la sollecitazione di taglio Il taglio - Ingegneria - Università degli Studi ...
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE<br />
FACOLTÀ DI INGEGNERIA<br />
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO<br />
CORSO DI AGGIORNAMENTO PER GEOMETRI<br />
SU PROBLEMATICHE STRUTTURALI<br />
Verifica agli stati limite:<br />
<strong>la</strong> <strong>sollecitazione</strong> <strong>di</strong> <strong>taglio</strong><br />
Antonel<strong>la</strong> Colombo<br />
<strong>Il</strong> <strong>taglio</strong>: introduzione<br />
• Di rado le travi sono sollecitate a so<strong>la</strong> flessione o presso-flessione:<br />
normalmente queste azioni sono accompagnate dal <strong>taglio</strong>,<br />
<strong>sollecitazione</strong> che produce tensioni tangenziali.<br />
La presenza del<strong>la</strong> <strong>sollecitazione</strong> <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> è legata al<strong>la</strong> variazione<br />
lungo l’asse del<strong>la</strong> trave del momento flettente secondo <strong>la</strong> formu<strong>la</strong>:<br />
V = dM / dx<br />
P<br />
M<br />
V<br />
M<br />
V<br />
q<br />
1
<strong>Il</strong> <strong>taglio</strong>: introduzione<br />
• La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice<br />
modello del calcestruzzo privo <strong>di</strong> resistenza a trazione, in quanto il<br />
trasferimento <strong>di</strong> queste tensioni dal<strong>la</strong> parte tesa del<strong>la</strong> sezione<br />
(l’armatura) a quel<strong>la</strong> compressa richiede <strong>la</strong> partecipazione del<br />
calcestruzzo presente nel<strong>la</strong> zona tesa (trascurato nel<strong>la</strong> teoria del<strong>la</strong><br />
flessione). La resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se<br />
modesta, svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi<br />
sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong>.<br />
• In molti casi gli effetti delle sollecitazioni <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> risultano critici<br />
per <strong>la</strong> resistenza <strong>degli</strong> elementi in cemento armato. Essendo<br />
provocato dal<strong>la</strong> rottura del calcestruzzo teso, il col<strong>la</strong>sso dovuto alle<br />
forze <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> è <strong>di</strong> tipo fragile (improvviso, accompagnato da piccole<br />
deformazioni), quin<strong>di</strong> estremamente pericoloso: occorre dunque<br />
rendere <strong>la</strong> resistenza a <strong>taglio</strong> <strong>degli</strong> elementi maggiore <strong>di</strong> quel<strong>la</strong> a<br />
flessione.<br />
<strong>Il</strong> comportamento a <strong>taglio</strong><br />
• Materiale con comportamento e<strong>la</strong>stico-lineare<br />
Le tensioni tangenziali si possono calco<strong>la</strong>re con<br />
<strong>la</strong> re<strong>la</strong>zione derivata me<strong>di</strong>ante <strong>la</strong> teoria<br />
approssimata <strong>di</strong> Jourawski:<br />
τ(y) = V S(y) / I b(y)<br />
τmax = V / z b<br />
• Materiale con comportamento e<strong>la</strong>stico-lineare<br />
Le tensioni tangenziali si possono ancora<br />
calco<strong>la</strong>re con <strong>la</strong> re<strong>la</strong>zione derivata me<strong>di</strong>ante <strong>la</strong><br />
teoria approssimata <strong>di</strong> Jourawski.<br />
Sotto il baricentro le tensioni restano costanti<br />
perché il cls teso viene trascurato. Le tensioni<br />
poi si annul<strong>la</strong>no in corrispondenza dell’armatura<br />
tesa.<br />
2
Interazione <strong>taglio</strong>-flessione<br />
La comprensione del comportamento <strong>di</strong> una trave soggetta a <strong>taglio</strong> e<br />
flessione richiede l’analisi del<strong>la</strong> trave nel<strong>la</strong> sua interezza (<strong>la</strong> sezione<br />
non è più sufficiente).<br />
• Resistenza a trazione raggiunta: formazione <strong>di</strong> una fessura verticale<br />
(perpen<strong>di</strong>co<strong>la</strong>re all’asse del<strong>la</strong> trave)<br />
• Crescita del carico: <strong>la</strong> fessura si propaga e per effetto delle tensioni<br />
tangenziali si inclina verso l’asse<br />
⇒ si deve rinunciare al semplice schema del<strong>la</strong> sezione fessurata<br />
normalmente all’asse ed esaminare dei conci <strong>di</strong> lunghezza infinita<br />
entro cui, nel<strong>la</strong> parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.<br />
Principali meccanismi <strong>di</strong> resistenza al <strong>taglio</strong><br />
Dall’equazione indefinita dell’equilibrio, esprimente il <strong>taglio</strong> come<br />
derivata del momento flettente,<br />
= dM<br />
V<br />
dx<br />
e dal<strong>la</strong> equivalenza tra momento flettente e prodotto del<strong>la</strong><br />
risultante delle tensioni <strong>di</strong> trazione T (o compressione) per il<br />
braccio del<strong>la</strong> coppia interna z si ottiene:<br />
effetto trave<br />
travi snelle<br />
d dT dz<br />
V = ( Tz ) = z + T<br />
dx dx dx<br />
effetto arco<br />
travi tozze<br />
3
<strong>Il</strong> comportamento delle travi in cemento armato<br />
fessurate per l’azione del<strong>la</strong> flessione e del <strong>taglio</strong> è<br />
piuttosto complesso e <strong>la</strong> stima dell’entità dei contributi<br />
forniti dai <strong>di</strong>versi meccanismi non sempre si può<br />
dedurre sul<strong>la</strong> base del<strong>la</strong> so<strong>la</strong> legge tensione–<br />
deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a<br />
formule empiriche, giustificate dai risultati <strong>di</strong><br />
esperimenti <strong>di</strong> <strong>la</strong>boratorio e dal loro utilizzo pratico.<br />
Sperimentazione <strong>di</strong> <strong>la</strong>boratorio<br />
Modello fisico<br />
Per travi senza<br />
armatura a <strong>taglio</strong><br />
il rapporto M/Vd<br />
corrisponde a<br />
a/d con d = altezza<br />
utile del<strong>la</strong> sezione<br />
M/V=a<br />
M<br />
V<br />
F<br />
+<br />
+<br />
-<br />
F<br />
Fa<br />
F<br />
4
Resistenza<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
(tratto da R. Park and T. Pau<strong>la</strong>y: Reinforced Concrete Structures)<br />
Modalità <strong>di</strong> col<strong>la</strong>sso<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
Tipo 1. Col<strong>la</strong>sso del meccanismo <strong>di</strong> trave<br />
al momento o imme<strong>di</strong>atamente dopo l’applicazione del carico<br />
corrispondente al<strong>la</strong> fessurazione <strong>di</strong>agonale (3< a/d
Modalità <strong>di</strong> col<strong>la</strong>sso<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
2<br />
Tipo 2. Col<strong>la</strong>sso del meccanismo ad arco<br />
per compressione o trazione <strong>di</strong> origine flessionale del<strong>la</strong> zona<br />
compressa corrispondente ad un carico superiore a quello re<strong>la</strong>tivo<br />
al<strong>la</strong> fessurazione <strong>di</strong>agonale (2< a/d
