PROGETTO L'ellisse con Cabri - Matematicamente.it

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 1
PRESENTAZIONE
PROGETTO
L'ellisse con Cabri
di Concetta GUIDO
concetta.guido@libero.it
L’obiettivo didattico del Progetto è lo studio dell’ellisse da un punto di vista analitico.
Il Progetto è strutturato in 4 Lezioni, suddivise in paragrafi, nei quali verranno trattati
specifici argomenti.
Una Introduzione illustrerà, sinteticamente, la linea di sviluppo del Progetto e alcuni esempi
rappresentativi del mondo reale.
Un Test finale, a risposta multipla, offrirà la possibilità di verificare le conoscenze apprese.
Il tempo medio di fruizione dell’intero modulo è di 4 ore.
Articolazione del Progetto
Introduzione
Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse
Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse
Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse
Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
Test finale
Articolazione dei contenuti
Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse
In questa lezione si considererà una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una
nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla
relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di
questa curva notevole. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri
Géomètre.
Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse
In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software
Cabri Géomètre.
Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse
In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici,
fuochi, limitatezza, eccentricità, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni concetti con
l’utilizzo del software Cabri Géomètre.
Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni e per
risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si
presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 2
Vantaggi della presente trattazione
Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole,
poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle
connessioni tra di loro.
C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini
piuttosto che solo parole.
Lo studente assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non
più costretto a seguire gli imperativi della linearità testuale, capitolo dopo capitolo, l’allievo
sceglie quali informazioni visitare; manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi
informativi, sceglie snodi diversi.
La lezione è implementata da supporti altrimenti non possibili (immagini in movimento,
simulazioni) che favoriscono negli allievi un atteggiamento partecipativo.
Utilizzando Cabri Géomètre può costruire oggetti geometrici, manipolarli modificando la
costruzione eseguita, quindi verificare quali relazioni si mantengono o variano nel corso di
tali manipolazioni.
Grazie all’integrazione della capacità numerica, algebrica e grafica di Derive molti esercizi
possono essere affrontati meglio rispetto ai metodi tradizionali. Invece di disperdersi in noiose
tecniche di calcolo si può concentrare nella risoluzione dell’esercizio visualizzando le
soluzioni in diversi modi.
COLLOCAZIONE NEL CURRICOLO
Il Progetto è rivolto ad una classe III del Liceo Scientifico, indirizzo PNI. L’argomento,
trattato nel 2° quadrimestre, va inserito nel Modulo “Sezioni coniche” della programmazione
curricolare di Geometria Analitica e collocato dopo la Circonferenza.
OBIETTIVI DIDATTICI
Obiettivi cognitivi:
Conoscere alcuni esempi di forme ellittiche reali
Comprendere la definizione di ellisse come luogo geometrico
Conoscere l’equazione cartesiana dell’ellisse
Conoscere alcune costruzioni geometriche dell’ellisse
Conoscere le principali caratteristiche di tale curva chiusa
Comprendere le reciproche posizioni retta – ellisse
Comprendere l’applicabilità dell’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni
Comprendere la proprietà ottica e acustica dei fuochi
Obiettivi Operativi:
Riconoscere l’equazione di un’ellisse e tracciarne il grafico
Eseguire alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con Cabri Géométre
Individuare le sue principali caratteristiche
Scrivere l’equazione di un’ellisse note alcune sue caratteristiche
Determinare le reciproche posizioni retta – ellisse
Applicare l’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni
Saper risolvere esercizi con l’utilizzo del software Derive

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 3
Obiettivi Formativi:
Affinare la precisione del linguaggio e la coerenza argomentativa
Acquisire conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione
Utilizzare metodi,strumenti e modelli matematici in situazioni diverse
Riesaminare criticamente e sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite
Sviluppare e potenziare le attitudini sia analitiche che sintetiche
PREREQUISITI
Calcolo algebrico
Equazioni e disequazioni algebriche
Sistemi di grado superiore al primo
Concetto di funzione
Grafico di funzione
Conoscenze di base di geometria sintetica piana
Nozioni fondamentali di geometria analitica (luogo geometrico; retta; circonferenza);
Trasformazioni geometriche: simmetrie.
Costruzioni geometriche elementari
Utilizzo dei software Derive e Cabri Géomètre
METODOLOGIE DIDATTICHE
Lezione interattiva
Esercitazioni guidate in laboratorio di informatica
Socializzazione dei risultati di laboratorio
Approfondimento e consolidamento concettuale ed applicativo.
I contenuti si svilupperanno attraverso un alternarsi coordinato di informazione ed
applicazione. Ciascun argomento sarà trattato in modo da stimolare l’interesse, la curiosità e
la riflessione degli alunni. Massima cura sarà dedicata alla coerenza argomentativa.
Le lezioni saranno di tipo interattivo e supportate da attività guidate di laboratorio
informatico.
Il test finale consisterà in una prova strutturata a risposta multipla. Ogni quesito sarà scelto
con cura e formulato in modo univoco e chiaramente comprensibile; inoltre avrà uno spazio
temporale determinato.
MEZZI E STRUMENTI
Videoproiettore
Schede di lavoro per l’attività di laboratorio informatico
Software didattici: Derive e Cabri Géomètre
Laboratorio di informatica
Scheda per il test finale

