PROGETTO L'ellisse con Cabri - Matematicamente.it
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Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 1<br />
PRESENTAZIONE<br />
<strong>PROGETTO</strong><br />
<strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong><br />
di Concetta GUIDO<br />
<strong>con</strong>cetta.guido@libero.<strong>it</strong><br />
L’obiettivo didattico del Progetto è lo studio dell’ellisse da un punto di vista anal<strong>it</strong>ico.<br />
Il Progetto è strutturato in 4 Lezioni, suddivise in paragrafi, nei quali verranno trattati<br />
specifici argomenti.<br />
Una Introduzione illustrerà, sinteticamente, la linea di sviluppo del Progetto e alcuni esempi<br />
rappresentativi del mondo reale.<br />
Un Test finale, a risposta multipla, offrirà la possibil<strong>it</strong>à di verificare le <strong>con</strong>oscenze apprese.<br />
Il tempo medio di fruizione dell’intero modulo è di 4 ore.<br />
Articolazione del Progetto<br />
Introduzione<br />
Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse<br />
Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse<br />
Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse<br />
Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni<br />
Test finale<br />
Articolazione dei <strong>con</strong>tenuti<br />
Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse<br />
In questa lezione si <strong>con</strong>sidererà una proprietà caratteristica che <strong>con</strong>sentirà di enunciare una<br />
nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla<br />
relativa sezione <strong>con</strong>ica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di<br />
questa curva notevole. Si chiariranno alcuni <strong>con</strong>cetti <strong>con</strong> l’utilizzo del software <strong>Cabri</strong><br />
Géomètre.<br />
Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse<br />
In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse <strong>con</strong> il software<br />
<strong>Cabri</strong> Géomètre.<br />
Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse<br />
In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici,<br />
fuochi, lim<strong>it</strong>atezza, eccentric<strong>it</strong>à, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni <strong>con</strong>cetti <strong>con</strong><br />
l’utilizzo del software <strong>Cabri</strong> Géomètre.<br />
Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni<br />
In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni e per<br />
risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si<br />
presenterà un’eserc<strong>it</strong>azione guidata <strong>con</strong> il software Derive.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 2<br />
Vantaggi della presente trattazione<br />
Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole,<br />
poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle<br />
<strong>con</strong>nessioni tra di loro.<br />
C’è una miglior r<strong>it</strong>enzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini<br />
piuttosto che solo parole.<br />
Lo studente assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non<br />
più costretto a seguire gli imperativi della linear<strong>it</strong>à testuale, cap<strong>it</strong>olo dopo cap<strong>it</strong>olo, l’allievo<br />
sceglie quali informazioni vis<strong>it</strong>are; manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi<br />
informativi, sceglie snodi diversi.<br />
La lezione è implementata da supporti altrimenti non possibili (immagini in movimento,<br />
simulazioni) che favoris<strong>con</strong>o negli allievi un atteggiamento partecipativo.<br />
Utilizzando <strong>Cabri</strong> Géomètre può costruire oggetti geometrici, manipolarli modificando la<br />
costruzione esegu<strong>it</strong>a, quindi verificare quali relazioni si mantengono o variano nel corso di<br />
tali manipolazioni.<br />
Grazie all’integrazione della capac<strong>it</strong>à numerica, algebrica e grafica di Derive molti esercizi<br />
