Modulazione QAM: idea base

Modulazione QAM: idea base
x(t)
I bit di sono rappresentati
Alternativamente da (t)
e da
x q
(t)
Si riesce a trasmettere la stessa
informazione con un tempo di
bit effettivo doppio
x i

Modulazione QAM: schema di principio
Il flusso di dati proveniente dalla sorgente viene diviso in
due rami ciascuno avente una bit rate
r =
r
L’informazione viene poi modulata nelle componenti in fase
e in quadratura e quindi trasmessa sul canale.
b
2

Formalizziamo i concetti visti nei lucidi precedenti:
Pertanto:
x ( t)
=
x
i
q
( t)
=
∑
k
∑
k
Modulazione QAM
[ x ( t)
cos( ω t + θ ) − x ( t)
sen(
ω + ) ]
xc c i
c
q
c
a
a
2k
( t)
= A
t θ
p(
t − kT)
2k
+ 1
p(
t − kT)
Informazione
nella QAM
1
T =
= 2T
r
b

Modulazione QAM: costellazione dei segnali
Si può rappresentare quanto fatto nella costellazione dei
segnali. Si ottiene:
A ciascun segnale (a ciascuna fase) è associata una coppia
di bit (un dibit).
I segnali sono codificati con un codice di Gray (due dibit
vicini si differenziano per un solo bit).

IPOTESI
x i
Modulazione QAM: calcolo dello spettro
a
equiprobabili e scorrelati;
k
Forme d’onda rettangolari polari NRZ di ampiezza ±1.
(t)
x q
(t)
e hanno uno spettro identico che si può determinare dallo
spettro della PAM. Si può facilmente verificare che:
1 1
2 2
x = ⋅1+
⋅(
−1)
=
i xq
xi
x
2 2
m m σ σ
= q
Pertanto lo spettro equivalente passa basso sarà dato da :
Glp (
f ) = Gi
( f ) + Gq
( f ) = 2×
r P(
f )
2
=
= 1
2
sinc
r
2
⎛
⎜
⎝
f
r
⎞
⎟
⎠

Modulazione QAM: calcolo dello spettro
Quindi lo spettro passa banda della QAM è dato da:
G
c
(
f
)
=
Ac
4
2
A
2
⎡ ( f − f ) ( f +
[ ] c 2 c
2 c
Glp
( f − fc
) + Glp
( f + fc
) = ⎢sinc
− sinc
2r
⎥
⎣ r
r ⎦
f
) ⎤

Modulazione QAM: occupazione di banda
Come nel caso della ASK la banda è infinita. Tuttavia,
siccome anche in questo caso si ha un rolloff del secondo
ordine, la banda può essere approssimata a:
B T ≅
L’occupazione di banda di una QAM è uguale a quella della
ASK.
r

Modulazione QAM: efficienza spettrale
Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:
B
T
≅
r
=
rb
2
⇒
r
B
b
T
=
[ bps / Hz]
L’efficienza spettrale raddoppia in quanto in pratica si
hanno 2 sorgenti (una associata alla componente in fase,
l’altra alla componente in quadratura) che trasmettono
nella stessa banda di una ASK.
OSSERVAZIONE: nello spettro non ci sono impulsi →
miglior uso della potenza di trasmissione rispetto alla ASK.
rb
rb
2
=
2

Modulazione digitale di fase (PSK)
L’informazione del segnale digitale è contenuta nella fase
della portante.
Caso particolare: M = 2, variazione di fase = ±π radianti →
Phase Reversal Keying (PRK).