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 4
FUNZIONE FORMATIVA DELLA MULTIMEDIALITA’
Un ambiente formativo multimediale è un ambiente nel quale operano secondo rapporti
integrati media diversi - audiovisivi, informatici, telematici - e quindi linguaggi diversi -
analogici, digitali, virtuali . In tale contesto il computer multimediale, grazie alla sua
straordinaria polivalenza comunicativa, è destinato ad occupare la scena sempre più
massicciamente. Un ambiente multimediale è costituito da un software ipermediale che
coordina congiuntamente più sistemi simbolici (testo, audio, immagini, animazioni, ecc.). A
media diversi corrispondono abilità cognitive diverse e aspetti diversi della realtà
raggiungibili con essi.
Dall’integrazione delle tecnologie ipertestuali con le tecnologie multimediali si originano i
sistemi ipermediali, capaci di gestire immagini, suoni, testi e animazioni, permettendo
l'accesso ai vari tipi di informazione in modo non sequenziale.
Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole,
poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle
connessioni tra di loro.
C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini
piuttosto che solo parole.
Sotto il profilo cognitivo, l'ipermedia sembra quindi assecondare due aspetti centrali del modo
in cui l'essere umano conosce: la multimedialità innesca azioni di rinforzo-integrazione tra gli
emisferi cerebrali, intrecciando le sollecitazioni dei linguaggi analogici e digitali;
l'ipertestualità accompagna lo svolgersi del pensiero attraverso il reticolo associativo.
L'ipermedialità potenzia una didattica per concetti e favorisce negli allievi un atteggiamento
partecipativo. L'allievo vede, ascolta, manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi
informativi, sceglie snodi diversi. Il lettore assume una posizione centrale rispetto
all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linearità
testuale, capitolo dopo capitolo, il lettore sceglie quali informazioni visitare.
E' questa la strada attraverso la quale si sta affermando una concezione "antropocentrica della
tecnologia informatica applicata alla didattica e alla formazione".
Nello stesso spirito, si apre la strada alla costituzione delle "comunità di apprendimento": un
modello di formazione alternativo a quello tradizionalmente scolastico e vicino a quello
dell'apprendistato, della formazione sul lavoro, delle comunità scientifiche. Si tratta di gruppi
eterogeni (pari, esperti, insegnanti); che prevedono una condivisione di compiti e degli
strumenti; che incorporano momenti di "apprendistato cognitivo", nei quali ci si interroga e si
interroga su quanto si sta facendo, si chiedono consigli, si socializzano difficoltà e
competenze. Sotto il profilo tecnico, le comunità possono formarsi utilizzando gli ambienti di
authoring multimediali e le tecnologie telematiche per la comunicazione in rete, attuando, in
questo secondo caso, delle comunità virtuali on line.
La formazione on line è dotata di molti vantaggi. Per esempio, essa riproduce in una
situazione di indipendenza spazio-temporale (la lezione on-line può essere seguita nel
momento voluto, nel posto voluto, con i tempi voluti), dinamiche comunicative di tipo
dialogico (uno a uno), frontale (uno a molti), collaborative (molti a molti). Essa favorisce
atteggiamenti collaborativi e interattivi, permette di individualizzare l'offerta formativa;
promuove l'iniziativa e l'individuazione di più percorsi di ricerca e approfondimento da parte
dei discenti; presenta una grande flessibilità rispetto alle necessità didattiche e metodologiche
del corso; consente di monitorare in tempo reale i livelli di apprendimento e di valutare in
itinere sia il corso che i partecipanti.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 5
Lezione tradizionale e lezione on-line a confronto
Lezione tradizionale: inizia ad un orario prefissato in una aula precisa; l’alunno in genere è
passivo per la maggior parte della lezione; il docente decide la struttura della lezione (sempre
sequenziale); il docente è al centro dell’attenzione.
Lezione on-line: la lezione ha inizio quando lo decide l’alunno, al massimo si decide la durata
massima; l’alunno è attivo e si muove all’interno della lezione; è incuriosito e affascinato
dalle nuove tecnologie (un libro elettronico "vivo", che parla e che suona, è sicuramente più
interessante ed accattivante di uno di tipo cartaceo, anche se fatto benissimo); l’alunno decide
la struttura della lezione (struttura a rete ); la lezione è al centro dell’attenzione; la lezione può
essere implementata da supporti altrimenti non possibili: immagini in movimento, suoni,
filmati, giochi, simulazioni.
Conclusioni
Nell’attuale società, la tecnologia si pone come un valido e funzionale strumento nel veicolare
ed ampliare la conoscenza. Assistiamo ad una crescente complessità e varietà di sapere che,
grazie alle moderne tecnologie telematiche, è divenuto sempre più accessibile e
personalizzabile sia nei modi sia nei tempi e negli spazi.
Per secoli l’apprendimento delle conoscenze è avvenuto mediante quello che gli psicologi
definiscono il “modo simbolico–ricostruttivo”. In questo modo si utilizza il linguaggio scritto
in maniera sostanzialmente totalizzante e autosufficiente.
Ma esiste anche un altro tipo di apprendimento che si ha osservando, toccando, modificando e
riosservando gli effetti che conseguono all’azione, riprovando, cambiando qualcosa e di
nuovo osservando i risultati: è questo ciò che gli psicologi chiamano apprendimento
“percettivo-motorio”.
È un apprendimento generato dai continui cicli di percezione ed azione.
E’ un apprendimento non circoscritto in un luogo ben preciso e delimitato (l’aula).
Lo studente non svolge più un ruolo passivo, ricettore del sapere divulgato dall’insegnante ma
ha un ruolo attivo, di attore nella selezione, fruizione e gestione del sapere.
Per quanto riguarda l’insegnante anche il suo ruolo sarà sempre più di manager della
conoscenza che trasforma la didattica tradizionale in un sistema aperto capace di adattarsi
velocemente e continuamente ai diversi contesti, di essere proattivo. Dalla tradizionale figura
dell’insegnante depositario del sapere che trasmette in modo unidirezionale allo studente, in
un ambiente circoscritto, ad un insegnante attore che sembra più un manager della
conoscenza, un consulente nel processo di maturazione intellettuale degli allievi.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 6
INDICE
INTRODUZIONE
- Abstract
- L’ellisse nella realtà
- Esempi pratici per ottenere un ellisse
- Esempi di forme ellittiche reali
ELLISSE
LEZIONE 1 : DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE
- Definizione di ellisse
- Equazione canonica dell’ellisse
- Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y
LEZIONE 2 : METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE
- Metodo 1
- Metodo 2
- Metodo 3
LEZIONE 3 : PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE
- Simmetrie
- Intersezione con gli assi coordinati
- Fuochi
- Una proprietà ottica dei fuochi
- Limitatezza
- Eccentricità
- Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse
- Area della regione delimitata dall’ellisse
- Retta – ellisse
LEZIONE 4 : APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E
DISEQUAZIONI
- Esercitazione con DERIVE
TEST FINALE
APPENDICE
- Approfondimento 1
- Approfondimento 2
- Approfondimento 3
Bibliografia