possono essere affrontati meglio rispetto ai metodi tradizionali. Invece di disperdersi in noiose<br />
tecniche di calcolo si può <strong>con</strong>centrare nella risoluzione dell’esercizio visualizzando le<br />
soluzioni in diversi modi.<br />
COLLOCAZIONE NEL CURRICOLO<br />
Il Progetto è rivolto ad una classe III del Liceo Scientifico, indirizzo PNI. L’argomento,<br />
trattato nel 2° quadrimestre, va inser<strong>it</strong>o nel Modulo “Sezioni <strong>con</strong>iche” della programmazione<br />
curricolare di Geometria Anal<strong>it</strong>ica e collocato dopo la Cir<strong>con</strong>ferenza.<br />
OBIETTIVI DIDATTICI<br />
Obiettivi cogn<strong>it</strong>ivi:<br />
Conoscere alcuni esempi di forme ell<strong>it</strong>tiche reali<br />
Comprendere la definizione di ellisse come luogo geometrico<br />
Conoscere l’equazione cartesiana dell’ellisse<br />
Conoscere alcune costruzioni geometriche dell’ellisse<br />
Conoscere le principali caratteristiche di tale curva chiusa<br />
Comprendere le reciproche posizioni retta – ellisse<br />
Comprendere l’applicabil<strong>it</strong>à dell’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni<br />
Comprendere la proprietà ottica e acustica dei fuochi<br />
Obiettivi Operativi:<br />
Ri<strong>con</strong>oscere l’equazione di un’ellisse e tracciarne il grafico<br />
Eseguire alcune costruzioni geometriche dell’ellisse <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> Géométre<br />
Individuare le sue principali caratteristiche<br />
Scrivere l’equazione di un’ellisse note alcune sue caratteristiche<br />
Determinare le reciproche posizioni retta – ellisse<br />
Applicare l’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni<br />
Saper risolvere esercizi <strong>con</strong> l’utilizzo del software Derive
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 3<br />
Obiettivi Formativi:<br />
Affinare la precisione del linguaggio e la coerenza argomentativa<br />
Acquisire <strong>con</strong>oscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione<br />
Utilizzare metodi,strumenti e modelli matematici in s<strong>it</strong>uazioni diverse<br />
Riesaminare cr<strong>it</strong>icamente e sistemare logicamente le <strong>con</strong>oscenze via via acquis<strong>it</strong>e<br />
Sviluppare e potenziare le att<strong>it</strong>udini sia anal<strong>it</strong>iche che sintetiche<br />
PREREQUISITI<br />
Calcolo algebrico<br />
Equazioni e disequazioni algebriche<br />
Sistemi di grado superiore al primo<br />
Concetto di funzione<br />
Grafico di funzione<br />
Conoscenze di base di geometria sintetica piana<br />
Nozioni fondamentali di geometria anal<strong>it</strong>ica (luogo geometrico; retta; cir<strong>con</strong>ferenza);<br />
Trasformazioni geometriche: simmetrie.<br />
Costruzioni geometriche elementari<br />
Utilizzo dei software Derive e <strong>Cabri</strong> Géomètre<br />
METODOLOGIE DIDATTICHE<br />
Lezione interattiva<br />
Eserc<strong>it</strong>azioni guidate in laboratorio di informatica<br />
Socializzazione dei risultati di laboratorio<br />
Approfondimento e <strong>con</strong>solidamento <strong>con</strong>cettuale ed applicativo.<br />
I <strong>con</strong>tenuti si svilupperanno attraverso un alternarsi coordinato di informazione ed<br />
applicazione. Ciascun argomento sarà trattato in modo da stimolare l’interesse, la curios<strong>it</strong>à e<br />
la riflessione degli alunni. Massima cura sarà dedicata alla coerenza argomentativa.<br />
Le lezioni saranno di tipo interattivo e supportate da attiv<strong>it</strong>à guidate di laboratorio<br />
informatico.<br />
Il test finale <strong>con</strong>sisterà in una prova strutturata a risposta multipla. Ogni ques<strong>it</strong>o sarà scelto<br />
<strong>con</strong> cura e formulato in modo univoco e chiaramente comprensibile; inoltre avrà uno spazio<br />
temporale determinato.<br />
MEZZI E STRUMENTI<br />
Videoproiettore<br />