Modalità <strong>di</strong> col<strong>la</strong>sso<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
Tipo 4. Meccanismo puramente flessionale<br />
al raggiungimento del<strong>la</strong> capacità resistente flessionale (a/d >7.0)<br />
Tipo <strong>di</strong><br />
col<strong>la</strong>sso<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3 2 1 4<br />
Comportamento sperimentale<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
320 mm<br />
190 mm<br />
270 mm<br />
a/d<br />
1.0<br />
1.5<br />
2.0<br />
2.5<br />
3.0<br />
7
Tipo <strong>di</strong><br />
col<strong>la</strong>sso<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
Comportamento sperimentale<br />
travi sollecitate a flessione e <strong>taglio</strong><br />
320 mm<br />
190 mm<br />
270 mm<br />
(tratto da R. Park and T. Pau<strong>la</strong>y: Reinforced Concrete Structures)<br />
Valutazione<br />
delle <strong>di</strong>rezioni principali <strong>di</strong> tensione<br />
1<br />
τ<br />
P<br />
σ<br />
σξ=τ xy<br />
a/d<br />
4.0<br />
5.0<br />
6.0<br />
8.0<br />
7.0<br />
I sta<strong>di</strong>o II sta<strong>di</strong>o<br />
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)<br />
Caso 1: elemento infinitesimo posto in corrispondenza dell’asse neutro,<br />
o anche - nel caso <strong>di</strong> sezione parzializzata - elemento posto tra l’asse<br />
neutro e l’armatura tesa.<br />
<strong>Il</strong> cerchio <strong>di</strong> Mohr mostra che <strong>la</strong> <strong>di</strong>rezione principale <strong>di</strong> trazione è a<br />
45° e che <strong>la</strong> tensione principale <strong>di</strong> trazione σ ξ è uguale in valore al<strong>la</strong> τ xy<br />
8
Valutazione teorica delle <strong>di</strong>rezioni principali<br />
<strong>di</strong> tensione<br />
2<br />
P<br />
τ<br />
σ<br />
Caso 2: elemento posto al <strong>di</strong> sopra dell’asse neutro<br />
σξ<br />
I sta<strong>di</strong>o II sta<strong>di</strong>o<br />
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)<br />
<strong>la</strong> presenza contemporanea <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong> compressione sul<strong>la</strong><br />
faccia verticale, unita al<strong>la</strong> riduzione del valore delle τ xy , aumenta<br />
l’inclinazione rispetto all’asse del<strong>la</strong> trave e riduce il valore del<strong>la</strong><br />
tensione principale <strong>di</strong> trazione<br />
Valutazione teorica delle <strong>di</strong>rezioni principali<br />
<strong>di</strong> tensione<br />
3<br />
τ<br />
P<br />
σξ<br />
σ<br />
I I sta<strong>di</strong>o sta<strong>di</strong>o<br />
II sta<strong>di</strong>o<br />
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)<br />
Caso 3. Nel caso <strong>di</strong> calcestruzzo reagente a trazione <strong>la</strong> presenza <strong>di</strong><br />
tensioni normali <strong>di</strong> trazione riduce l’inclinazione rispetto all’asse ed<br />
aumenta il valore del<strong>la</strong> tensione principale <strong>di</strong> trazione negli elementi<br />
situati al <strong>di</strong> sotto dell’asse neutro<br />
9
Definizione dei meccanismi <strong>di</strong> col<strong>la</strong>sso<br />
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)<br />
Valori limite<br />
La normativa (EC2) definisce tre valori limite per il <strong>taglio</strong> V:<br />
• VRd1 Resistenza <strong>di</strong> calcolo dell’elemento privo <strong>di</strong> armatura a<br />
<strong>taglio</strong><br />
• VRd2 Massima forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo che può essere<br />
sopportata senza rottura delle bielle compresse<br />
convenzionali <strong>di</strong> calcestruzzo<br />
• VRd3 Forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo che può essere sopportata da<br />
un elemento con armatura a <strong>taglio</strong><br />
Alle tensioni ammissibili erano richieste le tre verifiche:<br />
τ < τco per control<strong>la</strong>re se le tensioni nel cls sono molto basse e<br />
quin<strong>di</strong> è possibile non calco<strong>la</strong>re espressamente<br />
l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
τ < τc1 per control<strong>la</strong>re se <strong>la</strong> sezione è accettabile (cls in grado<br />
<strong>di</strong> sopportare le tensioni indotte dal <strong>taglio</strong>)<br />
σ < σs per l’armatura a <strong>taglio</strong>, per control<strong>la</strong>re se è sufficiente<br />
10
V sd < V Rd1<br />
Se …<br />
non è richiesta armatura a <strong>taglio</strong><br />
(deve essere previsto un minimo <strong>di</strong> normativa)<br />
Vsd >VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a <strong>taglio</strong><br />
tale che Vsd ≤ VRd3 A tal proposito sono possibili due meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> calcolo:<br />
il metodo normale ed il metodo dell’inclinazione variabile<br />
del traliccio.<br />
INOLTRE:<br />
In nessuna sezione <strong>di</strong> qualunque elemento <strong>la</strong> forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo<br />
deve essere maggiore <strong>di</strong> VRd2 V sd < V Rd2<br />
Nel caso del <strong>taglio</strong>, i risultati ottenuti nel<strong>la</strong> verifica alle<br />
T.A. possono essere anche notevolmente <strong>di</strong>fferenti da<br />
quelli dello stato limite ultimo, a causa del<strong>la</strong> <strong>di</strong>fferenza<br />
tra i modelli usati nei due casi.<br />
Si può ritenere che il metodo allo stato limite ultimo sia<br />
più rispondente al reale comportamento delle<br />
strutture, mentre le formu<strong>la</strong>zioni usate nel metodo alle<br />
T.A. sono in genere (ma non sempre) più caute<strong>la</strong>tive.<br />
11
Elementi non armati a <strong>taglio</strong><br />
modello resistente<br />
puntone inclinato<br />
(dente del pettine)<br />
corrente compresso<br />
(costo<strong>la</strong> del pettine)<br />
armatura a flessione<br />
Evidenza sperimentale Modello meccanico<br />
<strong>Il</strong> modello a pettine nasce dall’osservazione che una trave fessurata<br />
a <strong>taglio</strong> può vedersi come costituita da un corrente compresso,<br />
corrispondente al<strong>la</strong> costo<strong>la</strong> del pettine, e dagli elementi compresi tra<br />
le lesioni, corrispondenti ai denti del pettine, inclinati a 45 gra<strong>di</strong><br />
rispetto al<strong>la</strong> costo<strong>la</strong>. I denti del pettine sono attraversati, nel<strong>la</strong> parte<br />
inferiore, dall’armatura <strong>di</strong>sposta per <strong>la</strong> flessione.<br />
N.B. <strong>la</strong> figura si riferisce ad una trave appoggiata agli estremi, sollecitata da un<br />
momento flettente positivo.<br />
Modello a pettine<br />
Le fessure che attraversano <strong>la</strong> zona tesa del<strong>la</strong> trave <strong>la</strong> separano in<br />
tanti blocchi <strong>di</strong> calcestruzzo che si comportano come mensole<br />
incastrate nel<strong>la</strong> parte superiore compressa dell’elemento.<br />
Quando agisce il meccanismo resistente del comportamento a trave,<br />