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 7
INTRODUZIONE
Abstract
Studiare, tracciare, classificare linee curve è stata una delle principali occupazioni dei
matematici, a cominciare dalla retta e dal cerchio, con i quali ebbe origine la geometria, per
poi passare alle sezioni coniche, che sono state oggetto di studio per molti secoli.
Una delle quattro sezioni coniche è l’ellisse.
In campo fisico e tecnico, l’ellisse costituisce uno strumento espressivo di rappresentazione e
di schematizzazione di notevole efficacia.
A conferma di ciò e a titolo puramente illustrativo, osserveremo alcuni esempi
particolarmente significativi.
Nel presente modulo studieremo, poi, tale particolare curva chiusa da un punto di vista
analitico.
Considereremo una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una nuova definizione
di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione
conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva
notevole.
Si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software Cabri Géomètre,
utilizzato anche nella comprensione di specifici concetti.
Si tratteranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse e si utilizzerà tale curva per costruire
grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e
disequazioni irrazionali. Infine, si presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 8
L’ellisse nella realtà
Esempi pratici per ottenere un ellisse
Se si accende una torcia elettrica, la luce della lampadina, uscendo dalla lente di forma
circolare, formerà un cono di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come
asse la retta che passa per quest’ultimo e per il centro della lente.
Dirigendo il fascio luminoso verso una parete, la forma della parte
illuminata varierà con l’inclinazione della torcia (ovvero con
l’inclinazione dell’asse del cono di luce).
Se questa è perpendicolare alla parete, la parte illuminata è un cerchio,
tanto più grande quanto maggiore è la distanza della torcia dalla parete.
Si cominci ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e
assume una forma allungata, come quella di uno stadio: la linea curva
che delimita tale figura è un'ellisse.
Inoltre, si ottiene l’ellisse inclinando un po’, senza versarlo, un
bicchiere cilindrico pieno di liquido.
Si può disegnare un'ellisse servendosi del grande compasso
tridimensionale, al quale i geometri arabi avevano dato il nome
di compasso perfetto. L'asta inclinata che ruota attorno all'asse
verticale descrive un cono, che viene tagliato dal piano del
disegno. A seconda dell'inclinazione di quest'ultimo si ottiene
una circonferenza (quando il piano è orizzontale) o un'ellisse,
tanto più allungata quanto più si inclina il piano.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 9
Esempi di forme ellittiche reali
In campo fisico e tecnico, l’ellisse costituisce uno strumento espressivo di rappresentazione e
di schematizzazione di notevole efficacia.
A conferma di ciò e a titolo puramente illustrativo, si riportano alcuni esempi particolarmente
significativi.
Orbite astronomiche
Nel 1609, Keplero dimostrò che le orbite dei pianeti sono delle ellissi con il Sole in uno dei
fuochi.
Nel 1705 Halley mostrò che la cometa che ha poi preso il suo nome si muove su un'orbita
ellittica attorno al sole.
Anche le stelle , come i pianeti e tutti gli altri corpi celesti, sono soggette alla legge di
gravitazione universale, e perciò due di esse (stelle doppie o binarie) possono attrarsi e
muoversi secondo orbite ellittiche attorno ad un comune centro di massa.
Orbite dei satelliti artificiali intorno alla Terra
Se si lancia un proiettile, maggiore è la velocità iniziale più il proiettile atterra lontano.
Quando la velocità iniziale ha un valore sufficientemente elevato, il proiettile non riesce più
ad atterrare: entra in orbita intorno alla Terra e diventa così un satellite. Se lanciamo il
satellite con una velocità appena superiore a quella che lo immette su una traiettoria circolare,
l’orbita si allunga e diventa ellittica. Esistono infinite orbite ellittiche che il satellite può
seguire, a seconda della velocità con cui viene lanciato (l’orbita circolare è solo un caso
particolare di esse). Se però la velocità di lancio è molto elevata, il satellite può sfuggire per
sempre dalla Terra seguendo traiettorie a forma di iperbole.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 10
Modello atomico di Bohr – Sommerfeld
Secondo l’ipotesi di Sommerfeld (1868-1951), ogni elettrone può ruotare intorno al proprio
nucleo percorrendo non soltanto orbite circolari, ma anche orbite ellittiche.
Esempi di architettura a pianta ellittica
La forma ellittica è stata molto utilizzata da architetti e artisti nelle loro opere.
Sono a pianta ellittica edifici famosi quali il Colosseo (asse maggiore188m e asse minore
156m), il colonnato di Piazza S. Pietro (figura seguente), la chiesa di S. Andrea al Quirinale
del Bernini, come pure l’anfiteatro di Pompei.
Indice

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 11
LEZIONE 1
DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE
In questa lezione si considererà una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una
nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla
relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di
questa curva notevole. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri
Géomètre.
Definizione di ellisse
L’ellisse è quella particolare curva chiusa che si ottiene intersecando una superficie conica
con un piano non passante per il vertice e non parallelo alla generatrice.
Per studiare tale curva notevole da un punto di vista analitico si ricava una proprietà
caratteristica (Approfondimento1) che può essere assunta come definizione di ellisse nel
piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica.
La nuova definizione di ellisse, intesa come luogo geometrico dei punti del piano che godono
della proprietà caratteristica in questione è la seguente:
Definizione
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle
distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione canonica dell’ellisse
Sfruttando la definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, ci si propone, ora, di
determinare l’equazione cartesiana di questa curva notevole, nel caso particolare in cui i
fuochi si trovino sull’asse x ed equidistanti dall’origine del sistema di riferimento.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano, con l’asse delle ascisse coincidente con la retta
passante per i fuochi 1 F e F 2 e con l’asse delle ordinate perpendicolare nel punto medio del
segmento 1 2 F F , siano ( ) 0 ; 1 c F ed ( ) 0 ; F 2 − c le coordinate dei fuochi e quindi 2 c ( c > 0 ) la
relativa distanza focale.
Indicando con k > 0 la somma costante delle distanze dei punti dell’ellisse dai fuochi, la
condizione necessaria e sufficiente affinché un generico punto P ( x;
y)
appartenga al luogo è
che le sue coordinate soddisfino la relazione espressa dalla proprietà caratteristica

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 12
PF PF = k .
1 + 2
Tale condizione di appartenenza di P al luogo in esame, ricordando la formula della distanza
tra due punti, diventa
2 2
2 2
( x − c)
+ y + ( x + c)
+ y = k
che è l’equazione dell’ellisse.
La forma irrazionale in cui si presenta tale equazione è poco pratica.
Mediante semplici operazioni di calcolo per la cui ulteriore semplificazione si pone k=2a ed
2 2 2
a − c = b risultando c < a (Approfondimento2), essa si trasforma nella seguente forma
razionale
2 2 2 2 2 2
b x + a y = a b .
che rappresenta l’equazione dell’ellisse nel sistema di riferimento indicato.
2 2
Infine, dividendo tutti i termini per a b , si ottiene
x
a
2
2
y
+
b
Tale forma particolarmente semplice (che dipende dalla particolare scelta del sistema
cartesiano di riferimento) si chiama equazione canonica o equazione normale dell’ellisse.
Tale equazione è la più semplice possibile ed è quella che meglio evidenzia le proprietà della
curva.
Quando, come nel nostro caso, i fuochi appartengono all’asse x , è necessariamente
a > b ;
viceversa, se è data un’equazione del tipo (2) con a > b , i fuochi dell’ellisse corrispondente
appartengono all’asse x .
Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y
Se i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine risulta
2
2
= 1
(1)
(2)

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 13
1 ( 0 c)
e F 2 ( 0;
− c )
F ;
Detto P il generico punto dell’ellisse, allo scopo di ottenere, anche nel caso in cui i fuochi
stiano sull’asse y , un’equazione formalmente uguale a quella precedentemente ottenuta, è
conveniente porre
PF + PF = 2b
con b > 0 .
L’equazione dell’ellisse sarà ancora del tipo
ma con 0 < a < b e
c b − a
2 2 2
= .
1
x
a
2
2
y
+
b
In pratica, per riconoscere a quale tipo di ellisse corrisponde un’equazione del tipo
2 2
x y
+ = 1
2 2
a b
è sufficiente vedere quale dei due denominatori sia il maggiore:se è quello della variabile x ,
allora l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse; se è quello della variabile y , allora i fuochi
si trovano sull’asse delle ordinate.
2
2
2
= 1
.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 14

