Modelli per il Calcolo del Value at Risk

Modelli per il Calcolo del 

Value at Risk 

Andrea Berardi 

Università di Verona

Rischio di Mercato 

Il rischio di mercato è il rischio di variazioni 

“avverse” nel valore di mercato delle attività 

finanziarie dovute a variazioni inattese nei tassi 

di interesse, nei corsi azionari, nella volatilità, 

nei tassi di cambio, nei prezzi delle commodity 

Per un’istituzione finanziaria, il rischio di 

mercato è connesso sia all’attività di trading di 

breve termine che all’attività di investimento di 

medio-lungo termine 

Slides AB Modelli per il calcolo del Value at Risk 

1

Classificazione dei Rischi di Mercato 

• Delta risk (absolute price risk): sensitività rispetto a 

variazioni nel prezzo di un’attività 

• Gamma risk (convexity risk): sensitività rispetto a 

variazioni del second’ordine nel prezzo di un’attività 

• Volatility risk (vega risk): sensitività rispetto a 

variazioni nella volatilità di un’attività 

• Theta risk (time decay risk): sensitività rispetto al 

trascorrere del tempo 

• Correlation risk (base risk): sensitività rispetto a 

variazioni nel prezzo dello strumento di hedging 

• Rho risk (discount rate risk): sensitività rispetto a 

variazioni nel fattore di sconto 


2

Value at Risk (VaR) 

La necessità di calcolare una misura quantitativa 

del rischio di mercato ha consentito lo sviluppo 

dei modelli di valore a rischio (Value at Risk) 

Il calcolo del VaR si propone di fornire una 

misura della massima perdita potenziale (V euro) 

che una posizione dovrebbe sopportare, a causa 

dei rischi di mercato, nel corso dei prossimi N 

giorni con un grado di confidenza X (in %) 

⇓ 

La variabile V è il VaR della posizione 


3

Parametri del VaR 

Il VaR è quindi una misura probabilistica, 

il cui valore è funzione di due parametri: 

N, l’orizzonte temporale 

X, il livello di confidenza 

Prob{ 

perdita( N) 

≥ VaR( 

N; 

X ) } = 1− 

X 


⇓ 

4

Finalità del VaR 

L’orizzonte temporale (N) sul quale calcolare il 

VaR è legato al tempo che sarebbe eventualmente 

necessario per smobilizzare la posizione (liquidità) 

Il VaR risponde anche alla domanda: “Di quanto 

capitale c’è bisogno per avere una probabilità X di 

resistere a movimenti avversi del mercato per il 

tempo necessario a smobilizzare la posizione?” 

⇓ 

Cattura in un solo numero un 

importante aspetto del rischio 


5

Vantaggi del VaR 

Il calcolo del VaR è applicabile a tutte le 

tipologie di rischio di mercato: 

• rischio su azioni (portafogli azionari) 

• rischio di tasso (portafogli obbligazionari) 

• rischio di cambio (portafogli in valuta) 

• basis risk (portafogli di derivati) 


6

Procedura di calcolo del VaR 

Il calcolo del capitale a rischio nella 

metodologia VaR richiede i seguenti passi: 

Valutazione della posizione a rischio per ogni 

unità operativa (azionario, obbligazionario, 

derivati, cambi, …) 

Calcolo della volatilità (storica, implicita, …) 

e delle correlazioni tra i fattori di rischio 

Valutazione del tempo minimo di smobilizzo 

per tipologia di posizione 

Scelta del livello di probabilità 


7

VaR e requisiti patrimoniali 

Le autorità di vigilanza richiedono alle banche 

di detenere, a fronte dei rischi di mercato ai 

quali sono esposte, un capitale minimo 

Modello standard 

processo rigidamente 

strutturato e 

standardizzato 


Modello interno 

processo sviluppato 

dal sistema di risk 

management interno 

8

Modello interno 

Capitale minimo richiesto pari al valore massimo 

tra (i) ultimo VaR calcolato e (ii) prodotto tra la 

media dei VaR stimati negli ultimi 60 giorni 

lavorativi (3 mesi) con N =10 e X =99% e un 

coefficiente moltiplicativo (di solito, k = 3) 

CMR 

t 

1 

= Max( 

k ⋅ ⋅∑ 

60 i= 

Z: fattore di penalità 

VaR 

t−i 


60 

1 

, VaR 

t− 

1) 

+ 

Z 

9

Tenere capitali immobilizzati a fronte dei rischi di 

mercato è costoso per un’istituzione finanziaria 


⇓ 

Ricerca della metodologia VaR più efficiente per 

controllare il rischio e, allo stesso tempo, meno 

“onerosa” in termini di requisiti di capitale 

10

Volatilità 

• La variabile fondamentale nella 

determinazione del VaR è la “volatilità” 

• Nel calcolo del VaR si usa una misura di 

volatilità giornaliera 

• Se ci sono 252 giorni lavorativi in un anno, la 

relazione tra volatilità giornaliera σ g e 

volatilità annuale σ a (sotto l’ipotesi di assenza 

di correlazione seriale nei rendimenti) è 

σ = 

σ a 

252 


g 

11

Calcolo della volatilità per il VaR 

• Volatilità storica: definita come deviazione 

standard dei tassi di rendimento giornalieri 

• Volatilità implicita: ricavata dai prezzi delle 

opzioni sulla base del modello Black-Scholes o 

sue estensioni 

• Volatilità stocastica: stimata con modelli 

statistico-econometrici (GARCH, ...) 

