elementi di matematica finanziaria - ISIS Via Ivon de Begnac
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1^ Parte: INTERESSE SEMPLICE E INTERESSE COMPOSTO<br />
Glossario:<br />
Capitale (C): è una somma <strong>di</strong> <strong>de</strong>naro che viene concessa in uso per un <strong>de</strong>terminato tempo.<br />
Interesse (I): è il prezzo d'uso <strong>de</strong>l capitale.<br />
Saggio o tasso <strong>di</strong> interesse (r): l'interesse prodotto dall'unità <strong>di</strong> capitale (1 euro) in un anno; è espresso<br />
in numero <strong>de</strong>cimale (es. 0,05) o in percentuale (es. 5%).<br />
Montante (M nell'interesse semplice – Cn nell'interesse composto): somma <strong>de</strong>l capitale e <strong>de</strong>ll'interesse<br />
prodotto in un <strong>de</strong>terminato tempo.<br />
Sconto: è il pagamento anticipato <strong>di</strong> una cambiale da parte <strong>di</strong> una banca. Con lo stesso termine si in<strong>di</strong>ca<br />
anche la somma che la banca si trattiene a titolo <strong>di</strong> compenso.<br />
Note: negli esercizi gli importi in euro sono arrotondati al centesimo.<br />
Regime <strong>di</strong> interesse:<br />
a) Interesse semplice<br />
b) Interesse composto:<br />
- <strong>di</strong>scontinuo annuo<br />
- <strong>di</strong>scontinuo convertibile (convertibile t volte in un anno)<br />
a) Regime <strong>di</strong> interesse semplice<br />
Si ha quando gli interessi maturati vengono allontanati dal capitale, che perciò rimane immutato nel<br />
tempo. Si applica per perio<strong>di</strong> inferiori o pari a un anno.<br />
Interesse semplice (I)<br />
dove n è il numero <strong>di</strong> mesi <strong>di</strong>viso 12 oppure il numero <strong>di</strong> giorni <strong>di</strong>viso 365 (anno solare) o 360 (anno<br />
commerciale).<br />
Da questa formula è possibile ricavare le formule inverse che permettono <strong>di</strong> calcolare una qualsiasi <strong>de</strong>lle<br />
variabili (C, r, n) note le altre tre (le formule inverse non vengono riportate per non appesantire la<br />
trattazione).<br />
Esercizio 1.<br />
Calcolare l'interesse prodotto da un capitale <strong>di</strong> 6.000 Euro impiegato al tasso <strong>di</strong> interesse <strong>de</strong>l 4% in tre<br />
mesi.<br />
I = 6.000 x 0,04 x 3/12 = 60 €<br />
Montante semplice (M) = C + I = C + C x r x n<br />
Anche in questo caso è possibile ricavare le formule inverse che permettono <strong>di</strong> calcolare una qualsiasi<br />
<strong>de</strong>lle variabili (C, r, n) note le altre tre.<br />
Esercizio 2.<br />
Calcolare il montante prodotto da un capitale <strong>di</strong> 2.500 Euro in 6 mesi al tasso <strong>de</strong>l 5%.<br />
M = 2.500 x (1 + 0,05 x 6/12) = 2.562,50 €<br />
b) Regime <strong>di</strong> interesse composto<br />
Si ha quando gli interessi maturati si aggiungono al capitale <strong>di</strong>ventando a loro volta fruttiferi.<br />
1
Se gli interessi maturano una volta all'anno si parla <strong>di</strong> interesse composto <strong>di</strong>scontinuo annuo, se<br />
maturano più volte all'anno si parla <strong>di</strong> interesse composto convertibile.<br />
dove:<br />
q=1 +r<br />
n= numero <strong>di</strong> anni<br />
Montante nell'interesse composto <strong>di</strong>scontinuo annuo (C n)<br />
Esercizio 3.<br />
Una somma <strong>di</strong> 4.000 € viene <strong>de</strong>positata in banca per 4 anni. Calcolare a quanto ammonterà il <strong>de</strong>posito<br />
complessivo al termine <strong>de</strong>l quadriennio che il tasso <strong>di</strong> interesse è pari al 2%.<br />
C 4 = 4.000 x (1,02) 4 = 4.329,73 €<br />
Montante nell'interesse composto convertibile<br />
n x t<br />
Cn = C x (1 + r/t)<br />
Con t viene in<strong>di</strong>cato il numero <strong>di</strong> volte in cui gli interessi maturano in un anno (es. t=2 se convertibile<br />