<strong>la</strong> menso<strong>la</strong> è sollecitata dal<strong>la</strong> forza ∆N = N 1 -N 2 , prodotta dal<strong>la</strong><br />
variazione del<strong>la</strong> forza <strong>di</strong> trazione dell’armatura. A questa<br />
<strong>sollecitazione</strong> si oppongono le seguenti azioni resistenti:<br />
1. Le tensioni tangenziali τ a che agiscono sulle superfici delle<br />
fessure, dovute all’ingranamento <strong>degli</strong> inerti.<br />
2. Le forze <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> V d , prodotte dall’effetto spinotto (dowel action)<br />
delle armature longitu<strong>di</strong>nali.<br />
3. <strong>Il</strong> momento M c agente nel<strong>la</strong> sezione <strong>di</strong> incastro del<strong>la</strong> menso<strong>la</strong> <strong>di</strong><br />
calcestruzzo nel corrente compresso.<br />
12
d<br />
x<br />
d-x<br />
Modello a pettine<br />
Analisi del<strong>la</strong> <strong>sollecitazione</strong><br />
Ns<br />
Nc<br />
45°<br />
V<br />
∆x<br />
Ns + ∆Ns<br />
Nc+ ∆Nc<br />
In un modello lineare, in assenza <strong>di</strong> fessurazione, <strong>la</strong> variazione <strong>di</strong> Ns è bi<strong>la</strong>nciata dalle τ <strong>di</strong> aderenza. In presenza <strong>di</strong> fessurazione <strong>la</strong><br />
variazione <strong>di</strong> Ns <strong>di</strong>venta invece un’azione orizzontale ∆Ns sul dente.<br />
Ricordando che <strong>la</strong> variazione del momento flettente è legata al<br />
<strong>taglio</strong> (∆M=V∆x), si ha<br />
∆M V ∆x<br />
∆N s = =<br />
z z<br />
d<br />
x<br />
d-x<br />
Sezione <strong>di</strong> scorrimento<br />
analisi del<strong>la</strong> <strong>sollecitazione</strong><br />
Ns<br />
Nc<br />
45°<br />
V<br />
∆x<br />
N0<br />
Le caratteristiche del<strong>la</strong> <strong>sollecitazione</strong> provocate dal<strong>la</strong> forza ∆N s<br />
nel<strong>la</strong> sezione <strong>di</strong> incastro del dente valgono:<br />
∆N V ∆x<br />
s N 0 =- =-<br />
2 2 z<br />
Ns + ∆Ns<br />
⎛ ∆x ⎞ V ∆x ⎛ ∆x ⎞<br />
M 0 =-∆Ns ⎜d-x- ⎟=- ⎜d-x- ⎟<br />
⎝ 4 ⎠ z ⎝ 4 ⎠<br />
M0<br />
V<br />
V<br />
Nc+ ∆Nc<br />
d−x−∆x/4<br />
z<br />
z<br />
13
Verifica del<strong>la</strong> sezione <strong>di</strong> scorrimento<br />
La sezione resistente ha base b ed altezza ∆x<br />
/ 2 ; <strong>la</strong> sua area è<br />
2<br />
quin<strong>di</strong> A = b ∆x<br />
/ 2 ed il modulo <strong>di</strong> resistenza W = b ( ∆x<br />
/ 2 ) / 6 .<br />
La massima tensione <strong>di</strong> trazione è <strong>di</strong> conseguenza pari a:<br />
N 6 M V 12 V (d−x−∆x/4) σ= − =− +<br />
2<br />
b ( ∆x/ 2) b ( ∆x/<br />
2 ) b z b z ∆x<br />
In base a considerazioni sperimentali si può assumere:<br />
∆ x = d<br />
x = 0.2 d e quin<strong>di</strong> d− x = 0.8 d<br />
5.6 V 6.2 V<br />
Si ottiene così σ= =<br />
b z b d<br />
e, considerando <strong>la</strong> resistenza a trazione per flessione pari a<br />
1.6 f si ottiene:<br />
ctd<br />
d<br />
x<br />
d-x<br />
V = 0.25 b d f<br />
Rd ctd<br />
Corrente compresso<br />
analisi del<strong>la</strong> tensione<br />
P<br />
Se si prende in esame il concio <strong>di</strong> estremità del<strong>la</strong> trave in<br />
corrispondenza dell’appoggio, delimitato dal<strong>la</strong> prima lesione a<br />
<strong>taglio</strong>, si ricava dall’equilibrio al<strong>la</strong> rotazione:<br />
z<br />
N c =V<br />
45°<br />
V<br />
N c<br />
N s<br />
z<br />
14
La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale <strong>di</strong><br />
compressione e <strong>taglio</strong>. Supponendo per semplicità che le tensioni<br />
dovute a ciascuna delle caratteristiche <strong>di</strong> <strong>sollecitazione</strong> siano<br />
costanti nel<strong>la</strong> sezione, si ha:<br />
e quin<strong>di</strong> σ = τ.<br />
<strong>Il</strong> cerchio <strong>di</strong> Mohr corrispondente è caratterizzato da:<br />
centro<br />
⎛ σ ⎞<br />
C = ⎜ , 0⎟<br />
; raggio<br />
⎝ 2 ⎠<br />
tens. princ. <strong>di</strong> trazione<br />
Corrente compresso<br />
analisi del<strong>la</strong> tensione<br />
NC<br />
σ=<br />
b x<br />
V<br />
τ=<br />
b x<br />
⎛ σ ⎞<br />
R = ⎜ ⎟ +τ<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
⎛ ⎞ 2<br />
σ ξ = +τ −<br />
σ σ<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ 2<br />
Verifica del corrente compresso<br />
Sostituendo nell’espressione del<strong>la</strong> tensione principale <strong>di</strong> trazione i<br />
valori delle tensioni normali e tangenziali prima determinati si ha:<br />
V<br />
σ ξ = 0.62 τ= 0.62<br />
b x<br />
Se, inoltre, si impone che <strong>la</strong> tensione principale <strong>di</strong> trazione sia<br />
uguale al valore <strong>di</strong> resistenza a trazione del calcestruzzo si ottiene<br />
un valore limite del <strong>taglio</strong> pari a:<br />
V Rd =1.6 b x fctd<br />
Nota: Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dal<strong>la</strong> verifica del<br />
dente, si ha che <strong>la</strong> resistenza del corrente compresso è minore <strong>di</strong> quel<strong>la</strong> del dente se:<br />
1.6 x < 0.25 d ovvero x <<br />
0.156 d<br />
Questa situazione normalmente non si verifica in sezioni soggette a flessione<br />
semplice, a meno che l’armatura a flessione non sia estremamente bassa; <strong>di</strong>venta<br />
invece molto probabile se <strong>la</strong> sezione è soggetta a tensoflessione.<br />
2<br />
2<br />
P<br />
τ<br />
σ<br />
15
Altri contributi al<strong>la</strong> resistenza del dente<br />
Ingranamento <strong>degli</strong> inerti<br />
Le lesioni non sono mai perfettamente lisce; quando i denti si<br />
deformano a pressoflessione, lo scorrimento tra le due facce<br />
del<strong>la</strong> fessura viene limitato dall’attrito dovuto al<strong>la</strong> scabrosità<br />
delle superfici e soprattutto dal contatto <strong>di</strong>retto tra gli inerti.<br />
Le azioni mutue così generate riducono l’entità del momento<br />
flettente e limitano <strong>la</strong> deformazione del dente. Questo effetto,<br />
detto <strong>di</strong> ingranamento <strong>degli</strong> inerti, è partico<strong>la</strong>rmente rilevante<br />
per travi basse, per le quali le fessure sono partico<strong>la</strong>rmente<br />
strette; al crescere dell’altezza del<strong>la</strong> trave l’ampiezza del<strong>la</strong><br />
lesione aumenta e l’effetto dell’ingranamento si riduce.<br />
Altri contributi al<strong>la</strong> resistenza del dente<br />
Effetto spinotto<br />
Lo scorrimento tra le due facce <strong>di</strong> una fessura comporta anche<br />
una deformazione dell’armatura flessionale, mostrata in maniera<br />
esageratamente accentuata nel<strong>la</strong> figura. Anche le barre <strong>di</strong><br />
armatura esercitano quin<strong>di</strong> un’azione mutua che riduce il momento<br />
flettente nel dente e ne aumentano <strong>la</strong> resistenza (effetto<br />
spinotto, o effetto bietta). L’azione delle barre longitu<strong>di</strong>nali è<br />
però limitata dal<strong>la</strong> possibilità che salti il copriferro ed il suo<br />
