51

Sistema continuo con ingressi impulsivi
u(t) u*(t) y(t)
G(s)
y*(t)
NB: Se il campionamento
soddisfa Shannon le
caratteristiche di y*(t)
sono le stesse di y(t)
• Il sistema descritto dalla G(s) è un sistema lineare (principio di sovrapposizione degli
effetti) continuo
• Al suo ingresso è presente una sequenza di impulsi
• Quindi, la risposta y(t) è data dalla somma delle risposte ai singoli impulsi. In altri termini
si ha che
y ( t )
g
g
g
( t ) u ( 0 )
( t ) u ( 0 )
( t ) u ( 0 )
g ( t T ) u ( T )
g ( t T ) u ( T )
g ( t
kT ) u ( kT )
0
T
kT
t
t
t
T
2T
( k
1)
T
52

Sistema continuo con ingressi impulsivi
• Se un sistema è continuo è modellato da una funzione di
trasferimento G(s), la funzione di trasferimento discreta G(z)
che lega una sequenza derivante da un campionamento
impulsivo a una sequenza di uscita campionata
impulsivamente è data dalla Z-trasformata della sequenza
ottenuta dal campionamento della risposta impulsiva
g(t) = L −1 (G(s)) del sistema.
• Con la notazione Z[G(s)] indicheremo la Z-trasformata
associata alla funzione di trasferimento G(s).
54

Esempio
Si consideri il sistema descritto dalla funzione
G ( s )
1
s 1
Si vuole analizzare la sequenza che si ottiene campionando la risposta
del sistema nei seguenti casi:
u(t) y(t)
G(s)
dove u(t)=e -t
(a) (b)
u(t) u*(t)
y(t)
G(s)
(c)
u(t) u*(t)
y(t)
H0(s) G(s)
55

Y a
( s )
Esempio – caso a
G ( s ) U ( s )
antitrasformando si ottiene:
y
a
s
1
( t )
1
te
s
t
1
1
1
2
s 1
campionando la risposta con periodo T si ottiene:
y
a
( kT )
kTe
kT
Linea continua = ingresso
Linea tratteggiata = uscita
56

Esempio – caso b
• La risposta del sistema descritto da G(s) al segnale impulsivo
x*(t) può essere espressa mediante l’integrale di convoluzione
y
( t ) g ( t ) u * ( ) d
• dove u*(t) ha la seguente espressione
b
k 0
t
0
• La risposta y b(t) è somma delle risposte ai singoli impulsi
(proprietà di linearità)
y b
( t )
u * ( t ) u ( t ) ( t kT ) u ( kT ) ( t
g
g
g
( t ) u ( 0 )
( t ) u ( 0 )
( t ) u ( 0 )
g ( t T ) u ( T )
g ( t T ) u ( T )
g ( t
k 0
kT ) u ( kT )
0
T
kT
t
t
t
T
kT
2T
( k
)
1)
T
57

Esempio – caso b
• Essendo g(t) = e −t (antitrasformata di G(s)) si ha
y
( t )
e
e
e
t
t
t
e
e
( t T )
( t T )
e
e
T
T
• Negli istanti di campionamento t=kT si ha che:
y
b
b
( kT
)
( k 1)
e
2 e
t
kT
e
( t kT )
e
kT
Linea continua = ingresso
Linea tratteggiata = uscita
Pallini = campioni della risposta negli istanti kT 58
( k
1)
e
t
0
T
kT
t
t
t
T
2T
( k
1)
T

Y
c
( z )
M
( z ) U
( z )
Esempio – caso c
1
[
Antitrasformando si ottiene:
y
c
( kT
)
1
e
e
T
T
Z
ke
kT
e
s
sT
1
] Z [
1
]
s 1 s 1
Linea continua = ingresso
Linea tratteggiata = uscita
1
e
e
T
T
( 1
e
T
e
z
T
1
z
1
59
)
2

Esempio
• La presenza del campionatore e del ricostruttore altera
significativamente la risposta del sistema!
• Questi effetti dovranno essere presi nella dovuta considerazione
quando si dovrà implementare un algoritmo di controllo su un
microprocessore digitale.
60

Composizione di schemi a blocchi
• Si considerino i due seguenti schemi a blocchi
(a)
u(t) u*(t)
y(t) y*(t)
G(s)
(b)
u(t) y(t)
G(s)
L’ingresso è un
segnale campionato
L’ingresso è un
segnale tempo continuo
61

Composizione di schemi a blocchi: Schema (a)
u(t) u*(t) y(t) y*(t)
G(s)
Y ( s ) G ( s ) U * ( s )
campionamento
G ( s ) U * ( s ) * G * ( s ) U * ( )
Y * ( s )
s
Z-trasformata
Y ( z ) G ( z ) U ( z )
62

Composizione di schemi a blocchi: Schema (b)
u(t) y(t)
G(s)
Y ( s ) G ( s ) U ( s )
G ( s ) U ( ) *
Y * ( s ) s
campionamento
Z-trasformata
Y ( z ) Z [ G ( s ) U ( s )] GU ( z ) G ( z ) U ( z )
dove si è introdotto il simbolo GU(z) ad indicare la Z-trasformata
associata al prodotto G(s)U(s)
63