semestrale; t=4 se convertibile trimestrale; t=12 se convertibile mensile).<br />
Esercizio 4.<br />
Calcolare il montante prodotto in 3 anni da un capitale <strong>di</strong> 8.000 € impiegato al saggio <strong>di</strong> interesse <strong>de</strong>l 6%<br />
convertibile trimestrale.<br />
t=4 C 3 = 8.000 x (1 + 0,06/4) 3 X 4 = € 9.564,95<br />
Sconto commerciale<br />
Le banche nel calcolare lo sconto usano una formula semplificata (e meno rigorosa rispetto a quella<br />
<strong>de</strong>rivata dall'interesse semplice e più vantaggiosa per loro) <strong>de</strong>tta <strong>de</strong>llo sconto commerciale. Tale formula<br />
può essere impiegata solo per questa operazione e per perio<strong>di</strong> limitati <strong>di</strong> tempo.<br />
Sconto commerciale (Sc) = Vc x r x n<br />
dove Vc = valore <strong>de</strong>lla cambiale da scontare<br />
r = tasso <strong>di</strong> sconto bancario<br />
n = n è il numero <strong>di</strong> mesi <strong>di</strong>viso 12 oppure il numero <strong>di</strong> giorni <strong>di</strong>viso 360 (anno commerciale)<br />
Esercizio 5.<br />
Calcolare il valore attuale <strong>di</strong> una cambiale <strong>di</strong> 6.000 € che scadrà fra 60 giorni (tasso <strong>di</strong> sconto bancario<br />
10%).<br />
Sc = 6.000 x 0,1 x 60/360 = 100 €<br />
Valore attuale <strong>de</strong>lla cambiale = 6.000 – 100 = 5.900 €<br />
2^ Parte: VALORI PERIODICI (ren<strong>di</strong>te frazionate, annualità, perio<strong>di</strong>cità)<br />
Glossario:<br />
Valori perio<strong>di</strong>ci: sono somme che si ripetono ad intervalli regolari.<br />
Ren<strong>di</strong>te frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni <strong>di</strong> anno (mensilità, bimestralità,<br />
semestralità, ecc.).<br />
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.<br />
2
Perio<strong>di</strong>cità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli <strong>di</strong> anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il<br />
periodo è <strong>de</strong>tto turno = t).<br />
Anticipati o posticipati: i valori perio<strong>di</strong>ci sono anticipati o posticipati a seconda se cadono all'inizio o alla<br />
fine <strong>de</strong>l periodo (es. per le mensilità - ren<strong>di</strong>te frazionate - all'inizio o alla fine <strong>de</strong>l mese, per le annualità<br />
all'inizio o alla fine <strong>de</strong>ll'anno, per le perio<strong>di</strong>cità all'inizio o alla fine <strong>de</strong>l turno).<br />
Costanti o variabili: i valori perio<strong>di</strong>ci sono costanti se hanno lo stesso importo.<br />
Limitati o illimitati: se sono un certo numero <strong>di</strong> valori si <strong>di</strong>cono limitati, se se ripetono all'infinito sono<br />
illimitati.<br />
Valori perio<strong>di</strong>ci:<br />
a) Ren<strong>di</strong>te frazionate (R)<br />
b) Annualità (a)<br />
c) Perio<strong>di</strong>cità o poliannualità (P)<br />
a) Ren<strong>di</strong>te frazionate (R)<br />
Ren<strong>di</strong>te frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni <strong>di</strong> anno.<br />
Sommatoria a fine anno (S 1) <strong>de</strong>lle ren<strong>di</strong>te frazionate<br />
dove:<br />
R = importo ren<strong>di</strong>ta frazionata<br />
N = numero <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>te all'anno<br />
r = saggio <strong>di</strong> interesse<br />
± 1 = +1 se sono ren<strong>di</strong>te anticipate, -1 se posticipate<br />
Esercizio 1.<br />
Un immobile è affittato a un canone annuo <strong>di</strong> 8.400 € pagabile con rate mensili anticipate. Calcolare<br />
l'ammontare <strong>de</strong>l canone annuo posticipato (Cap). Saggio <strong>di</strong> interesse = 0,04<br />
Cap = 700 x (12 + 0,04 x (12+1)/2) = 8.582 €<br />