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 15
LEZIONE 2
METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE
In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software
Cabri Géomètre.
Metodo 1
Costruzione del giardiniere
Un semplice metodo per realizzare praticamente il tracciamento dell’ellisse in modo continuo
è il seguente: segnati su un foglio due punti (corrispondenti ai fuochi 1 F e F 2 ), si collocano
in essi due chiodini ai quali si fissano i capi di un filo flessibile e inestensibile di lunghezza
maggiore della distanza tra i due punti segnati. Si faccia scorrere la punta di una matita in
modo che durante il suo moto continuo essa si appoggi costantemente al filo e che questo
rimanga sempre teso. In tal modo sul foglio si verrà a tracciare una curva i cui punti hanno,
dai due punti segnati inizialmente, distanze la cui somma è uguale alla lunghezza del filo, cioè
si viene a tracciare un’ellisse.
Questa costruzione è detta “costruzione del giardiniere” perché è comunemente adoperata dai
giardinieri per tracciare sul terreno aiuole a contorno ellittico.
Metodo 2
Costruzione dell’ellisse per punti
Alternativamente, disponendo di una riga e di un compasso, si può tracciare l’ellisse per
punti: si fissano due punti 1 F e F 2 (corrispondenti ai fuochi) alla distanza desiderata; a parte
si traccia un segmento MN di lunghezza costante k maggiore della distanza tra i due punti
F e si sceglie un qualunque punto Q su di esso. Il segmento MN viene così
fissati 1 F e 2
ripartito in due segmenti MQ e QN. Con centro in F 2 si traccia una circonferenza di raggio
r 2 = MQ e con centro in 1 F si traccia una seconda circonferenza con raggio r1 = k − r2
; i due
punti d’intersezione delle circonferenze appartengono certamente all’ellisse che si vuole
costruire poiché per ciascuno di essi è k la somma delle distanze dai due fuochi:
r 2 + r1
= r2
+ ( k − r2
) = k .
Dunque, si comprende che al variare di Q, scelto sul segmento MN, si ottengono in tal modo
tanti punti dell’ellisse quanti se ne desiderano.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 16
Metodo 3
Costruzione dell’ellisse noti i semiassi
Ora che si conosce l’equazione canonica dell’ellisse si può illustrare un altro metodo
geometrico per costruire l’ellisse per punti.
Conoscendo soltanto i semiassi a e b (non occorre, quindi, utilizzare i fuochi) è possibile
costruire l’ellisse di equazione
2 2
x y
= 1
a
2
+ b
con riga e compasso servendosi di due circonferenze aventi come centro l’origine degli assi e
raggi a e b.
Condotta per O una semiretta arbitraria r siano :
S x;
y
( ) ~ e ( x;
y )
2
T ~

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 17
le sue due intersezionicon le due circonferenze. Poiché S appartiene alla circonferenza di
raggio b si ha:
~ 2 2 2
x + y = b . (5)
Dalla similitudine dei triangoli OSH e OTR segue:
OH OS ~ x b
= cioè =
OR OT x a
quindi:
~ b
x = x .
a
Sostituendo il valore così ottenuto per x ~ nella (5) si ottiene:
2
b 2 2 2
x + y = b
2
a
ovvero
2 2
x y
+ = 1
2 2
a b
che è l’equazione dell’ellisse già trovata.
Ciò significa che il punto P ( x;
y)
, ottenuto come intersezione della parallela all’asse x per S e
della parallela all’asse y per T, avendo l’ascissa x uguale a quella di t e l’ordinata y uguale a
quella di S, è un punto dell’ellisse; mutando la semiretta r si ottengono punti diversi
dell’ellisse.
Procedura di costruzione dell’ellisse con Cabri:
- Tracciare gli assi.
- Disegnare due circonferenze C e C’ concentriche di raggi a e b con a>b.
- Tracciare una semiretta uscente dall’origine e segnare i punti di intersezione S e T di questa
rispettivamente
con le due circonferenze C e C’.
- Segnare l’intersezione P tra la retta per Se parallela all’asse x e della retta per T e parallela
all’asse y.
- Per tracciare l’ellisse: strumento Traccia; cliccare su P; muovere la semiretta oppure cliccare
su Animazione.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 18
LEZIONE 3
PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE
In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici,
fuochi, limitatezza, eccentricità, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni concetti con
l’utilizzo del software Cabri Géomètre.
Simmetrie
L’ellisse è una curva simmetrica rispetto all’asse y , all’asse x e all’origine.
Infatti, se il punto P ( x;
y)
appartiene all’ellisse di equazione (2) è evidente che anche i punti
P 1( − x;
y)
, ( ) y x P2 − ; − , P3 ( x;
−y
)
appartengono alla curva, perché anche le loro coordinate soddisfano l’equazione (2) in quanto
in essa compaiono solo termini di secondo grado nelle variabili x e y . Ma P 1 è il simmetrico
di P rispetto all’asse y , 2 P è il simmetrico di P rispetto all’origine e P 3 è il simmetrico
di P rispetto all’asse x .
Gli assi coordinati sono, dunque, assi di simmetria della curva e l’origine O è il centro di
simmetria dell’ellisse. Per questi motivi si dice che la (2) rappresenta un’ellisse riferita al
proprio centro e ai propri assi di simmetria o anche, più semplicemente, un’ellisse riferita al
centro e agli assi.
Intersezione con gli assi coordinati
I punti d’intersezione dell’ellisse con l’asse delle ascisse e con quello delle ordinate si
ottengono risolvendo i sistemi:
2 2
2 2
⎧ x y
⎧ x y
⎪ + = 1
⎪ + = 1
2 2
⎨a
b e
2 2
⎨a
b
⎪
⎩y
= 0
⎪
⎩x
= 0
cioè
⎧x
= ± a
⎨
⎩y
= 0
L’ellisse incontra gli assi coordinati in quattro punti:
e
⎧x
= ± a
⎨
⎩y
= 0

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 19
1( ; 0)
a A ( ) 0 ; A2 − a B 1 ( 0;
b)
B2 ( 0;
−b)
.
Tali punti si dicono vertici dell’ellisse.
I segmenti 1 2 A A e 1 2 B B , di lunghezze rispettivamente 2 a e 2 b , si dicono assi dell’ellisse.
Se a > b , il segmento 1 2 A A , è l’asse maggiore, mentre il segmento 1 2 B B è l’asse minore.
I parametri a e b presenti nell’equazione (2) rappresentano quindi le misure dei semiassi.
Si noti che la misura 2 a dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la
somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.
Se a < b , il segmento 1 2 A A , è l’asse minore, mentre il segmento 1 2 B B è l’asse maggiore.
In tal caso la misura 2 b dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la
somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 20
Fuochi
I fuochi 1 F e F 2 stanno sempre sull’asse maggiore, detto perciò asse focale.
Se a > b i fuochi 1( ; 0)
c F e ( ) 0 ; F 2 − c sono sull’asse x e c è la semidistanza focale.
Note le misure dei semiassi, le coordinate dei fuochi si determinano dalla relazione
ossia da
da cui,avendo supposto c > 0 , si deduce
e dunque
2 2
a − c =
2 2
c = a −
2
c = a −
2 2
2 2
F1 ( a − b ; 0)
e F 2 ( a − b ; 0 )
b
b
b
2
2
2
− .
2 2 2
La relazione a = b + c fornisce ulteriori informazioni sul significato geometrico dei
semiassi e del segmento che rappresenta la semidistanza focale; infatti è possibile interpretare
la costante a come la misura del segmento che ha per estremi un fuoco ed il vertice
dell’ellisse che appartiene al semiasse minore (si applichi il teorema di Pitagora al triangolo
rettangolo di lati a , b , c ).
Se a < b i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine
1 ( 0 c)
e F 2 ( 0;
− c )
F ;
e l’asse maggiore, che misurerà 2 b , starà sull’asse y .
I fuochi avranno coordinate
2 2
2 2
F1 ( 0; b − a ) e F 2 ( 0; b − a )
− .