Schede di lavoro per l’attiv<strong>it</strong>à di laboratorio informatico<br />
Software didattici: Derive e <strong>Cabri</strong> Géomètre<br />
Laboratorio di informatica<br />
Scheda per il test finale
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 4<br />
FUNZIONE FORMATIVA DELLA MULTIMEDIALITA’<br />
Un ambiente formativo multimediale è un ambiente nel quale operano se<strong>con</strong>do rapporti<br />
integrati media diversi - audiovisivi, informatici, telematici - e quindi linguaggi diversi -<br />
analogici, dig<strong>it</strong>ali, virtuali . In tale <strong>con</strong>testo il computer multimediale, grazie alla sua<br />
straordinaria polivalenza comunicativa, è destinato ad occupare la scena sempre più<br />
massicciamente. Un ambiente multimediale è cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da un software ipermediale che<br />
coordina <strong>con</strong>giuntamente più sistemi simbolici (testo, audio, immagini, animazioni, ecc.). A<br />
media diversi corrispondono abil<strong>it</strong>à cogn<strong>it</strong>ive diverse e aspetti diversi della realtà<br />
raggiungibili <strong>con</strong> essi.<br />
Dall’integrazione delle tecnologie ipertestuali <strong>con</strong> le tecnologie multimediali si originano i<br />
sistemi ipermediali, capaci di gestire immagini, suoni, testi e animazioni, permettendo<br />
l'accesso ai vari tipi di informazione in modo non sequenziale.<br />
Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole,<br />
poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle<br />
<strong>con</strong>nessioni tra di loro.<br />
C’è una miglior r<strong>it</strong>enzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini<br />
piuttosto che solo parole.<br />
Sotto il profilo cogn<strong>it</strong>ivo, l'ipermedia sembra quindi asse<strong>con</strong>dare due aspetti centrali del modo<br />
in cui l'essere umano <strong>con</strong>osce: la multimedial<strong>it</strong>à innesca azioni di rinforzo-integrazione tra gli<br />
emisferi cerebrali, intrecciando le sollec<strong>it</strong>azioni dei linguaggi analogici e dig<strong>it</strong>ali;<br />
l'ipertestual<strong>it</strong>à accompagna lo svolgersi del pensiero attraverso il reticolo associativo.<br />
L'ipermedial<strong>it</strong>à potenzia una didattica per <strong>con</strong>cetti e favorisce negli allievi un atteggiamento<br />
partecipativo. L'allievo vede, ascolta, manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi<br />
informativi, sceglie snodi diversi. Il lettore assume una posizione centrale rispetto<br />
all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linear<strong>it</strong>à<br />
testuale, cap<strong>it</strong>olo dopo cap<strong>it</strong>olo, il lettore sceglie quali informazioni vis<strong>it</strong>are.<br />
E' questa la strada attraverso la quale si sta affermando una <strong>con</strong>cezione "antropocentrica della<br />
tecnologia informatica applicata alla didattica e alla formazione".<br />
Nello stesso spir<strong>it</strong>o, si apre la strada alla cost<strong>it</strong>uzione delle "comun<strong>it</strong>à di apprendimento": un<br />
modello di formazione alternativo a quello tradizionalmente scolastico e vicino a quello<br />
dell'apprendistato, della formazione sul lavoro, delle comun<strong>it</strong>à scientifiche. Si tratta di gruppi<br />
eterogeni (pari, esperti, insegnanti); che prevedono una <strong>con</strong>divisione di comp<strong>it</strong>i e degli<br />
strumenti; che incorporano momenti di "apprendistato cogn<strong>it</strong>ivo", nei quali ci si interroga e si<br />
interroga su quanto si sta facendo, si chiedono <strong>con</strong>sigli, si socializzano difficoltà e<br />
competenze. Sotto il profilo tecnico, le comun<strong>it</strong>à possono formarsi utilizzando gli ambienti di<br />
authoring multimediali e le tecnologie telematiche per la comunicazione in rete, attuando, in<br />
questo se<strong>con</strong>do caso, delle comun<strong>it</strong>à virtuali on line.<br />