b) Annualità (a)<br />
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.<br />
I libri <strong>di</strong> testo riportano molte formule relative alle annualità limitate (finale, iniziale - o ad<strong>di</strong>rittura<br />
interme<strong>di</strong>a - <strong>di</strong> annualità posticipate e anticipate); noi preferiamo utilizzarne una soltanto, quella <strong>di</strong><br />
accumulazione finale <strong>di</strong> annualità costanti posticipate limitate. Con questa è possibile accumulare un<br />
certo numero <strong>di</strong> annualità dove ca<strong>de</strong> l'ultima e da lì, con il montante (q n ) o la formula inversa (1/q n ) è<br />
possibile riportare la somma all'istante <strong>de</strong>si<strong>de</strong>rato.<br />
dove:<br />
n = numero <strong>di</strong> annualità<br />
Formula <strong>di</strong> accumulazione finale <strong>di</strong> annualità costanti posticipate limitate<br />
Esercizio 2.<br />
Tizio <strong>de</strong>posita per 5 anni, alla fine <strong>di</strong> ogni anno, 2.000 €. Calcolare a quanto ammonta il <strong>de</strong>posito<br />
complessivo due anni dopo l’ultimo <strong>de</strong>posito (r = 4%).<br />
A 7 = 2.000 x (q 5 – 1)/0,04 x q 2 = 2.000 x 5,41632256 x 1,0816 = 11716,59 €<br />
3
c) Perio<strong>di</strong>cità o poliannualità (P)<br />
Perio<strong>di</strong>cità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli <strong>di</strong> anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il<br />
periodo è <strong>de</strong>tto turno = t).<br />
E’ possibile ricavare le formule relative alle perio<strong>di</strong>cità partendo da quelle <strong>de</strong>lle annualità. Basta sostituire<br />
r con q t – 1, e qn con q m x t , dove m in<strong>di</strong>ca il numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità; pertanto:<br />
Formula <strong>di</strong> accumulazione finale <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità costanti limitate<br />
dove:<br />
A n = accumulazione <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità dove ca<strong>de</strong> l’ultima<br />
m = numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità<br />
t = turno o periodo (n <strong>di</strong> anni tra una perio<strong>di</strong>cità e l’altra)<br />
Esercizio 3.<br />
Calcolare l’accumulazione finale <strong>di</strong> una perio<strong>di</strong>cità posticipata <strong>di</strong> 4.000 € che si ripete ogni 4 anni per 5<br />
volte (r = 5%).<br />
A 20 = 4.000 x (q 20 – 1)/(q 4 – 1) = 30.686,77 €<br />
Valori perio<strong>di</strong>ci illimitati<br />
Essendo valori (annualità o perio<strong>di</strong>cità) che si ripetono all’infinito, sarà possibile calcolare soltanto<br />
l’accumulazione iniziale (queste formule sono <strong>de</strong>tte anche <strong>di</strong> capitalizzazione).<br />
Accumulazione iniziale <strong>di</strong> annualità costanti posticipate illimitate<br />
A0 = a/r<br />
Il caso <strong>di</strong> applicazione pratica più frequente è nella stima analitica <strong>de</strong>l V 0 (V 0 = B f/r c), dove B f è il<br />
Beneficio fon<strong>di</strong>ario e r c il saggio <strong>di</strong> capitalizzazione.<br />
Come <strong>de</strong>tto sopra, sostituendo r con q t – 1, si ottiene la formula relativa alle perio<strong>di</strong>cità:<br />
Accumulazione iniziale <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità costanti posticipate illimitate<br />
Esercizio 4.<br />
Calcolare l'accumulazione iniziale <strong>di</strong> una serie illimitata <strong>di</strong> annualità posticipate <strong>di</strong> € 2.000, dato un saggio<br />
<strong>di</strong> interesse <strong>de</strong>l 4%.<br />
A 0 = 2.000/0,04 = 50.000 €<br />
Esercizio 5.<br />
Un bosco ceduo che si riproduce naturalmente, fornisce un red<strong>di</strong>to netto ogni 15 anni <strong>di</strong> 8.000 €.<br />