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 21
Una proprietà ottica dei fuochi
Un raggio di luce che colpisca una superficie riflettente viene riflesso, ossia viene rimandato
indietro, in una direzione che dipende dalla direzione di arrivo del raggio di luce e dalla forma
della superficie che lo riflette.
Se la superficie riflettente è uno specchio piano, il raggio si riflette su se stesso se incide
perpendicolarmente alla superficie dello specchio mentre, se arriva obliquamente, viene
riflesso in un’altra direzione anch’essa obliqua, in modo che il raggio incidente e il raggio
riflesso formino con la perpendicolare allo specchio nel punto d’incidenza angoli uguali e
complanari.
La stessa legge vale anche nel caso che la superficie riflettente non sia piana ma curva.
A questo proposito l’ellisse possiede una importante proprietà ottica:pensata come un filo
riflettente, l’ellisse è tale da riflettere ogni raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi in
un raggio che passerà per l’altro fuoco ( Approfondimento3).

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 22
Ovviamente il ruolo dei due fuochi è simmetrico: 1 F “vede” nello specchio 2 F ed 2
nello specchio F 1.
F “vede”
Dunque, un raggio di luce che parte da un fuoco dopo essersi riflesso sull'ellisse andrà a
colpire l'altro fuoco. Ciò vale naturalmente per qualsiasi tipo di raggi: luminosi, sonori,
calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco, dopo una riflessione sull'ellisse
vanno a concentrarsi nell'altro. Di qui la ragione del nome fuochi; se si mette una fonte di
calore in uno dei fuochi, il calore si concentra nell'altro e può incendiare un pezzo di carta o
un materiale infiammabile.
Una semplice teglia (di forma approssimativamente ellittica) con il fondo coperto d'acqua può
servire per illustrare il fenomeno. Se si tocca l'acqua con un dito in corrispondenza di uno dei
fuochi, segnati con un pallino sul fondo, si formano delle onde concentriche che dopo essersi
riflesse sulla parete della teglia vanno a concentrarsi sull'altro fuoco.
Esiste anche un fenomeno acustico, che molti hanno avuto modo di sperimentare in antiche
sale con il soffitto a forma ellittica (ottenuto ruotando una mezza ellisse attorno all'asse
maggiore) dove due interlocutori, posti in due punti particolari, possono discorrere
chiaramente sebbene a voce bassissima mentre nulla del loro colloquio si sente negli altri
punti della sala.
Il fenomeno è evidentemente dovuto al fatto che la volta riflette tutti i suoni provenienti da un
punto “speciale” in un altro punto “speciale”:tali punti sono i fuochi di una superficie con
proprietà del tipo di quella ottica dell’ellisse.
Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali, ad esempio
in quello di Schifanoia a Ferrara e in quello costruito a Granada per CarloV.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 23
Limitatezza
L’ellisse è una curva tutta contenuta nel rettangolo individuato dalle parallele agli assi
condotte per i vertici.
Infatti, dalla sua equazione canonica si deduce
2
2
2 b 2 2
2 b 2 2
y = ( a − x ) e x = ( b − y ) .
2
2
a
a
Essendo i primi membri positivi o nulli, dovranno esserlo anche i secondi membri, da cui
2 2
2 2
a − x ≥ 0 e b − x ≥ 0
e dunque
− a ≤ x ≤ a e − b ≤ y ≤ b
Nel caso a > b :

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 24
Eccentricità
2 2
Si consideri l’ellisse di equazione + = 1
9 4
y x
, i cui fuochi appartengono all’asse x ed in cui,
essendo a=3 e b=2, il semiasse maggiore misura 3 e quello minore misura 2. Il valore del
parametro c che determina le coordinate dei fuochi è c = 9 − 4 = 5 .
2 2
Si consideri ora l’ellisse di equazione + = 1
25 4
y x
. Anche in questo caso i fuochi
appartengono all’asse x, l’asse minore misura ancora 2, ma l’asse maggiore misura 5, cioè è
più lungo di quello della precedente ellisse; inoltre si ha che c = 21 .
Si riportano i rispettivi grafici:

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 25
Confrontando i due grafici,si nota subito che la seconda ellisse è più “schiacciata” della
prima.
Cerchiamo di capirne il motivo.
Si osservino i triangoli rettangoli evidenziati in colore nella seguente figura:
In essi, b e c rappresentano le misure dei due cateti (rispettivamente il semiasse minore e la
2 2 2
semidistanza focale), mentre, essendo b + c = a , a rappresenta la misura dell’ipotenusa
(cioè il segmento BF è congruente al semiasse maggiore). Si rifletta ora sul fatto che l’ellisse
risulta tanto più schiacciata quanto più piccolo è l’angolo β individuato dai segmenti BF ed
OF.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 26
Una indicazione dell’ampiezza di β è data dal rapporto fra i lati che lo formano, cioè dal
c
rapporto fra il cateto e l’ipotenusa (se lo studente ha già studiato un po’ di trigonometria sa
a
c
c 5 c 21
che = cos β ); nei due esempi visti = ≅ 0.
74 nel primo caso e = ≅ 0.
92 nel
a
a 3
a 5
secondo.
c
In generale , quando diminuisce, l’ampiezza di β aumenta e l’ellisse appare meno
a
schiacciata.
Il rapporto fra la semidistanza focale e l’asse maggiore di solito si indica con e e prende il
nome di eccentricità dell’ellisse.
Nel caso dell’ellisse riferita al centro e agli assi e con i fuochi sull’asse x :
c
e = . (3)
a
Poiché la semidistanza focale è sempre minore del semiasse maggiore, è evidente che è
sempre
0 < e < 1.
Nel caso limite e = 0 risulta, dalla (3), c = 0 , la semidistanza tra i fuochi è nulla ed essi
2
coincidono con il centro. In tal caso dalla relazione a
2 2
− c = b si deduce (essendo c = 0 )
2
che è a
2
= b e quindi l’equazione canonica di una tale ellisse diventa
ossia
x
a
2
2
y
+
a
2
2
= 1
x =
2 2 2
+ y a .
Quest’ultima è l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio di misura a .
La circonferenza può quindi essere pensata come una particolare ellisse con eccentricità
nulla,ossia con i fuochi coincidenti.
Nel caso limite e = 1risulta,
dalla (3), c = a , la semidistanza focale è uguale al semiasse
maggiore (cioè i fuochi coincidono con i due vertici) e quindi, risultando nullo l’asse minore,
l’ellisse si riduce all’asse maggiore (ellisse degenere).