La formazione on line è dotata di molti vantaggi. Per esempio, essa riproduce in una<br />
s<strong>it</strong>uazione di indipendenza spazio-temporale (la lezione on-line può essere segu<strong>it</strong>a nel<br />
momento voluto, nel posto voluto, <strong>con</strong> i tempi voluti), dinamiche comunicative di tipo<br />
dialogico (uno a uno), frontale (uno a molti), collaborative (molti a molti). Essa favorisce<br />
atteggiamenti collaborativi e interattivi, permette di individualizzare l'offerta formativa;<br />
promuove l'iniziativa e l'individuazione di più percorsi di ricerca e approfondimento da parte<br />
dei discenti; presenta una grande flessibil<strong>it</strong>à rispetto alle necess<strong>it</strong>à didattiche e metodologiche<br />
del corso; <strong>con</strong>sente di mon<strong>it</strong>orare in tempo reale i livelli di apprendimento e di valutare in<br />
<strong>it</strong>inere sia il corso che i partecipanti.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 5<br />
Lezione tradizionale e lezione on-line a <strong>con</strong>fronto<br />
Lezione tradizionale: inizia ad un orario prefissato in una aula precisa; l’alunno in genere è<br />
passivo per la maggior parte della lezione; il docente decide la struttura della lezione (sempre<br />
sequenziale); il docente è al centro dell’attenzione.<br />
Lezione on-line: la lezione ha inizio quando lo decide l’alunno, al massimo si decide la durata<br />
massima; l’alunno è attivo e si muove all’interno della lezione; è incurios<strong>it</strong>o e affascinato<br />
dalle nuove tecnologie (un libro elettronico "vivo", che parla e che suona, è sicuramente più<br />
interessante ed accattivante di uno di tipo cartaceo, anche se fatto benissimo); l’alunno decide<br />
la struttura della lezione (struttura a rete ); la lezione è al centro dell’attenzione; la lezione può<br />
essere implementata da supporti altrimenti non possibili: immagini in movimento, suoni,<br />
filmati, giochi, simulazioni.<br />
Conclusioni<br />
Nell’attuale società, la tecnologia si pone come un valido e funzionale strumento nel veicolare<br />
ed ampliare la <strong>con</strong>oscenza. Assistiamo ad una crescente compless<strong>it</strong>à e varietà di sapere che,<br />
grazie alle moderne tecnologie telematiche, è divenuto sempre più accessibile e<br />
personalizzabile sia nei modi sia nei tempi e negli spazi.<br />
Per secoli l’apprendimento delle <strong>con</strong>oscenze è avvenuto mediante quello che gli psicologi<br />
definis<strong>con</strong>o il “modo simbolico–ricostruttivo”. In questo modo si utilizza il linguaggio scr<strong>it</strong>to<br />
in maniera sostanzialmente totalizzante e autosufficiente.<br />
Ma esiste anche un altro tipo di apprendimento che si ha osservando, toccando, modificando e<br />
riosservando gli effetti che <strong>con</strong>seguono all’azione, riprovando, cambiando qualcosa e di<br />
nuovo osservando i risultati: è questo ciò che gli psicologi chiamano apprendimento<br />
“percettivo-motorio”.<br />
È un apprendimento generato dai <strong>con</strong>tinui cicli di percezione ed azione.<br />
E’ un apprendimento non circoscr<strong>it</strong>to in un luogo ben preciso e delim<strong>it</strong>ato (l’aula).<br />
Lo studente non svolge più un ruolo passivo, ricettore del sapere divulgato dall’insegnante ma<br />
ha un ruolo attivo, di attore nella selezione, fruizione e gestione del sapere.<br />
Per quanto riguarda l’insegnante anche il suo ruolo sarà sempre più di manager della<br />
<strong>con</strong>oscenza che trasforma la didattica tradizionale in un sistema aperto capace di adattarsi<br />
velocemente e <strong>con</strong>tinuamente ai diversi <strong>con</strong>testi, di essere proattivo. Dalla tradizionale figura<br />
dell’insegnante depos<strong>it</strong>ario del sapere che trasmette in modo unidirezionale allo studente, in<br />
un ambiente circoscr<strong>it</strong>to, ad un insegnante attore che sembra più un manager della<br />