Calcolare il valore <strong>de</strong>l bosco all'inizio <strong>de</strong>l ciclo (cioè appena effettuato il taglio). (saggio <strong>di</strong> interesse 3%)<br />
V 0 = 8.000/(1,0315 -1) = 14.337,77 €<br />
4
3^ Parte: REINTEGRAZIONE e AMMORTAMENTO<br />
Glossario:<br />
Reintegrazione: in economia la quota <strong>di</strong> reintegrazione è la somma che si <strong>de</strong>ve accantonare annualmente<br />
in previsione <strong>di</strong> dover sostenere una spesa futura per la sostituzione <strong>di</strong> un mezzo <strong>di</strong> produzione fisso (che<br />
dura più cicli); in <strong>matematica</strong> <strong>finanziaria</strong>, la reintegrazione è l'inverso <strong>de</strong>ll'accumulazione finale.<br />
Ammortamento: ripartizione in valori annui <strong>di</strong> un <strong>de</strong>terminato capitale iniziale. In <strong>matematica</strong> <strong>finanziaria</strong>,<br />
l'ammortamento è l'inverso <strong>de</strong>ll'accumulazione iniziale. La rata annua <strong>di</strong> ammortamento è la somma<br />
pagata ogni anno per estinguere un <strong>de</strong>bito in un certo numero <strong>di</strong> anni.<br />
Formule inverse <strong>de</strong>lla annualità:<br />
a) Reintegrazione<br />
b) Ammortamento<br />
a) Formula <strong>di</strong> reintegrazione<br />
Me<strong>di</strong>ante questa formula (inversa <strong>de</strong>lla formula <strong>di</strong> accumulazione finale <strong>di</strong> annualità) è possibile<br />
<strong>de</strong>terminare la somma che, accantonata annualmente per un certo numero <strong>di</strong> anni pari a n, permette <strong>di</strong><br />
avere una <strong>de</strong>terminata somma (A n) al termine <strong>de</strong>l periodo. Viene utilizzata anche per calcolare la me<strong>di</strong>a<br />
economica (ad. es. il red<strong>di</strong>to me<strong>di</strong>o annuo posticipato Bfm <strong>di</strong> beni che danno red<strong>di</strong>ti poliennali (boschi) o<br />
variabili annualmente (frutteti).<br />
dove:<br />
a = somma annua<br />
A n = somma riferita alla fine <strong>de</strong>l periodo<br />
Formula <strong>di</strong> reintegrazione<br />
Esercizio 1.<br />
Una macchina agricola viene acquistata al prezzo <strong>di</strong> € 40.000.000. La sua durata in efficienza è prevista<br />
per 800 ore <strong>di</strong> funzionamento e nell'azienda essa sarà impiegata per 100 ore all'anno. Nell'ipotesi che sia<br />
realizzabile un valore <strong>di</strong> recupero pari al 10% <strong>de</strong>l valore a nuovo, se ne calcoli la quota annua <strong>di</strong><br />
reintegrazione (Q a), dato un saggio <strong>di</strong> interesse <strong>de</strong>l 5%.<br />
Durata = 8 anni<br />
Valore da reintegrare = 40.000 - 4.000 = 36.000<br />
Q a = 36.000 x 0,05/(1,05 8 - 1) = 3.769,98 €<br />
b) Formula <strong>di</strong> ammortamento<br />
Questa formula, <strong>de</strong>tta anche <strong>di</strong> estinzione <strong>di</strong> un capitale, serve per calcolare la rata costante <strong>di</strong><br />
ammortamento <strong>di</strong> un mutuo. Ogni rata risulta formata dalla quota d'interesse sul capitale prestato e dalla<br />
quota capitale che serve per rimborsare via via il <strong>de</strong>bito. La rata <strong>di</strong> ammortamento risulta costante,<br />
mentre la quota interessi <strong>di</strong>minuisce con il <strong>de</strong>crescere <strong>de</strong>l <strong>de</strong>bito, mentre la quota capitale aumenta.<br />
5
n = numero <strong>di</strong> annualità<br />
a = rata annua <strong>di</strong> ammortamento<br />
A 0 = <strong>de</strong>bito iniziale<br />
Formula <strong>di</strong> ammortamento<br />
Esercizio 2.<br />
Per l'acquisto <strong>di</strong> un immobile viene contratto un mutuo <strong>de</strong>cennale <strong>di</strong> 100.000 € al tasso <strong>de</strong>l 5,0%,<br />