Composizione di schemi a blocchi
• Nel caso (a) si può definire la funzione di trasferimento
discreta G(z) l’ingresso e l’uscita, in quanto ingresso e uscita
sono sequenze discrete
• Nel caso (b) si può solo definire la zeta trasformata del segnale
di uscita Y (z).
– La quantità GU(z) dipende in modo non separabile
dal segnale continuo di ingresso e dalla dinamica
G(s)
• Tale sostanziale differenza deve essere tenuta attentamente in
conto nell’analisi di schemi misti composti da blocchi a dinamica
continua e discreta.
64

x(t)
x*(t)
G(s)
Blocchi in cascata
u(t) u*(t) y(t) y*(t)
H(s)
All’ingresso dei due sistemi dinamici G(s) e H(s) sono presenti sequenze
discrete. É facile verificare che:
Y * ( s ) G * ( s ) H * ( s ) X * ( s )
o, equivalentemente
Y ( z ) G ( z ) H ( z ) X ( z )
e dunque la funzione di trasferimento discreta della cascata è:
Y
X
( z )
( z )
G
( z ) H
( z )
65

x(t)
x*(t)
G(s)
Blocchi in cascata
u(t) y(t) y*(t)
H(s)
Tra i due sistemi dinamici G(s) e H(s) non c’è il campionatore, per cui va
considerata la dinamica complessiva G(s)H(s) prima di procedere al calcolo delle
Z-trasformate. Precisamente:
Quindi:
da cui:
Y ( s ) G ( s ) H ( s ) X * ( s )
G ( s ) H ( s ) * X * ( )
Y * ( s )
s
Y ( z ) GH ( z ) X ( z )
G ( s ) H ( s ) G ( z ) H ( )
GH ( z ) Z
z
66

Esempio
G(s)
u(t) y*(t)
u*(t) y(t)
x(t)
x*(t)
s
e sT
1
H 0(s)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
z
G
z
H
z
X
z
U
z
U
z
Y
z
X
z
Y
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
(
1
1
1
0
z
z
s
Z
z
s
e
Z
z
H
sT
)
(
)
(
)
(
)
(
z
G
s
G
Z
z
X
z
Y
67

Esempio
G(s)
u(t) y*(t)
y(t)
x(t)
x*(t)
s
e sT
1
s
s
G
Z
z
s
G
s
e
Z
s
G
s
H
Z
z
X
z
Y
sT
)
(
)
1
(
)]
(
1
[
)
(
)
(
)
(
)
( 1
0
69

Esempio
H(s)
u(t) y*(t)
u*(t) y(t)
G(s)
x(t)
x*(t)
a
s
s
G
1
)
(
b
s
s
H
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
H
z
G
z
X
z
U
z
U
z
Y
z
X
z
Y
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
z
e
z
e
b
s
Z
a
s
Z
z
H
z
G
z
X
z
Y
bT
aT
70

Esempio
H(s)
y*(t)
y(t)
G(s)
x(t)
x*(t)
a
s
s
G
1
)
(
b
s
s
H
1
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
z
GH
b
s
a
s
Z
s
H
s
G
Z
z
X
z
Y
)
1
)(
1
(
)
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
z
e
z
e
z
e
e
a
b
z
e
z
e
a
b
b
s
a
s
a
b
Z
bT
aT
bT
aT
bT
aT
71

si ha che:
da cui:
R(s)
Schema in retroazione
-
C
E(s)
E ( s )
( s )
E*(s) C(s)
G(s)
R ( s )
G
( s ) E
H
*
H(s)
( s ) C
( s )
( s )
E ( s ) R ( s ) H ( s ) G ( s ) E * ( s )
72

Schema in retroazione
Campionando
E*(s) = R*(s)-GH *(s)E*(s)
Si ottiene
C * ( s ) G * ( s ) E * ( s )
C
* ( s )
G
In termini di Z trasformata si ha:
C
( z )
G
1
( z ) R ( z )
GH
( z )
1
* ( s ) R * ( s )
C
GH
( z )
R ( z )
* ( s )
1
G
( z )
GH
( z )
73

Possibili configurazioni di sistemi in retroazione
G(s)
E(s)
H(s)
C(s)
R(s)
-
C(z)
)
(
1
)
(
)
(
)
(
z
GH
z
G
z
R
z
C
G(s)
E(s)
H(s)
C(s)
R(s)
-
C(z)
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
z
H
z
G
z
G
z
R
z
C
74

R(s)
R(s)
Possibili configurazioni di sistemi in retroazione
-
E(s)
-
E(s)
G 1(s)
H(s)
G 1(s)
H(s)
C
G 2(s)
C
( z )
( z )
R ( z )
G 2(s)
1
G
1
2
G
C(s)
G
G
1
( z ) G
1
C(s)
( z ) G
1
( z ) G
2
( z ) G
1
2
H
2
R ( z )
( z )
H
( z )
C(z)
( z )
C(z)
75