Modulazione PSK
Consideriamo il caso di una PSK M-aria:
Dove:
∑
x ( t)
= A cos( ω t + θ + ϕ ) p(
t − kT)
c
c
k
c
( 2ak
+ N)
ϕk
= π
ak
= 0,
1,....,
M −1
M
k
{0, 1}
Numero di livelli
Della PSK M-aria

Modulazione PSK: costellazione dei segnali
Esempi di costellazioni dei segnali (M=2)
PRK → Phase Reversal
Keying (è un caso
particolare della PSK binaria
in cui la fase può avere
shift di ±π radianti)

Modulazione PSK: costellazione dei
segnali
Esempi di costellazioni di segnali (M=4)

Modulazione PSK: calcolo dello spettro
Valutiamo lo spettro di densità di potenza della PSK (per
semplicità si consideri θ = 0):
∑
x ( t)
= A (cosϕ
cosω
t − senϕ
senω
t)
p(
t − kT )
c
In questo caso si ha:
x
x
i
c
q
k
( t)
( t)
=
=
k
∑ cos ϕ
k p(
t − kT ) = ∑
k k
∑ senϕ
k p(
t − kT ) = ∑
k k
Vediamo come è fatto lo spettro di entrambe le
componenti.
c
k
I
k
Q
p(
t
k
p(
t
c
−
−
kT
kT
)
)

Scegliendo le fasi in accordo a quanto riportato a pag 10,
si ha:
I
k
σ
2
I
=
Pertanto:
k
Modulazione PSK: calcolo dello spettro
=
E
{ cosϕ
k } = 0
Q = E{
senϕ
}
E
1
{ 2
cos ϕ } k =
2
G (
f )
G
i
lp
(
f
)
=
=
G
q
G
i
(
f
)
=
r
2
( f ) + G
q
P(
(
f
f
)
)
=
σ
2
k
2
Q
=
k
=
1
sinc
r
2
E
1
sinc
2r
⎛
⎜
⎝
k
=
0
1
{ 2
sen ϕ } k =
2
f
r
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
f
r
⎞
⎟
⎠

Modulazione PSK: calcolo dello spettro
Anche in questo caso la componente in fase e quella in
quadratura sono scorrelate ( E{ cos ϕk
⋅ senϕ
j}
= 0 ) per cui si può
scrivere:
G
c
( f )
=
Ac
4
2
{ G ( f − f ) + G ( f + f ) }
lp
c
lp
c
⎡( f −
⎢
⎣ r
) ⎤
⎥ + sinc
⎦
⎡ ( f +
⎢
⎣ r
Lo spettro che si ottiene è analogo a quello di una QAM:
=
2
Ac
⎧
⎨sinc
4r
⎩
2
f
c
2
f
c
) ⎤⎫
⎥⎬
⎦⎭

Modulazione PSK: occupazione di banda
La banda risultante è infinita. Tuttavia, essendo il rolloff
del secondo ordine, la banda può essere approssimata a:
B T ≅
È importante osservare che, come nella ASK, il valore di M
non influisce sull’andamento spettrale.
r

Modulazione PSK: efficienza spettrale
Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:
B
r
b
T
≅
r
= r log
2
M
⇒
Nella PSK la banda di trasmissione e l’efficienza spettrale
sono uguali al caso della ASK.
La PSK ha miglior efficienza nell’uso della potenza di
trasmissione alla ASK (nello spettro non è presente
l’impulso alla frequenza di portante).
r
B
b
T
=
log
2
M

Esempio di calcolo della costellazione: caso M=4, N=0.
Modulazione PSK: costellazione dei
segnali
k
k
k
k
k
k
sen
q
i
a
a
M
N
a
ϕ
ϕ
π
π
ϕ
→
→
=
=
+
=
cos
3
,
2
,
1
,
0
2
)
2
(
⎩
⎨
⎧
−
=
=
⇒
=
⇒
=
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
⇒
=
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
=
⇒
=
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
=
⇒
=
1
0
cos
2
3
3
0
1
cos
2
1
0
cos
2
1
0
1
cos
0
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
sen
a
sen
a
sen
a
sen
a
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

Modulazione PSK: costellazione dei
segnali
( 2ak
+ N)
ak
ϕk
= π = π
M 2
a = 0,
1,
2,
3
k

Modulazione digitale di frequenza
L’informazione del segnale digitale è contenuta nella
frequenza della portante.