estinguibile con rate annue <strong>di</strong> ammortamento.<br />
Calcolare la rata annua.<br />
Rata annua = 100.000 x (0,05 x 1,05 10 )/(1,05 10 - 1) = 12.950,46 €<br />
Se il mutuo viene estinto con rate che maturano più volte in un anno (es. semestrali o mensili), dovrà<br />
essere utilizzata la stessa formula con l'avvertenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>vi<strong>de</strong>re il saggio <strong>di</strong> interesse per t (t = numero <strong>di</strong><br />
rate all'anno) e moltiplicare il numero <strong>di</strong> anni n sempre per t.<br />
Esercizio 3.<br />
Per l'acquisto <strong>di</strong> un immobile viene contratto un mutuo ventennale <strong>di</strong> 100.000 € al tasso <strong>de</strong>l 5,0%,<br />
estinguibile con rate semestrali <strong>di</strong> ammortamento.<br />
Calcolare la rata semestrale.<br />
Rata semestrale = 100.000 x (0,025 x 1,025 40 )/(1,025 40 - 1) = 3.983,62 €<br />
Debito residuo <strong>di</strong> un mutuo<br />
Il piano <strong>di</strong> ammortamento <strong>di</strong> un mutuo riporta anche il <strong>de</strong>bito che resta da estinguere dopo aver pagato<br />
le singole rate. Qualora <strong>di</strong> <strong>de</strong>bba calcolare il <strong>de</strong>bito residuo dopo aver pagato un certo numero <strong>di</strong> rate, si<br />
dovrà accumulare (attraverso la formula <strong>di</strong> accumulazione iniziale <strong>di</strong> annualità limitate) le rate che<br />
<strong>de</strong>vono essere ancora pagate.<br />
Esercizio 4.<br />
Viene acceso un mutuo ventennale <strong>di</strong> 80.000 € da estinguere con rate semestrali al saggio <strong>de</strong>l 5%.<br />
Calcolare l'importo che <strong>de</strong>ve essere pagato (Debito residuo Dr) qualora si voglia estinguerlo<br />
anticipatamente quando sta per sca<strong>de</strong>re la quin<strong>di</strong>cesima rata.<br />
Rata semestrale = 3.186,90 €<br />
Mancano da pagare 25 rate più la rata in sca<strong>de</strong>nza.<br />
Importo da versare (Dr) = 3.186,90 x (1,025 25 – 1)/(0,025 x 1,025 25 ) + 3.186,90 = 61,903,52 €<br />
E' possibile scaricare (cliccando qui >>>) un file in formato .xls (Microsoft Excel) che permette <strong>di</strong><br />
calcolare il piano <strong>di</strong> ammortamento <strong>di</strong> un mutuo.<br />
Istruzioni:<br />
Inserire i dati nelle caselle con numeri in rosso (importo mutuo, durata in anni, saggio <strong>di</strong> interesse e<br />
numero <strong>di</strong> rate all'anno (se annue = 1, se semestrali = 2, se mensili = 12).<br />
4^ Parte: VALORI INTERMEDI - REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI<br />
VALORI INTERMEDI<br />
Glossario:<br />
V o = Valore capitale <strong>de</strong>l fondo riferito all'inizio <strong>de</strong>ll'anno se il ciclo produttivo è annuale, o all'inizio <strong>de</strong>l<br />
6
turno se il ciclo è poliannuale (valore <strong>de</strong>l suolo nudo).<br />
V m = Valore <strong>de</strong>l fondo in un momento interme<strong>di</strong>o <strong>de</strong>ll'anno se il ciclo produttivo è annuale, o <strong>de</strong>l turno se<br />
il ciclo è poliannuale (valore <strong>de</strong>ll'arboreto – suolo più soprassuolo).<br />
Se si <strong>de</strong>ve <strong>de</strong>terminare il valore <strong>di</strong> un bene in un periodo interme<strong>di</strong>o <strong>de</strong>l ciclo (es. a metà maggio nei cicli<br />
annuali, o al 6° anno in un frutteto), i libri <strong>di</strong> testo riportano tre <strong>di</strong>versi proce<strong>di</strong>menti:<br />
a) in base ai red<strong>di</strong>ti passati (o in base al costo)<br />
b) in base ai red<strong>di</strong>ti futuri<br />
c) in base al ciclo fittizio<br />
Per non appesantire inutilmente la trattazione preferiamo riportare soltanto le formule relative ai primi<br />