contributo può essere quantizzato proprio valutando <strong>la</strong> resistenza<br />
del calcestruzzo <strong>di</strong> ricoprimento.<br />
16
Altri contributi al<strong>la</strong> resistenza del dente<br />
Effetto dello sforzo assiale<br />
La presenza <strong>di</strong> uno sforzo assiale <strong>di</strong> compressione incrementa <strong>la</strong><br />
resistenza a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> una sezione non armata. Esso infatti aumenta<br />
le <strong>di</strong>mensioni del corrente superiore rendendone più <strong>di</strong>fficile <strong>la</strong><br />
rottura; contemporaneamente i denti del modello a pettine vengono<br />
accorciati e si riduce in essi l’effetto flettente. <strong>Il</strong> contrario<br />
accade in presenza <strong>di</strong> trazione: <strong>la</strong> <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione del<br />
corrente compresso e l’incremento <strong>di</strong> flessione nel dente riducono<br />
sensibilmente <strong>la</strong> capacità <strong>di</strong> portare <strong>taglio</strong>, rendendo quasi sempre<br />
necessaria <strong>la</strong> <strong>di</strong>sposizione <strong>di</strong> specifiche armature per il <strong>taglio</strong>.<br />
1 2<br />
COMPORTAMENTO<br />
AD<br />
ARCO<br />
3<br />
COMPORTAMENTO<br />
A<br />
TRAVE<br />
Resistenza <strong>di</strong> elementi<br />
non armati a <strong>taglio</strong><br />
Resistenza del corrente<br />
del modello a pettine<br />
+ contributi:<br />
ingranamento inerti<br />
spinotto<br />
Splitting/schiacciamento del cls<br />
Resistenza del dente<br />
del modello a pettine<br />
+ contributi: ingranamento inerti<br />
spinotto<br />
17
Elementi non armati a <strong>taglio</strong><br />
La resistenza a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo V Rd1 è data da:<br />
τ Rd<br />
[ τ k ( 1,<br />
2 + 40 ρ ) + 0,<br />
15 σ ] b d<br />
VRd1 = Rd<br />
l<br />
cp w<br />
resistenza unitaria a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo <strong>di</strong> riferimento (0,25 f ctk0,05 ) / γ c<br />
<strong>Il</strong> valore <strong>di</strong> γ c . deve <strong>di</strong> rego<strong>la</strong> essere assunto pari a | 1,5 |<br />
(I : | 1,5 | o | 1,6 |).<br />
k | 1 | per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è<br />
interrotta. In caso contrario vale | 1,6−d ≥ 1 | (d in metri);<br />
Asl<br />
ρ ≤ | 0,02 |; con Asl area delle armature <strong>di</strong> trazione che si<br />
bw<br />
d<br />
estende per non meno <strong>di</strong> d+lb,net oltre <strong>la</strong> sezione<br />
considerata.<br />
b w<br />
σ cp<br />
<strong>la</strong>rghezza minima del<strong>la</strong> sezione lungo l’altezza efficace;<br />
N Sd / A c , con N Sd forza longitu<strong>di</strong>nale nel<strong>la</strong> sezione dovuta ai carichi o<br />
al<strong>la</strong> precompressione (compressione positiva).<br />
Elementi non armati a <strong>taglio</strong><br />
Vicino agli appoggi, dove <strong>la</strong> configurazione <strong>di</strong> carichi concentrati e<br />
<strong>la</strong> reazione <strong>di</strong> appoggio è tale che una parte dei carichi può essere<br />
trasferita all’appoggio per compressione <strong>di</strong>retta (appoggio<br />
<strong>di</strong>retto), si può ammettere un incremento del<strong>la</strong> resistenza a<br />
<strong>taglio</strong> V Rd1 .<br />
<strong>Il</strong> raggiungimento <strong>di</strong> V Rd1 <strong>di</strong>pende in modo significativo da un<br />
appropriato ancoraggio delle armature tese da una parte e<br />
dall’altra <strong>di</strong> ogni possibile piano <strong>di</strong> rottura.<br />
EFFETTO ARCO<br />
18
Elementi non armati a <strong>taglio</strong><br />
Perché si tenga conto dell’incremento del<strong>la</strong> resistenza a <strong>taglio</strong><br />
devono, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere sod<strong>di</strong>sfatte le seguenti con<strong>di</strong>zioni:<br />
a) il carico e le reazioni <strong>di</strong> appoggio sono tali da creare una<br />
compressione <strong>di</strong>agonale nell’elemento (appoggio <strong>di</strong>retto);<br />
b) a un appoggio <strong>di</strong> estremità tutta l’armatura tesa richiesta<br />
al<strong>la</strong> <strong>di</strong>stanza pari a 2,5 d dall’appoggio deve, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>,<br />
essere ancorata all’interno dell’appoggio;<br />
c) a un appoggio interme<strong>di</strong>o l’armatura tesa richiesta al filo<br />
dell’appoggio deve <strong>di</strong> rego<strong>la</strong> proseguire per almeno 2,5 d +<br />
l b,net nel<strong>la</strong> campata.<br />
Dati:<br />
- Trave a sezione rettango<strong>la</strong>re<br />
- b = 30 cm<br />
- h = 60 cm<br />
-A sl = 5φ20 = 15.7 cm 2<br />
-c = 3 cm<br />
- V = 75 kN<br />
-Cls: R ck = 30 N/mm 2<br />
- Acciao: Fe B 44 k<br />
Applicazione<br />
19
- Tensione max nel cls:<br />
Applicazione<br />
Tensioni ammissibili<br />
- Calcolo tensioni tangenziali ammissibili<br />
R ck −15<br />
30 −15<br />
τc0<br />
= 0 . 4 + = 0.<br />
4 + = 0.<br />
6 N / mm<br />
75<br />
75<br />
R ck −15<br />
30 −15<br />
τc1<br />
= 1 . 4 + = 1.<br />
4 + = 1.<br />
83 N / mm<br />
35<br />
35<br />
σ<br />
s<br />
= 255 N / mm<br />
2<br />
75000<br />
2<br />
τcm<br />
=<br />
= 0.<br />
49 N / mm < τc0<br />
0.<br />
9⋅<br />
570⋅<br />
300<br />
- Solo armatura minima da normativa:<br />
Asw * V<br />
2<br />
= 0.<br />
1⋅<br />
b = 0.<br />
1⋅<br />
= 2.<br />
44 cm<br />
s<br />
0.<br />
9⋅<br />
d ⋅ τc0<br />
Stati limite<br />
- Valori <strong>di</strong> calcolo<br />
Applicazione<br />
V d = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kN<br />
τ Rd = 0.25 x 0.7 x 0.27 R ck 2/3 /1.6 = 0.308<br />
k = 1.6 – d = 1 – 0.57 = 1.03<br />
ρ = A sl /bd = 15.70 / 30 x 57 = 0.0092<br />
/ m<br />
[ τ k ( 1,<br />
2 + 40 ρ ) + 0,<br />
15 σ ] b d<br />
VRd1 =<br />
Rd<br />
l<br />
cp w<br />
V Rd1 = 0.308 x 1.03 x (1.2 + 40 x 0.0092) x 300 x 570 = 85061 N < V d<br />
⇒ La trave deve essere armata a <strong>taglio</strong>!!!!!!<br />
2<br />
2<br />
20
Elementi con armatura a <strong>taglio</strong><br />
osservazioni generali<br />
• La presenza dell’armatura a <strong>taglio</strong> non muta sostanzalmente il<br />
meccanismo<br />
descritto.<br />
<strong>di</strong> resistenza al <strong>taglio</strong> precedentemente<br />
• Le mensole <strong>di</strong> calcestruzzo (denti del modello a pettine),<br />
principali elementi del comportamento a trave, sono tuttavia<br />
ora vinco<strong>la</strong>te dall’armatura trasversale.<br />
Elementi con armatura a <strong>taglio</strong><br />
importanza delle armature trasversali<br />
La presenza delle armature trasversali:<br />
1. Migliora l’effetto spinotto;<br />
2. Diminuisce le tensioni <strong>di</strong> trazione da flessione nelle sezioni <strong>di</strong><br />
incastro delle mensole (denti del pettine);<br />
3. Limita l’apertura delle fessure <strong>di</strong>agonali in campo e<strong>la</strong>stico,<br />
dunque preservando e migliorando il trasferimento del <strong>taglio</strong><br />