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 27
In sostanza, l’eccentricità misura lo “schiacciamento” dell’ellisse sull’asse maggiore rispetto
alla circonferenza che ha per diametro lo stesso asse maggiore: tanto più l’ellisse è eccentrica
(“schiacciata”) e tanto più l’eccentricità è vicina al valore 1; tanto meno l’ellisse è eccentrica e
tanto più l’eccentricità è vicina al valore 0.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 28
Le stesse considerazioni possono essere ripetute nel caso in cui l’ellisse ha i fuochi sull’asse
delle ordinate.
In tal caso l’eccentricità sarà
c
e = .
b
Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse
Quante informazioni indipendenti occorrono per poter scrivere l’equazione di un’ellisse?
Poiché nell’equazione
2 2
x y
+ = 1
2 2
a b
compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie due condizioni indipendenti per
determinare l’equazione di un’ellisse riferita ai suoi assi di simmetria.
Alcuni dei casi che possono presentarsi sono:
1. passaggio per l’ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto
all’origine);
2. conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice;
3. conoscenza dell’eccentricità e passaggio per un punto;
4. conoscenza della misura di un semiasse e dell’eccentricità.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 29
Osservazioni
2
L’equazione canonica di un’ellisse dipende dalla determinazione di a e di
2
b ; sarà dunque sufficiente risolvere equazioni o sistemi fino ad arrivare a
trovare tali valori;
Quando si deve determinare l’equazione di un’ellisse e non è nota a priori la
posizione dei due fuochi (se appartengono all’asse x o all’asse y), si considera
l’equazione nella forma generale
2 2
x y
+ = 1
2 2
p q
2 2
2 2
in cui i valori dei parametri a e b sono stati sostituiti da p e q . Se, a
2 2
calcoli svolti, si verificherà che è p > q , allora l’ellisse avrà i fuochi
sull’asse delle ascisse, altrimenti li avrà sull’asse delle ordinate.
Se le informazioni riguardano il passaggio per due punti simmetrici, in realtà si
ha una sola informazione valida che consente di determinare il valore di un
solo parametro. L’equazione dell’ellisse dipenderà, pertanto, da un parametro.
Area della regione delimitata dall’ellisse
L’ellisse:
2 2
x y
+ = 1
2 2
a b
delimita una regione finita D di piano rappresentata analiticamente dalla disequazione:
x
a
2
2
y
+
b
la cui area è data da:
2
2
≤ 1
Area D = πab
essendo a e b i semiassi dell’ellisse.
2
π a del cerchio di
Si osservi che tale formula contiene come caso particolare, se a=b, l’area
raggio a.
Ne segue che la posizione reciproca di un punto P 0 ( x0;
y0
) e di un’ellisse di equazione
2 2
x y
+ = 1 è determinata dalle seguenti condizioni:
2 2
a b
2 2
x0
y0
1) Se + = 1 il punto sta sull’ellisse;
2 2
a b
2 2
x0
y0
2) Se + > 1 il punto sta all’esterno dell’ellisse;
2 2
a b
2 2
x0
y0
3) Se + < 1
2 2
a b
il punto sta all’interno dell’ellisse.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 30
Retta - ellisse
Per studiare le varie posizioni che può assumere una retta r, rispetto ad un’ellisse, basta
risolvere il sistema di 2° grado formato dalle equazioni dell’ellisse e della retta:
2 2 ⎧ x y
⎪ + = 1
2 2
⎨a
b
⎪
⎩y
= mx + q
Le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti d’intersezione tra l’ellisse e la retta.
Applicando il metodo di sostituzione, si ottiene l’equazione risolvente:
2 2 2 2 2
2 2 2
( b + a m ) x + 2a
mqx + a ( q − b ) = 0
2 2 2
sempre di 2° grado, poiché b + a m ≠ 0 .
Calcolato il discriminante di tale equazione:
∆ 4 2 2 2 2 2 2 2 2
= a m q − a ( q − b )( b + a m )
4
a seconda che risulti:
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
la retta r è rispettivamente:
secante tangente esterna
all’ellisse.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 31
LEZIONE 4
APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
La conoscenza dell’ellisse, in alcune situazioni, può facilitare lo svolgimento di un esercizio
matematico. In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni
e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si
presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.
Esercizio 1
Tracciare il grafico della funzione di equazione y =
condominio.
2
4 − 9x
, determinandone dominio e
2 2 2 ⎡ 2 2⎤
La funzione esiste se 4 − 9x
≥ 0 ⇒ − ≤ x ≤ ⇒ D = ⎢−
;
3 3 ⎣ 3 3⎥
.
⎦
Si osservi che, ∀ x ∈ D , è y ≥ 0 .
Elevando al quadrato, avremo che l’equazione data è equivalente a
2 2 ⎧ x y
2
2
⎪ + = 1
⎧y
= 4 − 9x
4 4
⎨
⇒ ⎨
⎩y
≥ 0 ⎪ 9
⎪⎩
y ≥ 0
2 2
Poiché + = 1
4 4
9
y x
2
è l’equazione di un’ellisse riferita al centro e agli assi con a = e b = 2 ,
3
tenendo conto della condizione y ≥ 0 , si può concludere che il grafico richiesto è quello
illustrato nella figura seguente e rappresenta una semiellisse. Il condominio della funzione è
C = 0;
2 .
[ ]

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 32
Esercizio 2
2
Risolvere la seguente equazione 3 + x + 3 − 3x
= 0 .
Si scriva l’equazione data nel seguente modo
3 + x = −
cioè
2
3 − 3x
⎪⎧
y = 3 + x
⎨
⎪⎩ y = − 3 − 3x
⎪⎧
y = x +
⇒ ⎨ 2 2 ⎪⎩ 3x
+ y
3
= 3 ∧
2 y
2
2
Si tratta di intersecare l’arco dell’ellisse di equazione + = 1
3
y
x , situato nel semipiano delle
y negative o nulle, con la retta di equazione y = x + 3 . Dall’esame della figura seguente si
vede che l’equazione data non ha soluzioni.
Esercizio 3
2
Risolvere graficamente la disequazione 2 x − 3x
≥ x .
≤ 0
Si consideri la curva e la retta di equazioni rispettivamente y
Si osservi che
−
y
=
2
2
2 2
2 ⎧y
= 2x
− 3x
⎧3x
+ y − 2x
= 0
2x
− 3x
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩y
≥ 0 ⎩y
≥ 0
2
= 2x 3x
e x
y = .