Modulazione digitale di frequenza
Esistono due tipologie di modulazione digitale di
frequenza:
Frequency Shift Keying (FSK): il segnale modulato risulta essere
discontinuo ad ogni istante di commutazione. Con opportuni
accorgimenti, è possibile rendere il segnale continuo nel tempo, ma
non nella fase.
Continuos Phase Frequency Shift Keying (CPFSK): il segnale
modulato risulta a fase continua anche negli istanti di
commutazione.

Modulazione FSK
Una FSK M-aria può essere rappresentata da uno schema
di principio di questo tipo:
Problema: se le ampiezze, le fasi e le frequenze degli
oscillatori non sono scelte accuratamente, ad ogni istante
di commutazione t=kT il segnale modulato xc (t)
può
risultare discontinuo.

Supponiamo che tutti gli oscillatori abbiano la stessa
ampiezza A c e fase θ e che le loro frequenze siano date
da:
Modulazione FSK: condizione di continuità
f
x
k
c
=
( t)
f
c
=
+
A
f
∆
a
k
a
k
= ± 1,
± 3,......,
± ( M −1)
c∑
cos( ωct + θ + ω∆akt
) p(
t − kT)
ω∆
= 2πf
∆
k
x c
(t)
M pari
La continuità di negli istanti di commutazione è
garantita se:
2 ω∆T = 2πN
Con N numero intero.

Modulazione FSK: condizione di continuità
Infatti la condizione per avere continuità nel tempo è:
ciò è vero se:
[ ω ( T ) + ω a ( t + T ) ] = cos[
ω ( t + T ) + ω a ( t + ) ]
cos 1 T
2 ω T = 2πN
∆
c
t + ∆ k
c
∆ k +
ω T ω a T = πN
⇒ ( a − a ) ω T = 2πN
∆ak
− ∆ k + 1 2 k k + 1 ∆
ak = ± 1, ± 3,.....,
± ( M −1)
se c’è commutazione, al minimo
vale 2
se varia velocemente varia
comunque di un multiplo

In generale il calcolo analitico dello spettro di una
modulazione FSK è molto complicato.
Nel seguito della trattazione verranno analizzati due casi
particolari:
FSK di Sunde;
FSK M-aria ortogonale.
Modulazione FSK

FSK di Sunde
La FSK di Sunde è una modulazione binaria caratterizzata
da:
1
M = 2 ak
= ± 1 T = Tb
= f∆
=
r
Vediamo se con tali parametri viene soddisfatta la
condizione di continuità:
r
2ω∆T
= 2πN
⇒ 2⋅
2π
⋅ ⋅Tb
2
= 2πN
⇒ 2π
= 2
b π
b
N
rb
2
⇒
verificata
per N = 1

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Vediamo come si può fare per ricavare lo spettro della
FSK di Sunde. Supponiamo θ=0 e A c =1:
q
x
=
c
x ( t)
=
x
i
( t)
( t)
=
∑
=
k
∑
k
∑
k
cos( ω t + ω a t)
p(
t − kT
[ cosω
a t cosω
t − senω
a tsenω
t]
p(
t − kT )
∆
∆
k
k
c
±1
cosω
a tp(
t − kT )
∑senω∆aktp( t − kTb
) = ∑
c
∆
k
=
k k
b
∆
a
k
∆
k
cosω
t
b
←
)
∆
=
c
senω
tp(
t − kT )
b
b
Non dipende dal simbolo trasmesso

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Allora abbiamo che:
Se avessimo avuto:
xq ( t)
= ∑ aksenω∆t
p(
t − kTb
)
k
[ ω ( t − kT ) ] p(
t kT )
xq ( t)
= ∑ aksen
∆ b − b
x q
(t)
k
La presenza di questo
Termine complica le
cose
la componente sarebbe sta un segnale PAM con forma
d’onda data da:
z( t)
ˆ sen t p(
t)
sen rbt
p(
t)
⋅ = ⋅ = ω∆
π