per effetto ingranamento deglli inerti;<br />
4. Confina e dunque aumentando <strong>la</strong> resistenza a compressione<br />
<strong>di</strong> zone sollecitate da comportamento ad arco;<br />
5. Impe<strong>di</strong>sce il ce<strong>di</strong>mento dell’ancoraggio, allorché fessure da<br />
splitting si sviluppano nelle zone <strong>di</strong> ancoraggio.<br />
21
Meccanismi resistenti<br />
travi con armatura al <strong>taglio</strong><br />
La resistenza del<strong>la</strong> trave in presenza <strong>di</strong> armatura trasversale<br />
risulta governata dal:<br />
comportamento<br />
a trave<br />
comportamento<br />
ad arco<br />
+<br />
comportamento<br />
a trave retico<strong>la</strong>re<br />
Modello resistente<br />
travi con armatura trasversale<br />
<strong>Il</strong> comportamento a col<strong>la</strong>sso a <strong>taglio</strong>-flessione <strong>degli</strong> elementi con<br />
armatura al <strong>taglio</strong> risulta in<strong>di</strong>viduato dal modello retico<strong>la</strong>re.<br />
Esso è costituito da:<br />
• un corrente superiore (calcestruzzo);<br />
• elementi <strong>di</strong>agonali compressi (calcestruzzo);<br />
• elementi <strong>di</strong>agonali tesi (armatura trasversale);<br />
• un corrente inferiore (armatura flessionale);<br />
a P P a<br />
z<br />
22
Elementi con armatura a <strong>taglio</strong><br />
osservazioni<br />
• <strong>Il</strong> modello <strong>di</strong> traliccio, proposto da Mörsch ed utilizzato per<br />
il metodo delle tensioni ammissibili, fa in realtà riferimento<br />
ad una situazione ben <strong>di</strong>versa da quel<strong>la</strong> <strong>di</strong> materiale<br />
omogeneo ed isotropo, perché le <strong>di</strong>agonali compresse<br />
(puntoni inclinati <strong>di</strong> calcestruzzo) sono in<strong>di</strong>viduate dalle<br />
fessure provocate dal <strong>taglio</strong>. Appare quin<strong>di</strong> logico utilizzare<br />
tale modello anche nell’ambito delle verifiche allo stato limite<br />
ultimo.<br />
• Occorre però notare che il modello proposto da Mörsch è un<br />
traliccio isostatico, nel quale tutte le aste sono incernierate<br />
nei no<strong>di</strong>. Nel<strong>la</strong> realtà il puntone <strong>di</strong>agonale compresso è<br />
incastrato al corrente superiore; appare quin<strong>di</strong> più corretto<br />
tenere conto <strong>di</strong> tale vincolo utilizzando un modello <strong>di</strong> traliccio<br />
iperstatico.<br />
Calcolo del <strong>taglio</strong> resistente<br />
<strong>di</strong> travi armate a <strong>taglio</strong><br />
SE<br />
Vsd ›VRd1 è richiesta armatura a <strong>taglio</strong><br />
<strong>Il</strong> calcolo del <strong>taglio</strong> resistente <strong>di</strong> elementi armati a <strong>taglio</strong> e’<br />
basato sui valori:<br />
- V Rd2 Massima forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo che può essere<br />
sopportata senza rottura delle bielle compresse<br />
convenzionali <strong>di</strong> calcestruzzo<br />
-V Rd3 Forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> calcolo che può essere sopportata<br />
da un elemento con armatura a <strong>taglio</strong>, il cui col<strong>la</strong>sso è<br />
attivato dallo snervamento dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
23
Calcolo del <strong>taglio</strong> resistente<br />
<strong>di</strong> travi armate a <strong>taglio</strong><br />
Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> normativa per il calcolo <strong>di</strong> V Rd2 e V Rd3<br />
- Metodo normale<br />
- Metodo dell’inclinazione variabile del<br />
traliccio<br />
<strong>Il</strong> <strong>taglio</strong> resistente <strong>di</strong> elementi armati a <strong>taglio</strong> e’<br />
fornito dal minore tra V Rd2 e V Rd3 .<br />
Metodo Normale<br />
<strong>Il</strong> cosiddetto “metodo normale” per <strong>la</strong> valutazione del<strong>la</strong><br />
resistenza a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> una trave dotata <strong>di</strong> specifica armatura per<br />
il <strong>taglio</strong> consiste nell’analizzare il modello <strong>di</strong> traliccio<br />
iperstatico, con puntoni compressi inclinati a 45° ed incastrati<br />
nel corrente compresso. Le <strong>di</strong>agonali tese possono essere<br />
costituite da ferri sagomati o da staffe<br />
N.B. nel<strong>la</strong> trattazione si in<strong>di</strong>cherà genericamente con α l’inclinazione <strong>di</strong><br />
tali elementi rispetto all’orizzontale, essendo quin<strong>di</strong> α=45° per i<br />
sagomati e α=90° per le staffe<br />
θ=45°<br />
α<br />
P P<br />
z<br />
24
Metodo Normale<br />
Schiacciamento del puntone<br />
Lo schema è iperstatico, ma nel valutare <strong>la</strong> resistenza a<br />
compressione del puntone si può ritenere trascurabile il<br />
momento flettente, data <strong>la</strong> picco<strong>la</strong> entità delle deformazioni ed<br />
il fatto che <strong>la</strong> rigidezza estensionale è molto maggiore <strong>di</strong> quel<strong>la</strong><br />
flessionale. La forza <strong>di</strong> compressione nel puntone è quin<strong>di</strong> data,<br />
in base al<strong>la</strong> con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio, da<br />
V<br />
Npun = = 2 V<br />
sin 45°<br />
Poiché <strong>la</strong> <strong>di</strong>stanza tra i puntoni, misurata in orizzontale, è pari a<br />
z(1+cotα), <strong>la</strong> loro sezione trasversale ha altezza z (1+cot α) e<br />
<strong>la</strong>rghezza b.<br />
Metodo Normale<br />
Schiacciamento del puntone<br />
La rottura per schiacciamento si avrà quando <strong>la</strong> tensione<br />
raggiunge il valore ν fcd , essendo ν un opportuno fattore <strong>di</strong><br />
riduzione che per l’Euroco<strong>di</strong>ce 2 vale<br />
con fck in N/mm2 fck<br />
ν= 0,7 − ≥0,5<br />
200<br />
La rottura a compressione si ha quin<strong>di</strong> quando<br />
2 V<br />
σ = =ν f<br />
b z (1+ cot α)/<br />
2<br />
c cd<br />
cioè per un valore del <strong>taglio</strong>, che in<strong>di</strong>cheremo col simbolo V Rd2<br />
1<br />
= ⋅ υ⋅<br />
f ⋅ b ⋅ z ⋅ cot<br />
2<br />
VRd2 cd<br />
( 1+<br />
α)<br />
N.B. L’Euroco<strong>di</strong>ce 2, nell’imporre questa formu<strong>la</strong>, precisa che si deve utilizzare<br />
caute<strong>la</strong>tivamente il valore α=90° (e quin<strong>di</strong> cot α=0) in presenza <strong>di</strong> sagomati, perché <strong>la</strong> piega<br />
del<strong>la</strong> sagomatura induce localmente valori più elevati <strong>di</strong> tensione nel calcestruzzo.<br />
25
Metodo Normale<br />
Snervamento dell’armatura<br />
Al crescere delle azioni sullo schema <strong>di</strong> traliccio iperstatico,<br />
inizialmente sono preponderanti le azioni assiali ed è molto<br />
piccolo il momento flettente nel puntone. Quando nell’armatura<br />
a <strong>taglio</strong> si raggiunge <strong>la</strong> tensione <strong>di</strong> snervamento, gli ulteriori<br />
incrementi <strong>di</strong> carico producono un incremento del<strong>la</strong><br />