Sezione a parte 


12

Metodi per calcolo del VaR 

Modelli parametrici 

Approccio Varianza-Covarianza 

Portfolio Normal 

Asset/Beta Normal 

Modelli non parametrici 


Delta Normal 

Delta-Gamma Normal 

Approccio di simulazione 

Monte Carlo Simulazione storica 

13

Portfolio – Normal VaR 

Per il calcolo del VaR, si considerano solamente 

il valore del portafoglio in aggregato, Π, e la 

volatilità del rendimento del portafoglio, σ Π , 

senza scomporre questo nelle sue componenti 

Ipotesi di base sui rendimenti giornalieri: 

indipendenti 

valore atteso nullo 

Normalmente distribuiti 


14

Distribuzione Normale standardizzata 

1% 

– 2.33 – 1.65 0 

5% 


15

Distribuzione Normale dei rendimenti 

– 2.33 σ Π – 1.65 σ Π μ = 0 

1% 

5% 


16

Date le ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti 

giornalieri del portafoglio (indipendenza, valore 

atteso nullo, distribuzione Normale) 

La coda sinistra all’1% della distribuzione di 

probabilità dei rendimenti giornalieri si ha in 

corrispondenza del valore: – 2,33 · σ Π 

La coda sinistra al 5% della distribuzione di 

probabilità dei rendimenti giornalieri si ha in 

corrispondenza del valore: – 1,65 · σ Π 


⇓ 

17

Pertanto, il valore (espresso in termini di 

unità monetarie) del VaR a N giorni con un 

livello di confidenza X èdato da: 

X = 99% ⇒ 

VaR( N; 

99%) 

2, 

33⋅σ 

⋅Π 

⋅ 

= Π 

X = 95% ⇒ VaR( N; 

95%) 

1, 

65⋅σ 

⋅Π 

⋅ N 

= Π 


N 

18

Esempio calcolo P-N VaR 

• Portafoglio azionario di $100 milioni 

• La volatilità giornaliera del portafoglio è 

del 3% (48% su base annua) 

• VaR decadale a livello di confidenza 99% 

(95%): N = 10 e X = 99% (95%), ovvero: 

“esiste una probabilità dell’1% (del 5%) 

che nei prossimi 10 giorni, a seguito di 

variazioni di mercato, il valore del 

portafoglio perderà più di $VaR” 


19

Esempio calcolo P-N VaR (cont.) 

Volatilità giornaliera del valore della posizione 

3% × $ 100.000.000 = $ 3.000.000 

Volatilità decadale del valore della posizione 

$ 3.000.000 × √10 = $ 9.486.833 


20

Esempio calcolo P-N VaR (cont.) 

Dato che il primo percentile della distribuzione 

Normale si ottiene in corrispondenza del valore 

α = – 2,33, il VaR decadale al 99% è pari a: 

2,33 × $ 9.486.833 = $ 22.104.321 

Dato che il quinto percentile della distribuzione 

Normale si ottiene in corrispondenza del valore 

α = – 1,65, il VaR decadale al 95% è pari a: 

1,65 × $ 9.486.833 = $ 15.653.274 


21

Esempio pratico P-N VaR 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Portfolio Normal VaR”) 


22

Asset – Normal VaR 

Si suddivide il portafoglio nelle sue componenti 

e si ipotizza che il rendimento giornaliero di 

ciascuna attività sia distribuito secondo una 

distribuzione normale a media nulla 

In questo caso, nel calcolare il VaR del 

portafoglio, bisognerà tenere conto sia delle 

volatilità delle singole attività che delle 

correlazioni tra i loro rendimenti 


⇓ 

23

Ipotesi alla base del modello: 

• Portafoglio composto da n attività 

• Quindi, variazioni di valore del portafoglio 

dipendono in modo lineare dalle variazioni di 

valore delle n attività 

• Tassi di rendimento delle n attività (Ri ) seguono 

una distribuzione Normale e sono indipendenti 

• Ne consegue che il tasso di rendimento del 

portafoglio si distribuisce secondo una Normale 

• La varianza del portafoglio include la 

correlazione tra i rendimenti delle n attività 


24

Il rendimento e la volatilità del portafoglio sono: 