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Vediamo allora come riportarci a tale situazione.
Osserviamo che:
sen
[ ω ( t − kT ) ]
∆
rb
rb
= sen2π
t cos 2π
kT
2 2
b
b
= senω
t cosω
kT
k
= senπr
t cosπk
= ( −1)
senπr
t = ( −1)
∆
b
[ ω ( t − kT ) ]
− cosω
tsenω
kT
rb
rb
− cos 2π
tsen2π
kTb
=
2 142243
4
b
∆
b
k
∆
0
senω
t
sen ∆ b k
senω∆t = = ( −1)
sen − kT
k
∆
( −1)
∆
[ ω ( t ) ]
b
∆
b
=

Pertanto possiamo scrivere:
Ricapitolando:
FSK di Sunde: calcolo dello spettro
x
q
può essere vista come
l'espressione
di una PAM con
forma d'onda
z(t)
644
4 74448
( ) ∑
k
t ( −1)
a z(
t − kT )
x
i
q
= k
x ( t)
cosω
t = cosπr
t
( t)
= ∆
=
∑
k
( −1)
k
k
a
k
b
b
z(
t − kT
b
)

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Per ricavare lo spettro di ricaviamo prima lo spettro
equivalente passa basso G e poi effettuiamo la sua
lp ( f )
traslazione in frequenza.
x i
(t)
x q
(t)
e sono indipendenti → Glp ( f ) è dato dalla somma
dei contributi determinati da tali componenti.
(t)
(t)
Per quanto riguarda abbiamo:
X
G
i
i
(
(
f
f
)
)
=
=
ℑ
X
x i
[ cos πr
t]
i
(
b
f ) ⋅ X
(
=
f
1
2
)
x c
⎡ ⎛
⎢δ
⎜
⎣ ⎝
=
f
−
rb
2
1 ⎡ ⎛
⎢δ
⎜ f
4 ⎣ ⎝
⎞
⎟
⎠
−
⎛
+ δ ⎜ f
⎝
+
rb
⎞ ⎛
⎟ + δ ⎜ f
2 ⎠ ⎝
rb
⎞⎤
⎟
2
⎥
⎠⎦
+
r
2
* b
i
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦

Per quanto riguarda , dallo spettro della PAM
possiamo scrivere:
G
m
Pertanto:
FSK di Sunde: calcolo dello spettro
q
x
(
q
=
E
b
x
x q
(t)
2 2
2
) = ( ) + ( ) ∑ (
+∞
f r σ Z f r m Z nr
q
n=
−∞
{ ( 1)
} 0
[ ( 1)
]
k
2
k
− a = σ = E − a
k
b
Gq b
( f ) =
r Z(
f
x
q
x
q
b
)
2
δ ( f
− nr
{ } 2
{ 2
− m = E a } = 1
)
2
k
x
b
q
)
k

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Resta solo da calcolare Z(
f ) :
2
2 ⎧ j ⎡ ⎛ r
⎫ ⎧ 1 ⎛ ⎞⎫
b ⎞ ⎛ rb
⎞⎤
f
Z( f ) = ℑ{
senπr
⋅ ( ) } = ⎨−
⎬*
⎨ sinc ⎬
2
⎢ ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟
2 2
⎥ ⎜
⎟
bt
p t δ f δ f
⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎭
⎩rb
⎝ rb
⎠⎭
=
1
4r
2
b
⎡ ⎛ rb
⎞ ⎛ rb
⎞⎤
⎢ ⎜ f + ⎟ ⎜ f − ⎟
sinc 2 sinc 2
⎥
⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥
⎢ ⎜ rb
⎟ ⎜ rb
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
Le due sinc si compenetrano
2
2
2
=

