Ottimalità della regola di Bayes per la combinazione di ...
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Optimality of <strong>Bayes</strong>’ rule<br />
in combining probability assignments<br />
Mario Di Bacco<br />
Polo Universitario of Asti, Italy<br />
Viviana Dol<strong>di</strong><br />
University of Pavia, Italy<br />
Sia H un evento; scriviamo H = 1 se l’evento è vero - è realizzato - , e<br />
H = 0 se l’evento è falso. L’agente A assegna ad H = 1 <strong>la</strong> probabilità<br />
p = P r(H = 1|A). Poi decide <strong>di</strong> consultare l’Es<strong>per</strong>to Ex, il quale gli comunicherà,<br />
al termine del consulto, <strong>la</strong> sua assegnazione <strong>di</strong> probabilità. Notiamo<br />
subito che, al momento in cui A decide <strong>di</strong> consultare l’es<strong>per</strong>to Ex,<br />
l’assegnazione <strong>di</strong> probabilità <strong>di</strong> Ex è, <strong>per</strong> A, un numero aleatorio, ossia è<br />
aleatoria P r(H = 1|Ex) = P . E’ ovvio che A utilizzerà <strong>la</strong> realizzazione <strong>di</strong> P<br />
<strong>per</strong> aggiornare <strong>la</strong> sua probabilità iniziale p.<br />
La rappresentazione analitica del processo <strong>di</strong> aggiornamento si attua tramite<br />
una funzione g(p, ·), che ha <strong>per</strong> parametro p e come argomento almeno <strong>la</strong><br />
realizzazione <strong>di</strong> P . Essendo P aleatorio, sarà allora aleatorio anche il valore<br />
g(p, P ). La caratterizzazione <strong>di</strong> g(p, ·) è oggetto <strong>di</strong> molte proposte:<br />
una rassegna critica, ancora oggi esauriente, è fornita da Genest e Zidek<br />
(1988). Noi faremo riferimento unicamente al<strong>la</strong> pionieristica proposta <strong>di</strong><br />
Morris (1977), il quale riconduce <strong>la</strong> scelta <strong>del<strong>la</strong></strong> pooling function (detta brevemente,<br />
nel seguito, pf) g(p, ·) nel para<strong>di</strong>gma bayesiano. Morris giustifica <strong>la</strong><br />
razionalità <strong>del<strong>la</strong></strong> sua proposta con <strong>la</strong> razionalità del teorema <strong>di</strong> <strong>Bayes</strong>, a sua<br />
volta sorretto dal principio <strong>di</strong> coerenza <strong>di</strong> de Finetti (1979, vol.2, capitolo<br />
XI). Noi <strong>per</strong>verremo ad una pf avente <strong>la</strong> stessa struttura formale <strong>del<strong>la</strong></strong> pf<br />
bayesiana, ma il nostro punto <strong>di</strong> partenza non è il summenzionato principio<br />
de finettiano.<br />
Assumiamo:<br />
AS1 l’assegnazione <strong>di</strong> probabilità p <strong>di</strong> A rappresenta <strong>la</strong> sua incertezza sul<strong>la</strong><br />
verità <strong>di</strong> H; siccome A preferisce essere ”meno incerto” piuttosto che
”incerto”, si ha<br />
p ′ > p, <strong>per</strong> ogni p ′ > p ≥ 1<br />
2<br />
p ′ > p, <strong>per</strong> ogni p ′ < p < 1<br />
2<br />
AS2 La rappresentazione dell’or<strong>di</strong>namento (1) si ottiene tramite <strong>la</strong> funzione,<br />
con dominio l’intervallo (0, 1), Γ(·), che chiameremo funzione <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfazione.<br />
Noi assumiamo che <strong>la</strong> sod<strong>di</strong>sfazione marginale sia crescente.<br />
Per semplicità, ma senza sostanziale <strong>per</strong><strong>di</strong>ta <strong>di</strong> generalità, Γ è assunta<br />
simmetrica rispetto a p = 1<br />
2 .<br />
AS3 A è consapevole che <strong>la</strong> <strong>di</strong>chiarazione <strong>di</strong> Ex potrebbe condurlo ad un aggiornamento<br />
<strong>di</strong> opinione che lo rende, <strong>di</strong> fatto, più incerto sullo stato <strong>di</strong><br />
H; conseguentemente g(p, P ) potrebbe essere minore <strong>di</strong> p, <strong>per</strong> certi valori<br />
<strong>di</strong> P . Assumiamo <strong>per</strong>ció: il supporto del numero aleatorio g(p, P ) è<br />
l’intervallo (0, 1). Si noti che tale assunzione è implicitamente accettata<br />
dal<strong>la</strong> pf bayesiana.<br />
AS4 A sa assegnare al numero aleatorio P una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità,<br />