Π 

= 

Π 

n d 

σ i è la volatilità del rendimento dell’i-ma attività 

e ρ ij è la correlazione tra i rendimenti della i-ma 

e della j-ma attività 


n 

∑ 

i= 

1 

σ = ∑∑ω 

ω σ σ 

Π i j i 

n 

i= 

1 j= 

1 

ω 

i i R 

j 

ρ 

ij 

25

Pertanto, data l’ipotesi di distribuzione 

Normale dei rendimenti, il valore (espresso in 

termini di unità monetarie) del VaR a N giorni 

con un livello di confidenza X èdato da 

VaR( N; 

X ) = −ασ 

Π Π 

α è il valore corrispondente al percentile della 

distribuzione Normale rilevante per il VaR 


N 

26

VaR( 

N; 

= 

= 

In modo equivalente, il VaR del portafoglio può 

essere espresso nella forma: 

n 

i= 

1 j= 

1 

n 

n 

n 

X 

∑∑ 

∑∑ 

i= 

1 j= 

1 

) 

= 

n 

i= 

1 j= 

1 

( α N ( ω Π) 

σ )( α N ( ω Π) 

σ ) 

( VaR )( ) i ( N; 

X ) VaR j ( N; 

X ) ρij 




i 

n 

∑∑ 

( −α 

) 

i 

2 

N 

( ω Π)( 

ω Π) 

σ 

i 

j 

j 

j 

ρ 

ij 

i 

σ 

j 

ρ 

ij 

27

Se vi fosse perfetta correlazione tra le attività in 

portafoglio (ρ ij = 1 per tutte le coppie di attività), il 

VaR del portafoglio sarebbe dato dalla somma di n 

VaR, uno per ognuna delle attività in portafoglio 

VaR ( N ; 

∑ 

i= 

1 


X 

) 

= 

VaR( 

N; 

X 

n 

VaR 

< 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

( N ; 

L’effetto diversificazione (ρij < 1 per almeno una 

coppia di attività) riduce quindi la rischiosità del 

portafoglio 

) 

VaR 

i 

X 

) 

( N; 

X 

) 

28

Esempio calcolo A-N VaR 

• Posizione lunga in azioni ABC del valore di 

$ 10 milioni 

• La volatilità giornaliera della ABC è del 2% 

(32% su base annua) 

• VaR decadale a livello di confidenza 99%: 

“esiste una probabilità dell’1% che nei 

prossimi 10 giorni, a seguito di variazioni di 

mercato, il valore della posizione perderà 

più di $VaR” 


29

Esempio calcolo A-N VaR (cont.) 


2% × $ 10.000.000 = $ 200.000 


$ 200.000 × √10 = $ 632.456 


⇓ 

VaR decadale con livello di confidenza del 99% 

2,33 × $ 632.456 = $ 1.473.621 

30


• Posizione lunga in azioni XYZ: $ 5 milioni 

• Volatilità giornaliera della XYZ: 1% 


1% × $ 5.000.000 = $ 50.000 


$ 50.000 × √10 = $ 158.114 

VaR decadale con livello di confidenza del 99% 

2,33 × $ 158.114 = $ 368.405 


31


• Anziché considerare le due attività 

separatamente, si consideri ora il 

portafoglio composto da $ 10 milioni di 

azioni ABC e $5 milioni di azioni XYZ 

• Si ipotizzi che la correlazione tra i tassi 

di rendimento delle due azioni sia 0,7 


32

X + Y 

Nell’esempio si ha: 

σX = $ 632.456, σY = $ 158.114 e ρ = 0,7 

Volatilità decadale del valore del portafoglio 


2 

X 

2 

Y 

σ = σ + σ + 2ρσ 

( ) 2 

$ 632. 

456 + ( $ 158. 

114) 

2× 

0, 

7 


Per la volatilità del portafoglio si usa l’espressione 

× $ 

632. 

456 

× 

2 

+ 

$ 158. 

114 

X 

= 

σ 

Y 

$ 

751. 

665 

33


Il VaR del portafoglio complessivo è pari a 

2,33 × $ 751.655 = $ 1.751.379 

Il VaR delle singole posizioni in azioni ABC e XYZ 

è pari, rispettivamente, a $ 1.473.621 e a $ 368.405 

In termini di VaR, la diversificazione del 

portafoglio comporta quindi dei benefici 

($ 1.473.621 + $ 368.405) − $ 1.751.379 = $ 90.648 


34

Esempio pratico A-N VaR 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Asset Normal VaR”) 


35

Applicazione al portafoglio Barings 

Portafoglio: 

$ 7,7 mld lungo futures Nikkei stock index 

$ 16 mld corto futures JapGovBonds 

Volatilità e correlazione mensili 

σ Nm = 5,83%, σ Jm = 1,18%, ρ = – 0,114 


⇓ 

Calcolo del VaR mensile con modello Asset Normal 

36

Volatilità mensile del valore del portafoglio 

( ) 2 

$ 7, 

7⋅ 

0, 

0583 + ( −$ 

16⋅0, 

0118) 