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 33
2
L’equazione 3x
2
+ y − 2x
= 0 si può scrivere
2
⎛ 1 ⎞
⎜ x − ⎟ 2
⎝ 3 ⎠ y
+ = 1
1 1
9 3
⎛ 1 ⎞
1
e pertanto rappresenta un’ellisse di centro ⎜ ; 0⎟
e di semiassi a = e b =
⎝ 3 ⎠
3
minore disposto sull’asse x, essendo a < b .
1
, con l’asse
3
A causa della condizione y ≥ 0 , l’equazione y =
2
2x − 3x
rappresenta quindi la semiellisse
appartenente al semipiano delle ordinate positive o nulle.
Risolvere la disequazione data significa determinare le ascisse dei punti della semiellisse che
hanno ordinata maggiore o uguale di quella dei corrispondenti punti della retta y = x .
Dall’esame della figura si può vedere che la disequazione è verificata per A x x ≤ ≤ 0 essendo
A il punto d’intersezione, distinto dall’origine, tra l’ellisse e la retta. Ponendo a sistema
1
l’equazione dell’ellisse con quella della retta, si trova x A = .
2
1
Si conclude che la disequazione è soddisfatta per 0 ≤ x ≤ .
2
ESERCITAZIONE CON DERIVE
1. Determinare le eventuali intersezioni delle seguenti rette di equazione:
1. a)
a) y = x + 2
b) y = x + 5
c) 2
2 +
x
y =
2
x 2
con l’ellisse di equazione: + y = 1.
4

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 34
b)

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 35
c)
2. Risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni:
2
2
a) 2 − 3x
+ x −1
= 0 ; b) 1−
4x
> 1+
3x
;
2
c) 25 −16x ≤ 4x
+ 5 ; d) 3 2 1 1
2
− x + x + < x + .

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 36
2. a)
b)

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 37
c)
d)

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 38

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 39
TEST
Scelta multipla (4 risposte, una sola corretta)
Individua la risposta corretta tra quelle elencate
2 2
1 L’equazione canonica dell’ellisse 30x
+ 10y
= 30 è:
a.
2
x 2
+ y
3
= 1
b.
2
2
+ = 1
3
y
x (V)
2 2
c. + = 1
3 3
y x
d.
2 2
3x
+ y = 3
2 2
2 L’ellisse di equazione + = 1
5 8
y x
è simmetrica rispetto:
a. all’origine
b. all’asse x
c. all’asse y
d. agli assi cartesiani e all’origine (V)
2 2
3 L’ellisse di equazione + = 1
3 2
y x
ha i fuochi:
a. sull’asse x (V)
b. sull’asse y
c. nell’origine
d. sia sull’asse x che sull’asse y
2 2
4 L’ellisse di equazione 4x
+ 8y
= 32 ha eccentricità uguale a :
a. 2
6
b.
2
2
c. (V)
2
d. 1
5 L’ellisse che ha fuochi in ( , 1)
2 2
a. 3x
+ 4y
= 12
2 2
b. 4x
+ 3y
= 12 (V)
2
x 2 2
c. + y = 1
4 9
2 2
d. + = 1
4 9
y x
0 ± e passa per
⎛ 2 6 ⎞
P ⎜ ⎟
⎜
1,
⎟
ha equazione:
⎝ 3 ⎠

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 40
APPENDICE
Approfondimento 1
Per ricavare la proprietà caratteristica che può essere assunta come definizione di ellisse nel
piano si procede nel seguente modo.
Si esamini la seguente figura, dove il piano del disegno passa per l’asse a della superficie
conica ed è perpendicolare al piano secante α .
Fig. 1
Siano r ed s le generatrici appartenenti al piano del disegno, M il punto d’intersezione tra α
ed r, N quello tra α ed s. Si considerino la circonferenza γ 1 inscritta nel triangolo VMN e la
circonferenza γ 2 tangente a MN e ai prolungamenti dei lati VM e VN, come indicato in
figura precedente (si dice che γ 2 è la circonferenza ex-inscritta al triangolo VMN relativa al
lato MN). Siano 1 F e 2 F i punti di contatto di γ 1 e γ 2 con il lato MN. Ruotando le rette r ed s
e le due circonferenze di un angolo piatto attorno all’asse a, le circonferenze γ 1 e γ 2
generano le superfici sferiche di due sfere β 1 e β 2 inscritte nella stessa falda e tangenti in 1 F
e 2 F al piano α : i punti 1 F e 2
F sono detti fuochi dell’ellisse.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 41
Si consideri ancora la figura precedente; ricordando che i segmenti di tangente condotti da un
punto esterno ad una circonferenza sono congruenti si ha
NF1 ≅ NS e NF2 ≅ NT .
Sommando membro a membro queste due relazioni si ha
NF1 + NF2
≅ ST
dove N è un punto dell’ellisse (quello sulla generatrice s) e ST è la distanza, su una
generatrice, tra i punti di contatto delle sfere β 1 e β 2 con la falda (nella figura seguente si
avrà ovviamente ST ≅ S'T
'≅
S''T
''
). Si può ora vedere che la proprietà di cui gode il punto
N è goduta anche da ogni altro punto P dell’ellisse
PF1 + PF2
≅ ST .
Per verificarlo si consideri la seguente figura:
P è un generico punto dell’ellisse e la generatrice VP tange la sfera β 1 in S ' e la sfera β 2 in
T '.
Anche se per ora lo studente forse non ha conoscenze di geometria razionale nello spazio,
non è però difficile intuire che i segmenti di tangente condotti da un punto esterno P a una