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Nel caso di FSK di Sunde lo spettro di ha quindi il
seguente andamento:
(t)
Lo spettro equivalente passa basso ( f ) è dato da:
G lp
1 ⎡ ⎛ rb
⎞ ⎛ rb
⎞⎤
( f ) = Gi
( f ) + Gq
( f ) = f f + r Z(
f
4
⎢δ
⎜ − ⎟ + δ ⎜ + ⎟
2 2
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Glp b
x q
)
2

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Lo spettro di x (t)
è quindi dato da (Ac =1):
c
1
G c ( f ) =
lp c lp + c
4
[ G ( f − f ) + G ( f f ) ]

FSK di Sunde: calcolo dello spettro
Anche in questo caso, a rigore, la banda sarebbe infinita.
Si può però fare riferimento al lobo principale dello
spettro.
La larghezza del lobo principale è maggiore di quella di un
sinc 2 . Tuttavia, il rolloff è del quarto ordine (si ha uno
smorzamento in frequenza più veloce rispetto al caso di
ASK e PSK) → la banda è determinata considerando una
porzione minore del lobo principale:
BT b
≅ r = 2f
La presenza di 2 impulsi nello spettro evidenzia un
“cattivo” uso della potenza di trasmissione (la componente
in fase non porta informazione e fa sprecare potenza).
∆

FSK di Sunde: efficienza spettrale
L’efficienza spettrale di una FSK di Sunde vale quindi:
B
T
≅
r
b
⇒
r
B
T
[ bps / Hz]
Nella FSK di Sunde la banda di trasmissione e l’efficienza
spettrale sono uguali al caso di una ASK binaria e di una
PSK binaria.
≅ 1

FSK M-aria ortogonale
Consideriamo adesso un altro caso particolare di FSK: FSK
M-aria ortogonale.
Nella FSK M-aria ortogonale le M frequenze che
rappresentano gli M livelli della PAM sono equispaziate ad
una distanza pari a:
1
2 f ∆ = =
2T
Tralasciamo l’analisi spettrale della FSK M-aria ortogonale
perché è molto complessa. E’ possibile dimostrare che
l’occupazione di banda di tale modulazione è data da:
r
BT > M ⋅ 2 f∆
= M
2
r
2

FSK M-aria ortogonale: efficienza
spettrale
L’efficienza spettrale è quindi data da:
r
B
b
T
≤
r log2 M 2log2
M
=
r
M
M
2
vale1
per M = 2 e per M = 4
è inferiore a 1per
M > 4
L’efficienza spettrale di una FSK M-aria è peggiore di
quella di una ASK o di una PSK M-aria.
⇒

Modulazione CPFSK
La CPFSK, al contrario della FSK, mantiene la continuità
della fase negli istanti di commutazione.
Una modulazione CPFSK può essere rappresentata con uno
schema di questo tipo:
Per realizzare la CPFSK si invia il segnale digitale ad un
modulatore FM.

Modulazione CPFSK
x(t)
Supponiamo il segnale digitale in banda base nullo per
t

Modulazione CPFSK
Consideriamo nel dettaglio quanto vale l’integrale
nell’argomento del cos:
t
+∞
x(
λ)
dλ
= a p(
λ − kT)
dλ
∫ ∑ ∫ k
0 k = 0 0
Integrando per parti si ottiene:
t
∫
0
t
⎧
⎪
⎪a0t
0 < t < T
⎪
x(
λ)
dλ
= ⎨a0T
+ a1(
t −T
) T < t < 2T
⎪
⎪⎛
k −1
⎞
⎪⎜∑
⎟ + − < < +
⎪⎜
a j ⎟
T ak
( t kT ) kT t ( k 1)
T
⎩⎝
j=
0 ⎠