2× 

( −0, 

114) 

× 

( $ 7, 

7⋅ 

0, 

0583) 

× ( −$ 

16⋅0, 

0118) 


⇓ 

2 

+ 

= 

$ 506, 

45 

VaR(1 mese; 99%) del portafoglio è pari a: 

2,33 × $ 506,45 = $ 1,18 mld 

⇓ 

Perdita effettiva: $ 1,3 mld 

37

22000 

21000 

20000 

19000 

18000 

17000 

16000 

15000 

14000 

Jan-94 

Mar-94 

May-94 

Jul-94 

INDICE NIKKEI 

Sep-94 

Nov-94 

Jan-95 

Mar-95 


- 15% 

May-95 

Jul-95 

Sep-95 

Nov-95 

Jan-96 

38

Limiti dell’approccio Asset – Normal 

Quando il portafoglio è composto da numerose 

attività, si rende necessario il calcolo di un 

ammontare elevato di correlazioni, che rende di 

difficile applicabilità il modello Asset-Normal 


⇓ 

Scomposizione del rischio di mercato in un numero 

limitato di fattori di rischio comuni a più attività 

⇓ 

Modelli Beta-Normal e Delta-Normal 

39

Beta – Normal VaR 

Approccio che si propone di semplificare la 

struttura della matrice di covarianze necessaria 

per il calcolo del VaR di un portafoglio azionario 


⇓ 

Modello diagonale di Sharpe 

Il rendimento di tutti i titoli in portafoglio (R i ) 

viene influenzato da un fattore comune, ovvero il 

rendimento dell’indice di mercato (R m ) 

40

La matrice di covarianze dei rendimenti è 

Ri = αi 

+ βiRm 

+ εi 


, 

i = 1,..., 

n 

Rm = α m + ε m 

__________________________ 

( ) 2 

R = 

Var σ 

m 

Cov( ε , ε ) = 

i 

Modello diagonale di Sharpe 

j 

m 

0 

Var σ σ 

2 2 2 

( Ri 

) = β i m + i 

2 

Cov( Ri 

, R j ) = β β σ i j m 

Il parametro β i esprime la sensitività 

del rendimento del titolo i-esimo rispetto 

al rendimento del mercato 

41

Σ 

Matrice Varianze – Covarianze 

La matrice di covarianze dei rendimenti è 

= 

⎡ 

⎢ 

⎢ 

⎢⎣ 

β 

1 

... 

β 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

[ β ... β ] 

1 

Σ 


= 

ββ 

n 

σ 

′ σ 

2 

2 

m 

m + 

2n+1 parametri da stimare: n valori del vettore β ; 

n elementi della matrice D ; la varianza dell’indice 

+ 

⎡ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

D 

σ 

2 

1 

... 

0 

... 

... 

... 

0 

... 

σ 

2 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

42

Varianza di portafoglio e calcolo del VaR 

La varianza di portafoglio è 

2 

Π 

( ω' 

ββ′ 

ω) 

σ 

2 

+ ω' 

ω 

σ = ω'Σω 

= 

D 

ω è il vettore dei pesi dei titoli in portafoglio 

Nel caso di portafogli ben diversificati, il rischio 

idiosincratico tende ad annullarsi e la varianza di 

portafoglio dipende solo dal rischio sistematico 

2 

Π 


m 

( ω ' ββ 

ω ) σ 

2 

lim σ = ′ m 

n → ∞ 

43

Assumendo che i rendimenti si distribuiscano 

secondo una Normale, il VaR del portafoglio a 

N giorni con grado di confidenza X èdato da 

VaR( N; 

X ) = −ασ 

Π Π 




N 

44

Esempio pratico B-N VaR 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Beta Normal VaR”) 


45

Delta – Normal VaR 

Si consideri un portafoglio, il cui valore è 

funzione di h fattori di rischio Wi , i = 1,…,h. 

La sensitività del valore del portafoglio al fattore 

di rischio i-mo viene espressa dal relativo delta 

Δ 


i 

= 

∂Π 

∂W 

Il delta esprime la derivata parziale prima del 

valore del portafoglio rispetto al fattore di 

rischio considerato 

i 

46

Se gli h fattori di rischio sono rappresentati da 

variabili di mercato aventi rendimento 

in prima approssimazione, le variazioni di valore 

del portafoglio sono date da 

dΠ 

= 

R 

i 

= 

h 

∑ 

i= 

1 

dW 

Δ 

W 

∑ 

i= 

1 

Δ 


i 

i 

i 

dW 

, 

i 

= 

i 

h 

= 1,...,h 

i 

W 

i 

R 

i 

47

La volatilità del portafoglio, espressa in unità 

monetarie, è calcolata in base all’espressione 

σ 

Π 

h 

∑ 

i= 

1 

Π = h 

( Δ W ) 