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 42
sfera sono congruenti e che quindi, sempre osservando la figura precedente dove PF 1 è
tangente a β 1 e PF 2 è tangente a β 2 , si ha
1 ' PS PF ≅ e PF2 ≅ PT'
.
Sommando membro a membro queste due relazioni si ha
PF1 + PF2
≅ S'T
'
e dunque
PF1 + PF2
≅ ST
come si voleva verificare.
Si può quindi affermare che
l’ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle loro distanze da
due punti detti fuochi.
Considerando ancora la Fig. 1 si verifica che è 2 1 NF MF ≅ e che è MN ≅ ST .
Infatti, dalla relazione precedentemente ricavata
NF1 + NF2
≅ ST
risulta
NF NF + F F ≅ ST
1 + 1 1 2
2NF 1 + F1F
2 ≅ ST ≅ S''T
''
≅ S''
M + MT'
'≅
MF2
+ F1F
2 + MF2
≅ 2MF2
+ F1F
2
da cui
1 2 MF NF ≅ .
Inoltre si ha
MN ≅ MF2
+ F2
N ≅ NF1
+ NT ≅ SN + NT ≅ ST .
Pertanto, la relazione
PF1 + PF2
≅ ST
che caratterizza dal punto di vista geometrico l’ellisse si può scrivere
PF1 + PF2
≅ MN
dove il segmento MN è l’asse maggiore dell’ellisse, come si vedrà nel seguito.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 43
Approfondimento 2
La forma irrazionale in cui si presenta l’equazione è poco pratica e trasforma in forma
razionale isolando un radicale, elevando al quadrato entrambi i membri, semplificando e
sviluppando i calcoli come di seguito indicato:
2 2
2 2
( x − c)
+ y = k − ( x + c)
+ y
2
2 2 ( x c)
y ⎟⎞
= ⎜k
− ( x + c)
2
⎜⎛
− + ⎛ + y
⎝
⎠ ⎝
2 2 2
( − c)
+ y = k + ( x + c)
2
2
⎟⎞
⎠
2 2
2 2
( + y ) − 2k ( x + c)
y
x +
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
x − 2cx + c + y = k + x + 2cx
+ c + y − 2k
x + 2cx
+ c + y
2
2 2 2
2k
x + 2cx
+ c + y = k + 4cx
.
Per semplificare ulteriormente i calcoli si può porre k=2a :
a
2
x
2
2 ( a cx)
2
2 2
4 a x + 2cx
+ c + y = 4 +
( ) ( ) 2
2
2
2 2 2
a x + 2cx + c + y = a + cx
2 2 2 2 2 4 2 2
+ 2 a cx + a c + a y = a + c x + 2a
2 2 2 2 2 2 4
a x − c x + a y = a −
2 2 2 2 2 2 2 2
( a c ) x + a y = a ( a − c )
− .
Osservazione
E’ importante osservare che i due successivi elevamenti al quadrato non hanno introdotto
soluzioni estranee 1 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente alla (1) inizialmente
considerata.
Ora, poiché in un qualsiasi triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due, per il
PF risulta
triangolo 1 2 F
cioè
F F < PF + PF
1
2
2 c < 2a
ossia c < a .
2 2
Allora la differenza a − c è sicuramente positiva; si può pensare a questa differenza come
al quadrato di un numero reale e porre quindi
x ,che ha soltanto la soluzione 3 ,si passa,elevando ambo i membri al quadrato,
x ,che ha le soluzioni +3 e –3.
1
Per esempio,dall’equazione = 3
all’equazione
2
= 9
1
2
a
2
c
2
2
cx

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 44
Pertanto l’equazione precedente diventa
2 2 2
− c b .
a =
2 2 2 2 2 2
b x + a y = a b .

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 45
Approfondimento 3
Per verificare analiticamente la proprietà ottica occorre, scelto un qualunque punto P 0
dell’ellisse:
a. determinare l’equazione della retta n “perpendicolare all’ellisse” in quel punto;
b. determinare le equazioni delle rette P 0F1
e P 0F2
;
c. verificare che una delle bisettrici degli angoli formati dalle rette P 0F1
e P 0F2
è la normale
n.
Si procede ora alla verifica.
a. La retta n è la retta per P 0 perpendicolare alla tangente all’ellisse nel punto P 0 .
Considerato che la tangente ha equazione:
x0
x y0
y
+ = 1
2 2
a b
la perpendicolare avrà equazione:
y0
x0
( x − x0
) − ( y − y0
) = 0
2
2
b b
cioè
y0
x x0
y x0
y0
x0
y0
− − + = 0
2 2 2 2
b a b a
ovvero
2
2
2
n : a y0
x − b x0
y = c x0
y0
b. Sia y − y0
= m(
x − x0
) l’equazione del fascio di rette per P 0 . La retta P 0F1
ha coefficiente
y0
angolare m = e quindi equazione:
x0
− c
y 0 x − ( x0
− c)
y − y0c
= 0
y0
mentre la retta P 0F2
ha coefficiente angolare m = e quindi equazione:
x0
+ c
y x − x + c)
y + y c = 0
0
( 0
0
c. Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette 1
Posto:
essere:
y0
x − ( x0
+ c)
+ y0c
y0
x − ( x0
− c)
y − y0c
= ±
2
2
y + ( x + c)
y + ( x − c)
2
0
d =
0
2
2
2
2
2 = y0
+ ( x0
+ c)
P0
F2
e d 1 = y0
+ ( x0
− c)
= P0
F1
le due bisettrici hanno equazione:
2
0
[ x ( d − d ) + c(
d + d ) ] y + y c(
d + ) = 0
y 0 ( d1
− d 2 ) x − 0 1 2 1 2 0 1 d 2
[ x ( d + d ) + c(
d − d ) ] y + y c(
d − ) = 0
y 0 ( d1
+ d 2 ) x − 0 1 2 1 2 0 1 d 2
Moltiplicando entrambe le equazioni per d 1 + d 2 e tenuto conto che:
d1 + d 2
si ottengono le equazioni:
= P0
F1
+ P0
F2
2 2
= 2a
d1 − d 2 = −4x0c
0
P 0F e P 0F2
risultano

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 46
ossia:
2 2
2
[ − 4x
c + 4a
c]
y + 4a
y = 0
− c
4x 0 cy0
x − 0
0
4a
2
0
2
2
2
[ 4a
x − 4x
c ] y − 4x
y = 0
y x − c
0
2 2 2
⎪⎧
− x0
y0
x + x0
y − a y + a y0
= 0
⎨ 2
2
2
2
⎪⎩ a y0
x − a x0
y + x0c
y − x0
y0c
= 0
2 2 2
Dividendo poi per − a y0
la prima e ricordando che a − c
2
= b , le equazioni divengono:
xx0
+ 2
a
2
y ⎛ x ⎞ 0 ⎜1
⎟
⎜
− = 1 2
y ⎟
0 ⎝ a ⎠
2
2
2
a y0
x − b x0
y = x0
y0c
2 2
x 0 y0
Ora nella prima equazione, tenuto conto che 1−
= , si riconosce la tangente e nella
2 2
a b
seconda la normale.
Pertanto un raggio luminoso i proveniente dal fuoco F 1 viene riflesso in un raggio r in modo
che:
quindi il raggio r passa per il fuoco F 2 .
∧
0
∧
in = rn
0
0

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 47
BIBLIOGRAFIA
N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi “Lineamenti di matematica”, Mod. B, Ed.
Ghisetti e Corvi.
L. Lamberti – L. Mereu – A. Nanni “Matematica uno”, Ed. Etas.
M. Battelli “Corso di matematica sperimentale e laboratorio”,vol. 3, Ed.Le Monnier.
G. Zwirner – L. Scaglianti “Pensare la matematica”, vol. 1, Ed. Cedam.
M. Re Fraschini –G. Grazzi “Matematica e tecnica”, tomo A, Ed. Atlas.
L. Tonolini – F. Topolini “Metodi analitici”, vol. 1, Ed. Minerva Italica.
www.math.unifi.it/archimede
“Oltre il compasso”
www.astrosurf.com/cosmoweb/sistemasolare/pianeti
“Sistema solare”
“Stelle”
www.scibio.unifi.it/lezioni/atomo.html
“La struttura dell’atomo”
www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/coniche/ellisse/costruz.htm
“Costruzioni relative all’ellisse”
www.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Cabri/
“Costruzioni in Cabri”