<strong>sollecitazione</strong> flessionale nel puntone inclinato, fino al<strong>la</strong> sua<br />
rottura, mentre l’armatura si deforma a tensione costante. <strong>Il</strong><br />
valore del <strong>taglio</strong> che porta al<strong>la</strong> rottura, che in<strong>di</strong>chiamo con V Rd3 ,<br />
è quin<strong>di</strong> somma del valore V wd che si avrebbe in uno schema<br />
iperstatico e dell’aliquota V cd dovuta al<strong>la</strong> resistenza del puntone<br />
compresso<br />
V = V + V<br />
Rd3<br />
wd<br />
cd<br />
Metodo Normale<br />
Snervamento dell’armatura<br />
La forza <strong>di</strong> trazione nel<strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale tesa del traliccio è data, in<br />
base alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, da<br />
V<br />
N<strong>di</strong>ag<br />
=<br />
sen α<br />
Se si in<strong>di</strong>ca con Asw l’area <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong>sposta in un<br />
tratto ∆x, l’area del<strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale tesa è<br />
Asw<br />
A<strong>di</strong>ag = z (1+ cot α)<br />
∆x<br />
ed imponendo che <strong>la</strong> tensione nel<strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale, N <strong>di</strong>ag / A <strong>di</strong>ag , sia<br />
pari a f yd si determina il <strong>taglio</strong> che provoca lo snervamento<br />
dell’armatura<br />
Asw<br />
= ⋅ z ⋅f<br />
⋅ sen<br />
∆x<br />
Vwd yd<br />
( 1+<br />
cot α)<br />
⋅ α<br />
26
Metodo Normale<br />
• La resistenza a <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> una sezione con armature a <strong>taglio</strong> è data<br />
dall’equazione:<br />
V Rd3 = V cd + V wd<br />
V cd è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a V Rd1<br />
V wd è il contributo delle armature a <strong>taglio</strong>.<br />
• <strong>Il</strong> contributo delle armature verticali a <strong>taglio</strong> è dato<br />
dall’equazione:<br />
A<br />
V wd =<br />
s<br />
sw<br />
z f<br />
ywd<br />
Asw è l’area del<strong>la</strong> sezione trasversale delle staffe;<br />
s è il passo delle staffe;<br />
fywd è lo snervamento <strong>di</strong> calcolo delle armature a <strong>taglio</strong>.<br />
Metodo Normale<br />
• Nel<strong>la</strong> verifica a schiacciamento del puntone compresso,<br />
V Rd2 è data dall’equazione:<br />
La tensione nel puntone <strong>di</strong> calcestruzzo deve, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere<br />
limitata a σ c ≤ ν f cd , dove ν è il fattore <strong>di</strong> efficienza dato da:<br />
ν =<br />
0,<br />
7<br />
f<br />
−<br />
200<br />
ν<br />
f b z cd V = Rd 2<br />
2<br />
ck ≥<br />
0,<br />
5<br />
(f ck in N/mm 2 )<br />
<strong>Il</strong> braccio <strong>di</strong> leva z può essere assunto pari a 0,9 d.<br />
27
Metodo dell’inclinazione variabile<br />
del traliccio<br />
Le prove <strong>di</strong> carico condotte su travi, fino al<strong>la</strong> rottura per<br />
<strong>taglio</strong>, mostrano che l’inclinazione delle isostatiche <strong>di</strong><br />
compressione tende ad aumentare dopo lo snervamento<br />
dell’armatura a <strong>taglio</strong>. Ciò può essere giustificato teoricamente<br />
pensando che quando le armature sono snervate tendono ad<br />
esserci sensibili scorrimenti lungo le lesioni a <strong>taglio</strong> e che per<br />
l’ingranamento <strong>degli</strong> inerti viene così trasmessa una tensione<br />
tangenziale τ 1 .<br />
N st<br />
θΙ<br />
θΙ<br />
Ns N c<br />
N st<br />
N θ<br />
st Nst<br />
Metodo dell’inclinazione variabile<br />
del traliccio<br />
<strong>Il</strong> metodo detto “<strong>di</strong> inclinazione variabile del traliccio” consiste<br />
nell‘analizzare un modello <strong>di</strong> traliccio isostatico,<br />
generalizzazione <strong>di</strong> quello <strong>di</strong> Mörsch, nel quale si considera una<br />
generica inclinazione θ del puntone compresso ed una<br />
inclinazione α (compresa tra 45° e 90°) dell’armatura a <strong>taglio</strong>.<br />
N s<br />
N c<br />
28
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
Schiacciamento del puntone<br />
<strong>Il</strong> contributo del puntone <strong>di</strong> calcestruzzo è valutato non<br />
rendendo lo schema iperstatico bensì considerando variabile<br />
l’inclinazione del puntone stesso.<br />
La resistenza a schiacciamento del puntone può essere valutata<br />
imme<strong>di</strong>atamente, generalizzando l’espressione determinata per il<br />
metodo normale. Si ha infatti:<br />
V<br />
Npun<br />
=<br />
sen θ<br />
e l’altezza del<strong>la</strong> sezione del puntone è z ( cot θ + cot α)<br />
sen θ .<br />
Quin<strong>di</strong> il <strong>taglio</strong> che porta a rottura il puntone è<br />
essendo<br />
V<br />
Rd2<br />
υ⋅<br />
=<br />
cd<br />
⋅ b ⋅ z ⋅<br />
1+ cot<br />
2<br />
θ = 1 sen<br />
2<br />
θ<br />
f<br />
1+<br />
cot<br />
( cot θ + cot α)<br />
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
Snervamento dell’armatura<br />
La forza che agisce nell’armatura inclinata vale ancora<br />
N<br />
<strong>di</strong>ag<br />
mentre l’area del<strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale tesa è, in funzione dell’area <strong>di</strong><br />
armatura a <strong>taglio</strong> A sw <strong>di</strong>sposta in un tratto ∆x,<br />
A<br />
∆x<br />
<strong>Il</strong> <strong>taglio</strong> che provoca lo snervamento dell’armatura è quin<strong>di</strong><br />
2<br />
θ<br />
V<br />
=<br />
sen α<br />
sw A<strong>di</strong>ag = z (cot θ+ cot α)<br />
Asw<br />
= ⋅ z ⋅f<br />
⋅<br />
sen<br />
∆x<br />
VRd3 yd<br />
( cot θ + cot α)<br />
⋅ α<br />
29
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
Osservazioni<br />
Dalle due espressioni<br />
ν fcd bz (cot θ+ cot α)<br />
VRd<br />
2 =<br />
2<br />
1+ cot θ<br />
Asw<br />
VRd 3 = z fyd<br />
(cot θ+ cot α) sen α<br />
∆x<br />
si può notare che se, partendo da un’inclinazione del puntone θ=45°<br />
(cioè cot θ=1), si riduce il valore <strong>di</strong> θ (e cresce cot θ) si ha una<br />
riduzione <strong>di</strong> V Rd2 ed un aumento <strong>di</strong> V Rd3 . Si può allora pensare che<br />
nelle fasi iniziali del processo <strong>di</strong> carico le isostatiche <strong>di</strong><br />
compressione siano a 45°. Quando, dopo aver raggiunto lo<br />
snervamento, si incrementano ulteriormente i carichi iniziano a<br />
verificarsi grosse deformazioni e scorrimenti tra le fessure e le<br />
isostatiche <strong>di</strong> compressione si inclinano. In questo modo l’armatura<br />
può portare un <strong>taglio</strong> maggiore. Contemporaneamente si riduce <strong>la</strong><br />
resistenza del puntone compresso ed il col<strong>la</strong>sso sarà sempre<br />
raggiunto per quel valore <strong>di</strong> θ per il quale V Rd2 e V Rd3 <strong>di</strong>ventano<br />
uguali.<br />
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
Osservazioni<br />
Nelle applicazioni pratiche occorre però mettere un limite<br />
inferiore a θ, ovvero un limite superiore a cot θ<br />