<strong>con</strong>oscenza, un <strong>con</strong>sulente nel processo di maturazione intellettuale degli allievi.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 6<br />
INDICE<br />
INTRODUZIONE<br />
- Abstract<br />
- L’ellisse nella realtà<br />
- Esempi pratici per ottenere un ellisse<br />
- Esempi di forme ell<strong>it</strong>tiche reali<br />
ELLISSE<br />
LEZIONE 1 : DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE<br />
- Definizione di ellisse<br />
- Equazione canonica dell’ellisse<br />
- Equazione dell’ellisse <strong>con</strong> i fuochi sull’asse y<br />
LEZIONE 2 : METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE<br />
- Metodo 1<br />
- Metodo 2<br />
- Metodo 3<br />
LEZIONE 3 : PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE<br />
- Simmetrie<br />
- Intersezione <strong>con</strong> gli assi coordinati<br />
- Fuochi<br />
- Una proprietà ottica dei fuochi<br />
- Lim<strong>it</strong>atezza<br />
- Eccentric<strong>it</strong>à<br />
- Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse<br />
- Area della regione delim<strong>it</strong>ata dall’ellisse<br />
- Retta – ellisse<br />
LEZIONE 4 : APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E<br />
DISEQUAZIONI<br />
- Eserc<strong>it</strong>azione <strong>con</strong> DERIVE<br />
TEST FINALE<br />
APPENDICE<br />
- Approfondimento 1<br />
- Approfondimento 2<br />
- Approfondimento 3<br />
Bibliografia
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 7<br />
INTRODUZIONE<br />
Abstract<br />
Studiare, tracciare, classificare linee curve è stata una delle principali occupazioni dei<br />
matematici, a cominciare dalla retta e dal cerchio, <strong>con</strong> i quali ebbe origine la geometria, per<br />
poi passare alle sezioni <strong>con</strong>iche, che sono state oggetto di studio per molti secoli.<br />
Una delle quattro sezioni <strong>con</strong>iche è l’ellisse.<br />
In campo fisico e tecnico, l’ellisse cost<strong>it</strong>uisce uno strumento espressivo di rappresentazione e<br />
di schematizzazione di notevole efficacia.<br />
A <strong>con</strong>ferma di ciò e a t<strong>it</strong>olo puramente illustrativo, osserveremo alcuni esempi<br />
particolarmente significativi.<br />
Nel presente modulo studieremo, poi, tale particolare curva chiusa da un punto di vista<br />
anal<strong>it</strong>ico.<br />
Considereremo una proprietà caratteristica che <strong>con</strong>sentirà di enunciare una nuova definizione<br />
di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione<br />
<strong>con</strong>ica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva<br />
notevole.<br />
Si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse <strong>con</strong> il software <strong>Cabri</strong> Géomètre,<br />
utilizzato anche nella comprensione di specifici <strong>con</strong>cetti.<br />
Si tratteranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse e si utilizzerà tale curva per costruire<br />
grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e<br />
disequazioni irrazionali. Infine, si presenterà un’eserc<strong>it</strong>azione guidata <strong>con</strong> il software Derive.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 8<br />
L’ellisse nella realtà<br />
Esempi pratici per ottenere un ellisse<br />
Se si accende una torcia elettrica, la luce della lampadina, uscendo dalla lente di forma<br />
circolare, formerà un <strong>con</strong>o di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come<br />
asse la retta che passa per quest’ultimo e per il centro della lente.<br />
Dirigendo il fascio luminoso verso una parete, la forma della parte<br />
illuminata varierà <strong>con</strong> l’inclinazione della torcia (ovvero <strong>con</strong><br />
l’inclinazione dell’asse del <strong>con</strong>o di luce).<br />
Se questa è perpendicolare alla parete, la parte illuminata è un cerchio,<br />
tanto più grande quanto maggiore è la distanza della torcia dalla parete.<br />
Si cominci ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e<br />
