La formula di Eulero (1765) - Binet (1843) ricavata elementarmente

4) In conclusione, f(n) = Θ(Φ n ), e anche f(n) = ⎣0.5 + Φ n /√5⎦, dato che
|Φ' n | < 1, Φ' n → 0 e i segni si alternano.
5) Come mai 1/√5 (Φ n – Φ' n ) è sempre esattamente intero? A causa
dell'equazione (**) Φ 2 = Φ + 1, che conviene interpretare come riscrittura
Φ 2 → Φ + 1. Quindi
Φ 3 = Φ 2 · Φ = (Φ + 1) · Φ = Φ 2 + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2 Φ + 1,
Φ 4 = Φ 3 · Φ = (2 Φ + 1) · Φ = 2 Φ 2 + Φ = 2 (Φ + 1) + Φ = 3 Φ + 2, …
in generale Φ n = x Φ + y con x e y interi positivi (che, per inciso, sono
numeri di Fibonacci consecutivi), e la stessa cosa vale per l'altra soluzione
di (**), Φ' n = x Φ' + y, con gli stessi interi x e y.
Ne consegue che Φ n – Φ' n = x Φ + y – (x Φ' + y) = x (Φ – Φ') = x√5 e
quindi che 1/√5 (Φ n – Φ' n ) = x è intero (e x = f(n)).
6) L'equazione (**) può essere interpretata come Φ → 1 + 1/Φ e iterando
questa riscrittura abbiamo Φ = 1 + 1/Φ = 1 + 1/(1 + 1/Φ) =
1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/Φ)) = … che esprime Φ come una frazione continua
con infiniti quozienti tutti uguali a 1 (si veda, per esempio, la pagina web
http://www.math.unifi.it/~mugelli/promat/diofanto/fracont.htm).
Interpretando invece (**) come Φ → √(1 + Φ) otteniamo
Φ = √(1 + Φ) = √(1 + √(1 + Φ)) = √(1 + √(1 + √(1 + Φ))) = …,
un altro modo di ottenere il rapporto aureo…