due proce<strong>di</strong>menti, in quanto l'ultima non ha nessun utilizzo pratico. Inoltre riportiamo solo quelle riferite<br />
ai cicli poliannuali perché, <strong>di</strong> fatto, sono le uniche ad essere utilizzate. Da queste è comunque possibile<br />
ricavare quelle relative ai cicli annuali, utilizzando il montante semplice anziché quello composto.<br />
a) V m in base ai red<strong>di</strong>ti passati o in base al costo (cicli poliannuali)<br />
Consiste nel posticipare <strong>di</strong> m anni il Vo e sommare le spese sostenute da 0 a m (al netto <strong>de</strong>gli eventuali<br />
ricavi):<br />
Valore <strong>de</strong>ll'arboreto V m in base ai red<strong>di</strong>ti passati<br />
dove:<br />
m = anno interme<strong>di</strong>o <strong>de</strong>l ciclo<br />
Σ = sommatoria da 0 a m <strong>de</strong>lle spese meno i prodotti<br />
V 0 = valore <strong>de</strong>l suolo nudo<br />
Esercizio 1.<br />
Il ciclo produttivo <strong>di</strong> un frutteto è <strong>di</strong> 20 anni. Le spese d’impianto sono <strong>di</strong> € 40.000,00 già riferite alla fine<br />
<strong>de</strong>l 2° anno. Dal 3° anno in poi le spese <strong>di</strong> coltivazione e generali, annue e posticipate, ammontano a €<br />
8.000,00. A partire dal 3° anno si ottengono i seguenti prodotti annui posticipati:<br />
- al 3° anno € 10.000,00;<br />
- al 4° anno € 16.000,00;<br />
- dal 5° al 15° anno € 23.000,00;<br />
- dal 16° al 20° anno € 14.500,00.<br />
Calcolare il valore <strong>de</strong>l frutteto (suolo e soprassuolo) alla fine <strong>de</strong>l 5° anno (saggio <strong>de</strong>l 3%).<br />
Si calcola prima il valore <strong>de</strong>l suolo nudo capitalizzando il red<strong>di</strong>to perio<strong>di</strong>co fornito dal frutteto (in estimo, è<br />
consigliabile ricavare questo valore con proce<strong>di</strong>mento sintetico). Il red<strong>di</strong>to perio<strong>di</strong>co (Rp) si ricava dalla<br />
<strong>di</strong>fferenza tra ricavi e costi <strong>de</strong>ll'intero ciclo (riferendo il tutto alla fine <strong>de</strong>l ciclo o turno):<br />
Rp = (10.000xq 17 + 16.000xq 16 + 23.000 x ((q 11 – 1)/r) x q 5 + 14.500 x (q 5 – 1)/r) – (40.000xq 18 +<br />
8.000 x (q 18 – 1)/r)<br />
Rp = (16.528,48 + 25.675,30 + 341.498,15 + 76.982,47) – (68.097,32 + 187.315,48) = 205.271,60 €<br />
V o = Rp/(q 20 -1) = 254.644,26 €<br />
Si passa poi al calcolo <strong>de</strong>l V 5 utilizzando il proce<strong>di</strong>mento in base ai red<strong>di</strong>ti passati, in quanto la stima ca<strong>de</strong><br />
in un momento vicino all'inizio <strong>de</strong>l ciclo e, pertanto, è più facilmente rilevabile il costo sostenuto nel<br />
tempo passato:<br />
V 5 = Vo x q 5 + (40.000xq 3 + 8.000 x (q 3 – 1)/r – 10.000xq 2 – 16.000xq – 23.000) =<br />
V5 = 295.202,49 + (43.709,08 + 24.727,20 – 10.609,00 – 16.480,00 – 23.000) =<br />
V 5 = 313.549,77 €<br />
7
) Vm in base ai red<strong>di</strong>ti futuri (cicli poliannuali)<br />
Tale metodo consiste nello scontare al momento m sia il V o (che si trova alla fine n <strong>de</strong>l turno, cioè<br />
all'inizio <strong>de</strong>l turno successivo), sia i red<strong>di</strong>ti futuri, da m alla fine n <strong>de</strong>l ciclo:<br />
Valore <strong>de</strong>ll'arboreto V m in base ai red<strong>di</strong>ti futuri<br />
dove:<br />
m = anno interme<strong>di</strong>o <strong>de</strong>l ciclo<br />
Σ = sommatoria da m alla fine <strong>de</strong>l ciclo (n) <strong>de</strong>i prodotti meno le spese<br />
V 0 = valore <strong>de</strong>l suolo nudo (all'inizio <strong>di</strong> ogni turno che coinci<strong>de</strong> con la fine <strong>de</strong>l turno prece<strong>de</strong>nte)<br />
Esercizio 2.<br />