Euroco<strong>di</strong>ce 2<br />
• L’angolo θ tra il puntone compresso e l’asse longitu<strong>di</strong>nale è<br />
limitato a:<br />
|0,4 | < cot θ < | 2,5 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )<br />
per travi con armature longitu<strong>di</strong>nali non interrotte, e a:<br />
|0,5 | < cot θ < | 2,0 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )<br />
per travi con armature longitu<strong>di</strong>nali interrotte.<br />
Altri valori <strong>di</strong> θ possono essere usati a con<strong>di</strong>zione che<br />
possano essere giustificati.<br />
30
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
• Per elementi con armature a <strong>taglio</strong> verticali, le resistenze a<br />
<strong>taglio</strong> sono definite da:<br />
Asw<br />
VRd3 = z fywdcotθ s<br />
Asw è l’area del<strong>la</strong> sezione trasversale delle staffe;<br />
s è il passo delle staffe;<br />
fywd è lo snervamento <strong>di</strong> calcolo delle armature a<br />
<strong>taglio</strong>.<br />
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio<br />
• Per elementi con armature a <strong>taglio</strong> verticali, le resistenze a <strong>taglio</strong><br />
sono definite da:<br />
con <strong>la</strong> con<strong>di</strong>zione<br />
La tensione nel puntone <strong>di</strong> calcestruzzo deve, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere<br />
limitata a σc≤ ν fcd , dove ν è il fattore <strong>di</strong> efficienza dato da:<br />
(fck in N/mm2 bw z ν fcd<br />
VRd2<br />
=<br />
cot θ + tan θ<br />
Asw bw fywd1 ≤<br />
s 2<br />
ν fcd<br />
f ck<br />
ν<br />
= 0,<br />
7 − ≥ 0,<br />
5<br />
)<br />
200<br />
<strong>Il</strong> braccio <strong>di</strong> leva z può essere assunto pari a 0,9 d.<br />
31
Calcolo dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
• Per determinare il minimo quantitativo <strong>di</strong> armature a <strong>taglio</strong>,<br />
per tensioni <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> basse o me<strong>di</strong>e, i limiti superiori dati per<br />
cot θ in precedenza governano <strong>di</strong> norma il progetto. Per<br />
tensioni <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> più elevate, il più grande valore <strong>di</strong> cot θ<br />
(corrispondente al minimo quantitativo <strong>di</strong> armatura) può<br />
essere determinato uguagliando <strong>la</strong> forza <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> <strong>di</strong> progetto<br />
V Sd a V Rd2 . <strong>Il</strong> valore <strong>di</strong> cot θ può anche essere scelto in modo<br />
da ottimizzare il progetto, per esempio riducendo al minimo il<br />
quantitativo totale <strong>di</strong> armatura.<br />
Progetto dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
(Metodo Inclinazione Variabile)<br />
Dopo aver accertato che è necessaria armatura a <strong>taglio</strong> (VSd >VRd1 ), si<br />
calco<strong>la</strong> il valore <strong>di</strong> VRd2 , resistenza del puntone <strong>di</strong> calcestruzzo in<br />
presenza <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong> realizzata me<strong>di</strong>ante staffe, per<br />
control<strong>la</strong>re se <strong>la</strong> sezione è sufficiente per sopportare il <strong>taglio</strong><br />
utilizzando cotθ=2:<br />
V<br />
Rd2<br />
b z ν fcd<br />
=<br />
(cot θ + tan θ)<br />
Se V Rd2 > V Sd , si calco<strong>la</strong> V Rd3 per <strong>di</strong>versi valori dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
(con cotθ=2) e si sceglie l’armatura nei <strong>di</strong>versi tratti <strong>di</strong> trave:<br />
Asw<br />
= z f cot θ<br />
s<br />
VRd3 ywd<br />
32
Stati limite<br />
- Verifica del puntone compresso<br />
Applicazione<br />
Calcolo dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
ν f b z<br />
V =<br />
Vd = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kN<br />
ν = 0.7 – 0.83 Rck / 200 = 0.575<br />
fcd = 0.83 Rck / 1.6 = 15.56 N/mm2 fyd = 430/1.15 = 374 N/mm2 Rd 2<br />
cd<br />
2<br />
z = 0.9 d = 0.9 x 570 = 513<br />
VRd2 = 0.575 x 15.56 x 300 x 513 /2 = 688.5 kN >>> Vd - Taglio portato dal cls<br />
Vcu = VRd1 = 85061 N<br />
- Calcolo staffe<br />
Vwd = Vd –Vcu = 112500-85061 = 27439 N < Vd /2 = 56250 N<br />
Asw /s = Vwd /z fywd = 56250 / 513 x 374 = 0.294 mm2 /mm = 2.94 cm2 /m<br />
- staffe φ 8 a 2 bracci con passo 33 cm (3 staffe al metro)<br />
Applicazione<br />
Calcolo dell’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Consideriamo il caso <strong>di</strong> una sezione fortemente<br />
sollecitata a <strong>taglio</strong> (V Sd prossimo a V Rd2 ):<br />
Tensioni ammissibili<br />
Vsd<br />
/ 1.<br />
5<br />
=<br />
= 34.<br />
6<br />
z ⋅ σ<br />
Asw 2<br />
s<br />
s<br />
Stati limite<br />
Vd<br />
− V<br />
=<br />
z ⋅f<br />
Asw Rd1<br />
2<br />
= 31.<br />
06 cm<br />
s<br />
ywd<br />
V Sd = 680.0 kN<br />
cm<br />
/ m<br />
/ m<br />
Staffe φ8/5<br />
a 4 bracci<br />
Staffe φ8/6<br />
a 4 bracci<br />
33
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Euroco<strong>di</strong>ce2<br />
Elementi che richiedono armature a <strong>taglio</strong> (V Sd >V Rd1 )<br />
Generalità<br />
P(1) Nelle travi le armature rialzate non devono essere utilizzate<br />
come armature a <strong>taglio</strong> se non in combinazione con staffe.<br />
Almeno il 50% del valore <strong>di</strong> VSd deve essere assorbito da<br />
staffe verticali.<br />
P(2) Dove siano impiegate armature a <strong>taglio</strong> inclinate, l’angolo tra<br />
le armature e l’asse longitu<strong>di</strong>nale del<strong>la</strong> trave non deve, <strong>di</strong><br />
rego<strong>la</strong>, essere minore <strong>di</strong> 45°.<br />
P(3) Dove il carico non agisca all’estradosso del<strong>la</strong> trave, o quando<br />
l’appoggio non sia all’intradosso del<strong>la</strong> trave, si devono<br />
<strong>di</strong>sporre ulteriori armature per riportare gli sforzi<br />
all’estradosso del traliccio resistente.<br />
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Elementi <strong>di</strong> altezza costante<br />
P(1) Per <strong>la</strong> verifica a <strong>taglio</strong> si considera l’elemento come costituito<br />
da membrature compresse e tese separate da una <strong>di</strong>stanza<br />
pari al braccio <strong>di</strong> leva interno z. La zona <strong>di</strong> <strong>taglio</strong> ha<br />
profon<strong>di</strong>tà z e <strong>la</strong>rghezza bw . <strong>Il</strong> braccio <strong>di</strong> leva è calco<strong>la</strong>to<br />
perpen<strong>di</strong>co<strong>la</strong>rmente alle armature longitu<strong>di</strong>nali ignorando<br />
l’effetto delle armature rialzate.<br />
(2-3) ….<br />
(4) Al<strong>la</strong> <strong>di</strong>sposizione delle armature a <strong>taglio</strong> si applicano le<br />
seguenti prescrizioni:<br />
- percentuale minima <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong>;<br />
- limitazione delle aperture delle fessure nell’anima;<br />
- <strong>di</strong>sposizione delle armature a <strong>taglio</strong>.<br />