vale a <strong>di</strong>re sa rappresentare con una probabilità <strong>la</strong> sua fiducia sulle<br />
possibili <strong>di</strong>chiarazioni <strong>di</strong> Ex. Noi assumiamo che il supporto del numero<br />
aleatorio P sia l’insieme<br />
(1)<br />
{P1, . . . , Pn}, 0 < Pi < 1 <strong>per</strong> ogni i = 1, . . . , n, (2)<br />
e πi > 0, πi = 1 <strong>la</strong> probabilità che A assegna a Pi. La restrizione 2,<br />
tecnicamente opportuna, è tutt’altro che irrealistica: è infatti verosimile<br />
che A, consultando Ex, gli suggerisca una sca<strong>la</strong> <strong>di</strong> valori all’interno<br />
<strong>del<strong>la</strong></strong> quale Ex debba scegliere <strong>la</strong> propria valutazione.<br />
Tenendo conto, in partico<strong>la</strong>re, <strong>di</strong> AS3, AS4, <strong>la</strong> sod<strong>di</strong>sfazione prospettiva <strong>di</strong><br />
A consultando Ex è descritta dal<strong>la</strong> matrice<br />
<br />
Γ(g(p, P1)) . . . Γ(g(p, Pi)) . . .<br />
<br />
Γ(g(p, Pn))<br />
π1 . . . πi . . . πn<br />
che in<strong>di</strong>cheremo, in breve, tramite <strong>la</strong> scrittura {Γ(g(p, P )); π}.<br />
A è motivato a consultare Ex dal fatto che giu<strong>di</strong>ca<br />
{Γ(g(p, P )); π} ≻ {Γ(p); 1}. (3)
La rappresentazione numerica del giu<strong>di</strong>zio 3 sarà ottenuta tramite una me<strong>di</strong>a<br />
F , ovvero<br />
F ({Γ(g(p, P )); π}) > F ({Γ(p); 1}) . (4)<br />
Si noti - è cruciale - che non possiamo assumere senz’altro che <strong>la</strong> F sia <strong>la</strong><br />
s<strong>per</strong>anza, ovvero non possiamo affermare<br />
n<br />
F ({Γ(g(p, P )); π}) = Γ(g(p, Pi))πi : (5)<br />
infatti nessuna delle nostre assunzioni include il principio <strong>di</strong> coerenza de<br />
finettiano che giustifica, appunto, <strong>la</strong> s<strong>per</strong>anza. Va da sé che se il funzionale<br />
F è <strong>la</strong> s<strong>per</strong>anza, allora <strong>per</strong> <strong>la</strong> pf bayesiana risulta<br />
e AS2 garantisce <strong>la</strong> vali<strong>di</strong>tà <strong>del<strong>la</strong></strong> (4).<br />
i=1<br />
F ({g(p, P ); π}) = p<br />
In questo <strong>la</strong>voro proveremo: nel<strong>la</strong> sezione 2 che, sussistendo AS2 <strong>per</strong> ogni<br />
funzione convessa e ammettendo al più il segno <strong>di</strong> uguaglianza nel<strong>la</strong> (4),<br />
<strong>la</strong> me<strong>di</strong>a F è necessariamnete <strong>la</strong> s<strong>per</strong>anza (5); nel<strong>la</strong> sezione 3, con il Main<br />
Theorem, caratterizzeremo <strong>la</strong> c<strong>la</strong>sse Go delle pf che garantiscono <strong>la</strong> (4): <strong>la</strong><br />
scelta <strong>di</strong> una qualunque delle pf <strong>del<strong>la</strong></strong> c<strong>la</strong>sse Go garantisce sod<strong>di</strong>sfazione ad<br />
A. Nel<strong>la</strong> sezione 4, accettando che <strong>la</strong> possibilità che A usi <strong>la</strong> <strong>di</strong>chiarazione P<br />
<strong>di</strong> Ex <strong>per</strong> aggiornare <strong>la</strong> probabilità P r(H = 0|A) = 1 − p - che egli assegna<br />
al<strong>la</strong> falsità <strong>di</strong> H - e che proceda al<strong>la</strong> costruzione <strong>del<strong>la</strong></strong> pf rispettando ancora<br />
AS1-AS4, proveremo l’unicità <strong>del<strong>la</strong></strong> pf che formalmente ha <strong>la</strong> struttura <strong>del<strong>la</strong></strong><br />
pf bayesiana. Alcune osservazioni, nel<strong>la</strong> sezione 5, concludono il <strong>la</strong>voro.<br />
References<br />
Aczél, J. (1966). Lectures on functional equations and their applications.<br />
Academic Press, New York.<br />
de Finetti, B. (1970). Teoria <strong>del<strong>la</strong></strong> probabilità. Einau<strong>di</strong>, Torino.<br />
Morris, A. (1977). Combining ex<strong>per</strong>t judgement: a bayesian approach.<br />
Management Science, 23, 679-693.<br />
Morris, A. (1974). Decision analysis ex<strong>per</strong>t use. Management Science, 20,<br />
1233-1244.<br />
Genest, C., and Zidek, J.V. (1988). Combining probability <strong>di</strong>stributions:<br />
a critique and annoted bibliography. Decision Science, 1.