Soluzione all'esercizio 1 - Nettuno

Scienza delle Costruzioni Prof Chiaia
Applicazione dei teoremi sul lavoro di deformazione
• Esempio 1
φ
η
δ
C
A B
a b
Figura 1
Per la mensola rappresentata in figura 1, caricata all’estremo libero da una forza P, determinare
mediante il teorema di Betti lo spostamento verticale e la rotazione della sezione C.
Per il calcolo dei parametri di spostamento in C si assume sempre come sistema di forze (a) quello
rappresentato in figura 1 mentre il sistema (b) è variabile in funzione di cosa si sta ricercando.
Calcolo di ηC (abbassamento in C).
1
L
A C
B
a b
L
Figura 2
Assumendo come sistema di forza il sistema (b) rappresentato in figura 2, per valutare
l’abbassamento in B prodotto dalla forza unitaria verticale agente in C occorre considerare due
diversi contributi (figura 3):
A
C
1
a b
L
Figura 3
B
δ1
δ2
P

Scienza delle Costruzioni Prof Chiaia
Il primo termine δ1 è ottenibile calcolando l’abbassamento dell’estremità libera di una mensola
lunga a soggetta ad una forza unitaria; l’altro δ 2 è pari alla traslazione del punto B a causa della
rotazione del punto C a seguito dell’applicazione della forza unitaria. La rotazione del punto C è
nuovamente ottenibile considerando la rotazione dell’estremità libera di una mensola di lunghezza a
caricata da una forza verticale unitaria. La traslazione del punto B si calcola moltiplicando la
rotazione di C per la lunghezza b:
Applicando il teorema di Betti
3 2
1⋅
a 1⋅
a
η B = + b
3EI
2EI
L ab = Lba
P ⋅η = 1 ⋅η
ed eseguendo le opportune sostituzioni si ricava l’abbassamento in C:
Calcolo di φC (rotazione in C).
B
3
2
⎛ a b ⋅ a ⎞
η C = P ⎜ + ⎟
⎝ 3EI
2EI
⎠
C
A 1
B
L
C
a b
Figura 4
Assumendo come sistema di forza il sistema (b) rappresentato in figura 4, per valutare
l’abbassamento in B prodotto dalla coppia unitaria agente in C occorre considerare come in
precedenza due diversi contributi:
Applicando il teorema di Betti
2
1⋅
a 1⋅
a
η B = + b
2EI
EI
P ⋅η = 1 ⋅φ
ed eseguendo le opportune sostituzioni si ricava l’abbassamento in C:
B
2 ⎛ a b ⋅ a ⎞
φ C = P ⎜ + ⎟
⎝ 2EI
EI ⎠
C