∑∑ 

i= 1 j< 

i 

( )( ) Δ W Δ W 


i 

i 

ij 

2 

σ 

2 

i 

i 

+ 

2 ρ 

σ σ 

σ i è la volatilità del rendimento dell’i-mo fattore 

di rischio e ρ ij è la correlazione tra i rendimenti 

dell’i-mo e del j-mo fattore di rischio 

i 

j 

j 

i 

j 

48

Assumendo che i rendimenti dei fattori di rischio 

si distribuiscano secondo una Normale, il VaR del 

portafoglio a N giorni con un grado di confidenza 

X sarebbe dato da 

VaR( N; 

X ) = −ασ 

Π Π 




N 

49

Esempio calcolo D-N VaR 

• Si consideri un portafoglio composto da 

2.000 opzioni su azioni ABC e 25.000 opzioni 

su azioni XYZ 

• In questo caso, i fattori di rischio per il 

portafoglio sono rappresentati da variabili 

di mercato: le azioni sottostanti alle opzioni 

• Si ipotizzi che i prezzi unitari delle due 

azioni siano, rispettivamente, $120 e $30 

• I delta delle singole opzioni siano 0,5 e 0,8, 

rispettivamente 

• Si calcoli il VaR(10;95%) del portafoglio 


50

Esempio calcolo D-N VaR (cont.) 

I delta delle due posizioni sono pari a: 

Δ ABC 

Δ XYZ 

= 

= 

0 , 5⋅ 

2. 

000 = 

0 , 8⋅ 

25. 

000 = 

1. 

000 

In prima approssimazione, si ha: 


1 

20. 

000 

dΠ = 1. 000⋅120⋅ 

R + 20. 

000⋅ 

30⋅ 

R 

La volatilità giornaliera dell’azione ABC è 2%, 

quella dell’azione XYZ è 1% e la correlazione 

tra i rendimenti dei due titoli è 0,7 

2 

51

σΠΠ 

Volatilità giornaliera del portafoglio di 

opzioni, espressa in unità monetarie 

= 

= 

Esempio calcolo D-N VaR (cont.) 

$ 

( 120. 

000⋅2%) 

+ 2⋅120. 

000⋅600. 

000⋅2% 

⋅1% 

⋅0, 

7 

$ 7. 

869 


2 

+ ( 600. 

000⋅1%) 

VaR del portafoglio a 10 giorni con un livello 

di confidenza del 95% 

VaR( 

10; 

95%) 

= $ 7. 

869⋅1, 

65⋅ 

10 = 

2 

$ 41. 

058 

52

Esempio pratico D-N VaR 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Delta Normal VaR”) 


53

Limiti del modello Delta – Normal VaR 

Il modello Varianza – Covarianza del tipo 

Delta – Normal VaR è un modello lineare, 

che può essere usato nel caso di portafogli 

composti da attività con payoff lineari: 

• portafogli di azioni 

• portafogli di obbligazioni 

• contratti forward 

• interest rate swaps 


54

Asimmetria 

Il modello lineare non è in grado di catturare 

l’asimmetria della distribuzione del valore del 

portafoglio quando vi siano strumenti derivati 

con payoff non lineare (per esempio, opzioni) 

ovvero 

non considera il gamma (convessità della 

relazione tra opzione e sottostante) 


⇓ 

Modello quadratico 

55

Delta – Gamma – Normal VaR 

Modello Delta – Normal “aggiustato” per 

tenere conto della convessità della relazione tra 

valore del portafoglio e fattore di rischio i-mo 

Il gamma esprime la derivata parziale seconda 

del valore del portafoglio rispetto al fattore di 

rischio considerato 

∂ 

2 

Π 

Γ = i 

∂ 

2 

i 

∂Δ 

= 

W ∂W 


i 

i 

56

Se gli h fattori di rischio sono rappresentati da 

variabili di mercato aventi rendimento 

le variazioni di valore del portafoglio sono date da 

dΠ 

= 

= 

R 

h 

∑ 

i= 

1 

h 

i 

∑ 

i= 

1 

= 

Δ 

Δ 

∑ 

i= 

1 

∑ 

i= 

1 


i 

i 

dW 

W 

W 

i 

i 

i 

dW 

i 

R 

i 

, 

+ 

+ 

1 

2 

1 

2 

i 

h 

h 

= 1,...,h 

Γ 

i 

Γ 

( dW 

i 

( W 

i 

i 

) 

R 

i 

2 

) 

2 

57

• L’espressione della volatilità di portafoglio 

include, in questo caso, sia i delta che i gamma e 

momenti di ordine superiore al secondo 

• Assumendo che i rendimenti dei fattori di rischio 

si distribuiscano secondo una Normale, i 

rendimenti al quadrato si distribuirebbero 

secondo una Chi-quadrato. 

