Inerzia 1 - Nettuno
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Scienza delle Costruzioni Prof Chiaia<br />
Determinazione dell’ellisse centrale ed il nocciolo centrale di inerzia<br />
• Sezione a T<br />
70<br />
15<br />
55<br />
20<br />
G XG<br />
YG<br />
X<br />
Figura 1 [Quote in cm]<br />
Facendo riferimento alla figura 1, la sezione rappresentata è simmetrica rispetto l’asse YG. A priori<br />
è possibile affermare quindi che il baricentro sarà individuato su tale asse che si definisce<br />
baricentrico principale di inerzia.<br />
Si passa ora alla definizione delle grandezze necessarie per la caratterizzazione geometrica della<br />
sezione.<br />
Area:<br />
Momento<br />
statico<br />
rispetto X:<br />
3<br />
A = 700 × 150 + 550×<br />
200 = 215×<br />
10 mm 2<br />
Y''<br />
6<br />
( 700 × 150)<br />
× 625 + ( 550×<br />
200)<br />
× 275 = 95.<br />
875×<br />
10<br />
S =<br />
mm 3<br />
X<br />
Lo scopo dell’esercizio è quello di ricavare innanzitutto gli assi principali di inerzia.<br />
Una volta calcolato il momento statico della sezione rispetto l’asse delle ascisse, l’ordinata del<br />
baricentro (YG) sarà riferita all’asse X coincidente con l’intradosso della sezione.<br />
Baricentro:<br />
S X<br />
Y ' = YG<br />
=<br />
A<br />
= 445.<br />
9 mm<br />
S X<br />
Y ' '=<br />
A<br />
= 254.<br />
1 mm<br />
A questo punto risulta agevole il calcolo dei momenti principali di inerzia della sezione in esame<br />
considerando il contributo delle diverse aree separatamente (si procede considerando la sezione a T<br />
come composta da due rettangoli).<br />
Momenti<br />
principali di<br />
inerzia<br />
rispetto XG:<br />
Momenti<br />
principali di<br />
inerzia<br />
rispetto YG:<br />
700×<br />
150<br />
12<br />
200×<br />
550<br />
12<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
9<br />
I X = + 105000×<br />
179.<br />
1 + + 110000×<br />
170.<br />
9 = 9.<br />
55×<br />
10 mm G<br />
4<br />
150×<br />
700<br />
12<br />
550×<br />
200<br />
12<br />
3<br />
3<br />
9<br />
I Y = + = 4.<br />
65×<br />
10 mm G<br />
4<br />
Y'
Scienza delle Costruzioni Prof Chiaia<br />
Per la determinazione dell’ellisse centrale di inerzia si esegua dapprima il calcolo dei raggi giratori<br />
principali di inerzia ed una volta noti questi, l’ellisse si traccia disponendo i semidiametri ρ X e<br />
ρY perpendicolarmente agli assi XG e YG a partire dal baricentro G. Vedi figura 2.<br />
Raggio<br />
giratore<br />
principale di<br />
inerzia<br />
rispetto XG:<br />
Raggio<br />
giratore<br />
principale di<br />
inerzia<br />
rispetto YG:<br />
I G<br />
9<br />
X 9.<br />
55×<br />
10<br />
ρ X = =<br />
= 210.<br />
8 mm<br />
3<br />
A 215×<br />
10<br />
I G<br />
9<br />
Y 4.<br />
65×<br />
10<br />
ρ Y = =<br />
= 147 mm<br />
3<br />
A 215×<br />
10<br />
ρX<br />
G<br />
YG<br />
ρY<br />
XG<br />
X<br />
Figura 2 [Quote in cm]<br />
25,41<br />
44,59<br />
Come già noto, il nocciolo centrale di inerzia è il luogo geometrico dei centri di pressione tali per<br />
cui l’asse neutro sia tangente alla sezione. Mentre tale condizione è facilmente verificabile per una<br />
sezione rettangolare allo stesso modo si può ragionare per la trattazione della sezione a T. Per<br />
tracciare il nocciolo centrale d’inerzia si determina la posizione dei punti fondamentali grazie alla<br />
distanza del contorno del nocciolo dal baricentro G ed in seguito si traccia il luogo geometrico<br />
unendo i punti prima ottenuti. Vedi figura 3<br />
E''<br />
35<br />
e<br />
ρX<br />
D<br />
A<br />
B<br />
C<br />
G<br />
YG<br />
E'<br />
ρY<br />
XG<br />
X<br />
Figura 3 [Quote in cm]<br />
25,41<br />
44,59
Scienza delle Costruzioni Prof Chiaia<br />
2<br />
ρ X<br />
AG = = 100 mm<br />
445.<br />
9<br />
2<br />
ρ X BG = = 175 mm<br />
254.<br />
1<br />
2<br />
ρY<br />
CG = DG = = 62 mm<br />
350<br />
Mentre per la sezione rettangolare il luogo geometrico presentava una forma romboidale ora per la<br />
sezione in esame il nocciolo centrale di inerzia mostra sezione esagonale. Questo è possibile<br />
mediante il calcolo dell’antipolo E della retta e ( coordinate di E nel sistema XG e YG). Osservando<br />
la figura 3 si ricavano:<br />
GE ' = 666 mm<br />
GE ' ' = 303 mm<br />
Tramite le opportune formule si ricavano le coordinate del punto E e di conseguenza quelle del<br />
punto F simmetrico ad E rispetto l’asse di simmetria. Si traccia così il nocciolo centrale di inerzia<br />
(vedi figura 4)<br />
Y<br />
E<br />
X<br />
E<br />
2<br />
ρ X<br />
= = 667 mm<br />
GE'<br />
2<br />
ρY<br />
= = 713 mm<br />
GE''<br />
E''<br />
e<br />
ρX<br />
F<br />
D<br />
A E<br />
B<br />
C<br />
YG<br />
E'<br />
ρY<br />
XG<br />
X<br />
Figura 4 [Quote in cm]<br />
25,41<br />
44,59