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Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature a <strong>taglio</strong> delle travi<br />
(1) L’armatura a <strong>taglio</strong> deve <strong>di</strong> rego<strong>la</strong> formare un angolo compreso<br />
tra 45° e 90° con il piano me<strong>di</strong>o dell’elemento strutturale.<br />
(2) L’armatura a <strong>taglio</strong> può essere costituita da una combinazione<br />
<strong>di</strong>:<br />
- staffe che racchiudono le armature longitu<strong>di</strong>nali tese e <strong>la</strong><br />
zona compressa;<br />
- barre rialzate;<br />
- assemb<strong>la</strong>ggi <strong>di</strong> armature a <strong>taglio</strong> in forma <strong>di</strong> gabbie, graticci,<br />
ecc., realizzati con barre ad aderenza migliorata, messi in<br />
opera senza contenere le armature longitud., ma che devono<br />
essere adeguatamente ancorati in zona tesa e compressa.<br />
(3) Le staffe saranno ancorate in modo efficace. Sono ammesse<br />
giunzioni per sovrapposizione <strong>di</strong> bracci vicini al<strong>la</strong> superficie<br />
dell’elemento solo per armature ad aderenza migliorata.<br />
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature a <strong>taglio</strong> delle travi<br />
(4) Di rego<strong>la</strong> almeno il | 50% | dell’armatura a <strong>taglio</strong> necessaria<br />
deve essere realizzata me<strong>di</strong>ante staffe.<br />
(5) <strong>Il</strong> rapporto <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong> è dato dall’equazione:<br />
ρ w<br />
ρ w = A sw /s⋅ bw⋅ sin α<br />
è il rapporto <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong>;<br />
Asw è l’area dell’armatura a <strong>taglio</strong> sul<strong>la</strong> lunghezza s;<br />
s è il passo dell’armatura a <strong>taglio</strong>;<br />
bw è <strong>la</strong> <strong>la</strong>rghezza dell’anima dell’elemento;<br />
a è l’angolo tra l’armatura a <strong>taglio</strong> e l’armatura principale<br />
(per staffe verticali a=90° e sin a=1).<br />
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Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature a <strong>taglio</strong> delle travi<br />
(5) I valori minimi del rapporto <strong>di</strong> armatura a <strong>taglio</strong> ρ w sono<br />
forniti dal prospetto:<br />
Prospetto 5.5 - Valori minimi <strong>di</strong> ρW<br />
C<strong>la</strong>ssi <strong>di</strong> calcestruzzo*<br />
C<strong>la</strong>ssi <strong>di</strong> acciaio<br />
S220 S400 S500<br />
Da C12/15 a C20/25 0,0016 0,0009 0,0007<br />
Da C25/30 a C35/45 0,0024 0,0013 0,0011<br />
Da C40/50 a C50/60 0,0030 0,0016 0,0013<br />
* Come assunto in progetto.<br />
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature a <strong>taglio</strong> delle travi<br />
(5) Quando le armature a <strong>taglio</strong> sono realizzate con barre tonde<br />
lisce il loro <strong>di</strong>ametro non deve <strong>di</strong> rego<strong>la</strong> essere maggiore <strong>di</strong><br />
| 12 mm |.<br />
(7) <strong>Il</strong> massimo passo longitu<strong>di</strong>nale smax <strong>di</strong> insiemi successivi <strong>di</strong><br />
staffe o <strong>di</strong> armature dalle seguenti con<strong>di</strong>zioni:<br />
-se : V ≤ 1/5 V<br />
smax = 0,8 d ≤ 300 mm<br />
Sd Rd2<br />
-se : 1/5 V < V ≤ 2/3 V smax = 0,6 d ≤ 300 mm<br />
Rd2 Sd Rd2<br />
-se : V > 2/3 V<br />
smax = 0,3 d ≤ 200 mm<br />
Sd Rd2<br />
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Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature a <strong>taglio</strong> delle travi<br />
(8) La massima <strong>di</strong>stanza longitu<strong>di</strong>nale fra barre rialzate è data<br />
dall’equazione:<br />
s max = | 0.6 | d(1 + cot a)<br />
(9) La <strong>di</strong>stanza trasversale dei bracci <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> staffe a<br />
<strong>taglio</strong> non deve <strong>di</strong> rego<strong>la</strong> essere maggiore <strong>di</strong>:<br />
-se : V ≤ 1/5 V smax ≤ d o | 800 mm |<br />
Sd Rd2<br />
-se : V >1/5 V si applicano le eq. 5.18 o 5.19<br />
Sd Rd2<br />
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature trasversali nei pi<strong>la</strong>stri<br />
(1) <strong>Il</strong> <strong>di</strong>ametro delle armature trasversali (staffe, risvolti o<br />
armature elicoidali) deve, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere non minore <strong>di</strong> | 6<br />
mm | o <strong>di</strong> | un quarto | del <strong>di</strong>ametro massimo delle barre<br />
longitu<strong>di</strong>nali, assumendo il valore maggiore fra i due; il <strong>di</strong>ametro<br />
dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali<br />
deve, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere non minore <strong>di</strong> | 5 mm |.<br />
(2) Le armature trasversali devono, <strong>di</strong> rego<strong>la</strong>, essere<br />
adeguatamente ancorate.<br />
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Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature trasversali nei pi<strong>la</strong>stri<br />
(3) La <strong>di</strong>stanza tra le armature trasversali <strong>di</strong> un pi<strong>la</strong>stro non deve<br />
<strong>di</strong> rego<strong>la</strong> essere maggiore del<strong>la</strong> minore delle tre seguenti:<br />
- 12 volte il minimo <strong>di</strong>ametro delle barre longitu<strong>di</strong>nali;<br />
- il <strong>la</strong>to minore del<strong>la</strong> sezione del pi<strong>la</strong>stro;<br />
- 300 mm.<br />
(4) La <strong>di</strong>stanza sarà ridotta secondo un fattore | 0,6 |:<br />
i) in sezioni posizionate al <strong>di</strong> sopra o al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> una trave o <strong>di</strong><br />
una piastra per un tratto pari al<strong>la</strong> maggiore <strong>di</strong>mensione del<strong>la</strong><br />
sezione del pi<strong>la</strong>stro;<br />
ii) in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo<br />
<strong>di</strong>ametro delle barre è maggiore <strong>di</strong> | 14 mm |.<br />
Limiti per l’armatura a <strong>taglio</strong><br />
Armature trasversali nei pi<strong>la</strong>stri<br />
(5) Dove le barre longitu<strong>di</strong>nali cambiano <strong>di</strong>rezione (per esempio<br />
nelle variazioni <strong>di</strong> sezione) <strong>la</strong> <strong>di</strong>stanza tra le armature<br />
trasversali sarà calco<strong>la</strong>ta considerando le forze trasversali che<br />
si generano.<br />
(6) Ciascuna barra longitu<strong>di</strong>nale (o gruppo <strong>di</strong> barre longitu<strong>di</strong>nali)<br />
posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da una<br />
armatura trasversale.<br />
(7) Un massimo <strong>di</strong> | 5 | barre situate in uno spigolo o in prossimità<br />
<strong>di</strong> esso può essere assicurato contro l’instabilità da ciascuna<br />
serie <strong>di</strong> armature trasversali dello stesso tipo.<br />
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