• Il calcolo del VaR del portafoglio non può quindi 

essere ottenuto applicando la solita formula 


58

VaR con simulazione storica 

Simulazione storica: approccio per il calcolo del 

VaR di tipo non parametrico, che genera scenari 

simulati sulla base di dati passati 

Passi fondamentali: 

creare un database contenente le variazioni 

giornaliere passate delle variabili di mercato 

effettuare una prima simulazione in cui i tassi di 

variazione di tutte le variabili di mercato sono 

uguali a quelli del primo giorno del database 


59

effettuare una seconda simulazione in cui i 

tassi di variazione di tutte le variabili di 

mercato sono uguali a quelli del secondo 

giorno del database, e così via 

ripetere queste operazioni molte volte per 

generare la distribuzione di dΠ 

dalla distribuzione di dΠ calcolare il VaR 

richiesto in corrispondenza dell’appropriato 

frattile della distribuzione (ad esempio, con 

1.000 simulazioni il primo percentile 

corrisponde al decimo peggior risultato) 


60

metodo relativamente semplice (i dati storici 

non devono venir rielaborati), in grado di 

conservare la struttura delle correlazioni tra 

le attività in portafoglio 

ma 

limitato dall’ipotesi di ripetizione degli eventi 

passati e dalla rilevanza dei rari eventi sulla 

“coda sinistra” della distribuzione 


⇓ 

Metodi alternativi: 

Bootstrapping oppure Filtraggio 

61

Simulazione storica con bootstrapping 

creare un database contenente le variazioni 

giornaliere passate delle variabili di mercato 

effettuare simulazioni in cui i tassi di 

variazione di tutte le variabili di mercato 

sono estratti casualmente con ripetizione da 

tale campione 


⇓ 

in questo caso, si genera un numero elevato 

di simulazioni e si può ridurre la rilevanza 

della distorsione della “coda sinistra” 

62

Simulazione storica “filtrata” 

stima della volatilità dei rendimenti passati 

delle variabili di mercato mediante modello 

Garch: σ t , t = 1,2,…,T 

rendimenti passati delle variabili di mercato 

preventivamente “filtrati” mediante la 

volatilità ad essi corrispondente, r t * = rt / σ t , 

t = 1,2,…,T 

quindi si applica la simulazione storica, 

secondo la procedura “classica” o con 

bootstrapping, estraendo i dati dalla serie 

dei rendimenti filtrati 


63

i rendimenti filtrati estratti vengono poi 

moltiplicati per la previsione di volatilità a N 

giorni, dove N è l’orizzonte di calcolo del VaR: 

r T+N = r t * ⋅ σT+N 

infine, si calcola il VaR costruendo la 

distribuzione dei rendimenti e considerando 

l’appropriato frattile 


⇓ 

mediante questa trasformazione viene ridotta la 

rilevanza della distorsione della “coda sinistra” 

64

Esempio pratico VaR simulazione storica 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Simulazione Storica VaR”) 


65

VaR con simulazioni Monte Carlo 

Monte Carlo: approccio non parametrico per il 

calcolo del VaR, basato sulla generazione di 

scenari simulati 

Passi fondamentali: 

determinare il valore corrente del portafoglio 

generare scenari per i fattori di rischio 

(variabili di mercato) in base a processi 

stocastici, ovvero simulare un percorso per il 

valore delle variabili di mercato in base al 

campione dei rendimenti 


66

stimare il valore del portafoglio in funzione dei 

valori simulati 

Calcolare le variazioni di valore del portafoglio dΠ 

ripetere queste operazioni un numero elevato di 

volte per generare la distribuzione di dΠ 

calcolare il VaR richiesto considerando 

l’appropriato frattile della distribuzione di dΠ (ad 

esempio, con 10.000 simulazioni il primo percentile 

corrisponde al centesimo peggior risultato) 

metodo efficiente ma costoso in termini di 

implementazione e tempi di calcolo 


⇓ 

67

dS 

S 

Generazione di scenari 

Processo stocastico per il prezzo del sottostante 

= μ ⋅dt 

+ σ ⋅dz 

dz ≈ N( 

0, 

dt) 

Versione del processo in tempo discreto 

S( t + Δt) 

= S( 

t) 

+ ˆ μ ⋅S( 

t) 

⋅Δt 

+ σˆ 

⋅S( 

t) 

⋅ε 

⋅ Δt 

≈ 

ε 

N( 

0, 

1) 


68

Nel caso di portafogli composti da più titoli tra loro 

correlati, bisognerebbe effettuare estrazioni da una 

distribuzione Normale multivariata 

Per effettuare le estrazioni da una Normale 

univariata preservando tuttavia le correlazioni, si 

utilizza la decomposizione di Cholesky 

Ad esempio, nel caso di due titoli, si estraggono due 

campioni indipendenti, w1 e w2 , da una N(0,1) e si 

derivano i campioni richiesti ε1 e ε2 come segue: 