Il segnale modulato può quindi essere scritto come:
x
c
Dove:
( t)
= A ∑ ∞
c
k = 0
cos
Modulazione CPFSK
[ ω t + θ + φ + ω a ( t − kT)
] ⋅ p(
t − kT)
c
φ
= ˆ ω T
k
∆
k
∑ − k 1
j=
0
a
j
∆
k

Modulazione CPFSK
Una modulazione CPFSK è caratterizzata da:
f
Una frequenza istantanea del tutto analoga a quella di una
k
modulazione FSK:
φ
k
fk = fc
+ f∆a
k
Una fase che dipende dai simboli precedentemente trasmessi:
φ
φ = ω T
k
∆
∑ − k 1
j=
0
kT
k garantisce la continuità della fase del segnale modulato anche
negli istanti di commutazione.
a
j
<
t
< ( k + 1)
T

Modulazione CPFSK: spettro
L’informazione sui simboli precedentemente trasmessi
contenuta nella fase φk
della CPFSK complica molto il
calcolo analitico dello spettro di densità di potenza.
Per semplicità, ci limitiamo ad analizzare l’andamento dello
spettro (senza dimostrazione) in un caso particolare che è
quello della modulazione binaria Minimum Shift Keying
(MSK).

Modulazione MSK
La MSK è una modulazione CPFSK binaria caratterizzata
da:
M
=
2
a
k
= ± 1
f
In questo caso, la deviazione di frequenza f∆
è pari a metà
di quella della FSK di Sunde. Questo permette di ottenere
uno spettro molto compatto.
∆
=
rb
4
φ
k
=
π
2
∑ − k 1
j=
0
a
j

Modulazione MSK: spettro
Si può dimostrare che lo spettro della MSK è dato da:
G
(
f
)
⎡ ⎛ rb
⎞ ⎛ rb
⎞⎤
1 ⎢ ⎜ f + ⎟ ⎜ f − ⎟
sinc 4 sinc 4
⎥
= ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥
r ⎢ ⎜ r
b
b ⎟ ⎜ b ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎥⎦
lp r
2

Modulazione MSK: efficienza spettrale
La banda può essere approssimata a:
rb
BT ≅
2
L’efficienza spettrale è quindi data da:
rb
rb
≅
= 2 /
B r T b
2
[ bps Hz]
Rispetto alla FSK di Sunde, la MSK non presenta impulsi
nello spettro ⇒ migliore uso della potenza di trasmissione.
Inoltre si ha un’efficienza spettrale doppia.

Modulazione MSK
La MSK rappresenta un modello di riferimento (è il meglio
che si può fare nel caso binario).
π
φ
=
∑ − k 1
a
k
j
Poiché 2 non c’è mappatura diretta tra simbolo
j=
0
trasmesso e fase ⇒ la complessità hardware della MSK è
elevata

Modulazioni miste: Amplitude Phase
Keying (APK)
Le modulazioni “combinate” di ampiezza e fase sono
tecniche molto efficienti per la trasmissione di segnali
numerici.
Nelle modulazioni APK, l’informazione del segnale digitale è
contenuta sia nella fase sia nell’ampiezza della portante.

Modulazione APK: costellazione dei
segnali
Vediamo due esempi di possibili costellazioni dei segnali
per una modulazione APK M-aria con M=16

A parità di energia media di trasmissione, con la APK si
possono distanziare maggiormente i segnali nella
costellazione rispetto a quanto è possibile fare con le altre
tecniche viste.
Ciò comporta una diminuzione della probabilità di errore
rispetto alle altre tecniche.
P
be
Modulazione APK: costellazione
Complessità hardware molto elevata.

Modulazione APK: efficienza spettrale
Lo spettro può essere calcolato in modo analogo a quello
usato per calcolare lo spettro di una PSK M-aria, pertanto:
B T ≅
Quindi l’efficienza spettrale risulta:
B
r
b
T
≅
r
= r log
2
M
⇒
r
r
B
b
T
=
log
2
M