Con i dati <strong>de</strong>l prece<strong>de</strong>nte esercizio si calcoli il valore <strong>de</strong>l frutteto alla fine <strong>de</strong>l 14° anno.<br />
Attenzione: non si <strong>de</strong>vono consi<strong>de</strong>rare i prodotti e le spese che si trovano su 14 perché sono relative<br />
all'anno 14°, che inizia all'istante 13 e termina all'istante 14.<br />
V 0 = 254.644,26 €<br />
V 14 = (V 0 + 23.000 x q 5 + 14.500 x (q 5 – 1)/r – 8.000 x (q 6 – 1)/r)/q 6 =<br />
V 14 = (254.644,26 + 26.663,30 + 76.982,47 - 51.747,28)/q 6 = 256.724,73 €<br />
REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI<br />
Nella ricerca <strong>de</strong>l valore capitale <strong>di</strong> un bene, può capitare che i red<strong>di</strong>ti dopo un certo numero <strong>di</strong> anni<br />
subiscano una variazione aumentativa o, più raramente, <strong>di</strong>minutiva, mantenendosi poi costanti<br />
all'infinito. In questo caso si parla <strong>di</strong> red<strong>di</strong>ti transitori e permanenti.<br />
Un esempio è quello <strong>di</strong> un fondo non irriguo che si trova in una zona dove la maggior parte <strong>de</strong>i fon<strong>di</strong><br />
simili è dotato <strong>di</strong> impianto <strong>di</strong> irrigazione. Oppure <strong>di</strong> un appartamento affittato per un periodo residuo ad<br />
un canone inferiore (o superiore) a quello or<strong>di</strong>nario.<br />
Riportiamo solo le formule <strong>de</strong>l proce<strong>di</strong>mento estimativo, che si basa sulla capitalizzazione <strong>de</strong>l Bf or<strong>di</strong>nario<br />
(che normalmente è quello permanente Bf p), <strong>de</strong>traendo o sommando poi il minor red<strong>di</strong>to relativo al<br />
periodo transitorio (Bf t).<br />
8
V = Valore <strong>di</strong> un fondo che fornisce un red<strong>di</strong>to transitorio inferiore a quello permanente.<br />
a = Valore <strong>di</strong> un fondo che fornisce un red<strong>di</strong>to costante (il valore <strong>di</strong> ottiene capitalizzando il Bf p): questa<br />
area corrispon<strong>de</strong> alla seconda parte <strong>de</strong>lla formula riportata qui sotto.<br />
b = Minor red<strong>di</strong>to transitorio (Bf p – Bf t): questa area corrispon<strong>de</strong> alla seconda parte <strong>de</strong>lla formula<br />
riportata qui sotto.<br />
Valore V 0 <strong>di</strong> un immobile caratterizzato da red<strong>di</strong>ti transitori e permanenti:<br />
La formula si riferisce al caso più frequente (red<strong>di</strong>to transitorio Bf t inferiore a quello permanente Bf p;<br />
capitalizzando il Bf p , che nella maggior parte <strong>de</strong>i casi pratici è quello or<strong>di</strong>nario, si ottiene il valore<br />
or<strong>di</strong>nario). La seconda parte <strong>de</strong>lla formula è costituita dal minor red<strong>di</strong>to transitorio (che <strong>de</strong>ve essere<br />
<strong>de</strong>tratto al valore or<strong>di</strong>nario).<br />
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Esercizio 3.<br />
Un fondo rustico fornirà nei i prossimi 2 anni un beneficio fon<strong>di</strong>ario pari a € 4.500,00. A partire dal 3°<br />
anno, per l’entrata in funzione <strong>di</strong> un impianto irriguo già presente ma per il momento inattivo, il beneficio<br />
fon<strong>di</strong>ario salirà a € 7.400,00. Dato un saggio d’interesse <strong>de</strong>l 4% e un saggio <strong>di</strong> capitalizzazione <strong>de</strong>l 1%,<br />
calcolare il valore <strong>de</strong>l fondo (V o).<br />
Utilizzare il saggio <strong>di</strong> interesse <strong>de</strong>l 4% nella <strong>de</strong>trazione <strong>de</strong>l minor red<strong>di</strong>to transitorio.<br />
V o = 7.400/0,01 – (7.400 – 4.500) x (q 2 – 1)/(r x q 2 ) = 740.000 – 5469,67 = 734.530,33 €<br />
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