ε 

1 

= 

w 

1 

ε = w 

+ w − 

ρ 

2 

2 1 2 1 ρ 


69

C 

Decomposizione di Cholesky 

In generale, definendo con C la matrice delle 

correlazioni tra gli n rendimenti, si determina la 

matrice triangolare A, (n × n), tale per cui: 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ρ 

ρ⎞ 

⎟ 

1⎠ 

= 

C = A⋅ 

A′ 

Nell’esempio di sopra, in cui n = 2, si ha: 

⎛ 1 

A⋅ 

A′ 

= ⎜ 

⎝ρ 

2 

1− 

ρ 


⎞ ⎛1 

⎟ 

⎟⋅ 

⎜ 

⎠ ⎝0 

= 2 

0 

ρ 

1− 

ρ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

70

Esempio pratico VaR Monte Carlo 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Monte Carlo VaR ”) 


71

Back-Testing 

Le procedure di back-testing verificano, in via 

retrospettiva, l’accuratezza delle misure di VaR 

La qualità di un modello VaR si basa su due 

elementi fondamentali: 

la coerenza tra numero delle eccezioni (giorni in 

cui le perdite ex-post superano il VaR) e livello 

di confidenza adottato per la stima del VaR 

la dimensione delle eccezioni, ovvero il valore 

della perdita realizzata ex-post in percentuale 

del VaR stimato 


72

Test di Kupiec 

Il test di Kupiec verifica l’ipotesi nulla secondo la 

quale la frequenza delle eccezioni è coerente con il 

livello di confidenza prescelto (α = 1−X) 

Se l’ipotesi nulla è corretta, la probabilità di 

osservare x eccezioni in un campione di n 

osservazioni è dato da una distribuzione binomiale 

prob( 

x | α, 

n) 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

x 

⎞ x 

⎟α 

( 1 

⎠ 

−α 

) 

n− 

x 


, 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

n! 

( n − x)! 

x! 

73

Test di Kupiec (cont.) 

Per esempio, se l’ipotesi nulla è corretta, la 

probabilità di osservare 4 eccezioni in un 

campione di 250 osservazioni è pari a 

prob( 

4 | 1%, 

250) 

= 

= 

250! 

⋅0, 

01 

( 250 − 4)! 

4! 

250⋅ 

249⋅ 

248⋅ 

247 

⋅0, 

01 

4⋅ 

3⋅ 

2⋅1 


4 

⋅ 

4 

⋅ 

0, 

99 

0, 

99 

250−4 

250−4 

= 

13, 

4% 

74


• Procedendo in modo analogo, si ricava che, se il 

modello è corretto, la probabilità di osservare 

un numero di eccezioni uguale o inferiore a 4 è 

pari all’89,2% 

• Quindi, rigettando il modello (l’ipotesi nulla) 

nel caso in cui si verificano più di 4 eccezioni, 

c’è una probabilità del 10,8% di prendere una 

decisione non corretta (errore del I tipo) 

• L’errore che è più importante minimizzare, 

tuttavia, è quello del II tipo, che consiste nel 

ritenere valido un modello che fornisce risultati 

non corretti (regole del Comitato di Basilea) 


75


• Le regole stabilite dal Comitato di Basilea per ridurre 

l’errore del II tipo prevedono che se si registrano 4 o 

meno eccezioni su 250 osservazioni il modello è 

“adeguato”, da 5 a 9 eccezioni “parzialmente 

adeguato”, oltre le 9 eccezioni “non accurato” 

• Il giudizio ha rilevanza riguardo al valore del fattore 

moltiplicativo k da applicarsi nel calcolo dei requisiti 

di capitale (k = 3 se “adeguato”, k da 3,4 a 3,85 se 

“parzialmente adeguato”, k = 4 se “non accurato”) 

CMR 

t 

1 

= Max( 

k ⋅ ⋅∑ 

60 i= 

VaR 

t−i 


60 

1 

, VaR 

t− 

1) 

+ 

Z 

76

La coerenza tra la percentuale di eccezioni osservate 

(π = x/n) e il tasso di eccezioni “consentito” α viene 

stimata mediante un likelihood ratio test 

LR( 

α) 


= 

= 

⎛ L( 

x | π = α) 

−2⋅ 

ln⎜ 

⎝ L( 

x | π ) 

x ⎛α 

( 1− 

α) 

−2⋅ 

ln ⎜ x 

⎝ π ( 1− 

π ) 

n− 

x 

n− 

x 

La statistica LR(α) si distribuisce secondo una 

Chi-quadro con 1 grado di libertà 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

≈ 

χ 

2 

1 

77

Esempio di calcolo del test di Kupiec 

Si consideri il back-testing di un VaR(1;99%), 

quindi α = 1%, che nel corso dei 250 giorni osservati 

ha prodotto 4 eccezioni (π = 4/250 = 1,6%). Si ha: 

LR( 

1%) 

= 

−2⋅ 

ln 

⎛ L( 

4 | 1, 

6% 

= 1%) 

⎜ 

⎝ L( 

4 | 1, 

6%) 

4 250−4 

⎛ 0, 

01 ⋅0, 

99 ⎞ 

= −2⋅ 

ln ⎜ 

= 0, 

77 

4 250 4 

0, 

016 0, 

984 ⎟ − 

⎝ ⋅ ⎠ 

Il p-value corrispondente a 0,77 per una χ2 con 1 

grado di libertà è pari al 38%: la scelta di 

considerare inadeguato il modello rifiutando 

l’ipotesi nulla ha quindi una probabilità del 38% 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

78

Stress Testing 

Gli stress test hanno una funzione complementare 

rispetto ai modelli VaR e vengono utilizzati per 

misurare il rischio di mercato di un portafoglio in 

condizioni “estreme” tali da causare ingenti 

perdite per il portafoglio 

A questo fine, si costruiscono mediante tecniche di 

simulazione scenari che replicano i più estremi 

movimenti verificatisi nel passato (ad esempio, il 

crash del mercato azionario del 19 ottobre 1987, la 

crisi di liquidità del mercato obbligazionario del 

1998, eventi di rischio sistemico come la crisi del 

2008) 


79

La costruzione degli scenari può avvenire 

stressando in maniera arbitraria soltanto alcuni 

fattori di rischio e lasciando gli altri invariati 

oppure tenendo esplicitamente conto delle 

correlazioni esistenti tra i fattori di rischio, una 

volta che questi sono stati stressati 

Gli stress test sono richiesti dalle Autorità di 

Vigilanza (Comitato di Basilea) alle istituzioni 

finanziarie che utilizzano modelli VaR interni 

per determinare i requisiti di capitale 


80

Procedura di mapping di un portafoglio 

Ogni posizione del portafoglio viene scomposta in 

varie parti, in base ai fattori di rischio ai quali essa 

è associata 

Schema di classificazione: 

• posizioni in titoli obbligazionari e derivati su tassi 

di interesse con payoff lineare (swap, futures, …) 

• posizioni in cambi 

• posizioni in titoli e indici azionari 

• posizioni in titoli derivati con payoff non lineare 

(opzioni) 


81

Mapping di un portafoglio obbligazionario 

Il calcolo del VaR di un portafoglio obbligazionario 

richiede una procedura di mapping che si applica 

secondo le seguenti fasi (si ipotizza di considerare titoli 

obbligazionari privi del rischio di insolvenza): 

a) Individuazione dei fattori di rischio rilevanti, 

ovvero dei punti della curva dei tassi che si intende 

considerare come fattori di rischio (ad es., tasso 

spot a 6 mesi, 1 anno, …, 30 anni) 

b) Suddivisione per buckets. I titoli obbligazionari 

vengono scomposti assegnando ogni cash flow 

futuro (le cedole e il valore nominale) alla rispettiva 

data di pagamento (maturity) 


82

Mapping portafoglio obbligazionario (cont.) 

c) I cash flow assegnati ad una maturity diventano 

degli ipotetici zero coupon bond (zcb) aventi tutti le 

stesse caratteristiche di rischio 

d) La somma, nell’ambito di ogni maturity, dei vari 

zcb in essa presenti consente di ottenere uno zcb 

aggregato (somma delle cedole) per ogni maturity 

e) Il fattore di rischio rilevante per le variazioni di 

prezzo di uno zcb aggregato sarebbe il tasso spot 

relativo alla sua maturity 

f) Non potendo considerare tutti i punti della curva 

come fattori di rischio, è necessario stabilire una 

connessione tra tali zcb e i fattori di rischio adottati 


83


g) Ogni zcb aggregato viene trasformato in una 

posizione equivalente composta da due zcb con 

scadenze pari a quelle dei due fattori di rischio 

“adiacenti” alla sua maturity (ad es., zcb aggregato 

di maturity 1,4 anni trasformato in posizione 

equivalente di zcb a 1 e 2 anni) 

h) La trasformazione avviene mediante interpolazione 

che riguarda i tassi spot e le rispettive volatilità 

i) La trasformazione viene effettuata in maniera tale 

da assicurare che le caratteristiche di valore e di 

rischiosità del portafoglio equivalente siano uguali 

a quelle del portafoglio originario 


84


j) Metodi di trasformazione: 

Metodo “price volatility” di RiskMetrics 

la volatilità del portafoglio trasformato deve essere 

uguale alla volatilità del portafoglio originario 

Metodo “clumping” 

duration modificata del portafoglio trasformato 

deve essere uguale alla duration modificata del 

portafoglio originario 


85

Esempio pratico mapping e VaR di 

portafoglio obbligazionario 

⇓ 

(si veda file in “Esempio Mapping VaR Obbl”) 


86

Modelli per il Calcolo del Value at Risk

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