assume una forma allungata, come quella di uno stadio: la linea curva<br />
che delim<strong>it</strong>a tale figura è un'ellisse.<br />
Inoltre, si ottiene l’ellisse inclinando un po’, senza versarlo, un<br />
bicchiere cilindrico pieno di liquido.<br />
Si può disegnare un'ellisse servendosi del grande compasso<br />
tridimensionale, al quale i geometri arabi avevano dato il nome<br />
di compasso perfetto. L'asta inclinata che ruota attorno all'asse<br />
verticale descrive un <strong>con</strong>o, che viene tagliato dal piano del<br />
disegno. A se<strong>con</strong>da dell'inclinazione di quest'ultimo si ottiene<br />
una cir<strong>con</strong>ferenza (quando il piano è orizzontale) o un'ellisse,<br />
tanto più allungata quanto più si inclina il piano.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 9<br />
Esempi di forme ell<strong>it</strong>tiche reali<br />
In campo fisico e tecnico, l’ellisse cost<strong>it</strong>uisce uno strumento espressivo di rappresentazione e<br />
di schematizzazione di notevole efficacia.<br />
A <strong>con</strong>ferma di ciò e a t<strong>it</strong>olo puramente illustrativo, si riportano alcuni esempi particolarmente<br />
significativi.<br />
Orb<strong>it</strong>e astronomiche<br />
Nel 1609, Keplero dimostrò che le orb<strong>it</strong>e dei pianeti sono delle ellissi <strong>con</strong> il Sole in uno dei<br />
fuochi.<br />
Nel 1705 Halley mostrò che la cometa che ha poi preso il suo nome si muove su un'orb<strong>it</strong>a<br />
ell<strong>it</strong>tica attorno al sole.<br />
Anche le stelle , come i pianeti e tutti gli altri corpi celesti, sono soggette alla legge di<br />
grav<strong>it</strong>azione universale, e perciò due di esse (stelle doppie o binarie) possono attrarsi e<br />
muoversi se<strong>con</strong>do orb<strong>it</strong>e ell<strong>it</strong>tiche attorno ad un comune centro di massa.<br />
Orb<strong>it</strong>e dei satell<strong>it</strong>i artificiali intorno alla Terra<br />
Se si lancia un proiettile, maggiore è la veloc<strong>it</strong>à iniziale più il proiettile atterra lontano.<br />
Quando la veloc<strong>it</strong>à iniziale ha un valore sufficientemente elevato, il proiettile non riesce più<br />
ad atterrare: entra in orb<strong>it</strong>a intorno alla Terra e diventa così un satell<strong>it</strong>e. Se lanciamo il<br />
satell<strong>it</strong>e <strong>con</strong> una veloc<strong>it</strong>à appena superiore a quella che lo immette su una traiettoria circolare,<br />
l’orb<strong>it</strong>a si allunga e diventa ell<strong>it</strong>tica. Esistono infin<strong>it</strong>e orb<strong>it</strong>e ell<strong>it</strong>tiche che il satell<strong>it</strong>e può<br />
seguire, a se<strong>con</strong>da della veloc<strong>it</strong>à <strong>con</strong> cui viene lanciato (l’orb<strong>it</strong>a circolare è solo un caso<br />
particolare di esse). Se però la veloc<strong>it</strong>à di lancio è molto elevata, il satell<strong>it</strong>e può sfuggire per<br />
sempre dalla Terra seguendo traiettorie a forma di iperbole.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 10<br />
Modello atomico di Bohr – Sommerfeld<br />
Se<strong>con</strong>do l’ipotesi di Sommerfeld (1868-1951), ogni elettrone può ruotare intorno al proprio<br />
nucleo percorrendo non soltanto orb<strong>it</strong>e circolari, ma anche orb<strong>it</strong>e ell<strong>it</strong>tiche.<br />
Esempi di arch<strong>it</strong>ettura a pianta ell<strong>it</strong>tica<br />
La forma ell<strong>it</strong>tica è stata molto utilizzata da arch<strong>it</strong>etti e artisti nelle loro opere.<br />
Sono a pianta ell<strong>it</strong>tica edifici famosi quali il Colosseo (asse maggiore188m e asse minore<br />
156m), il colonnato di Piazza S. Pietro (figura seguente), la chiesa di S. Andrea al Quirinale<br />
del Bernini, come pure l’anf<strong>it</strong>eatro di Pompei.<br />
Indice
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 11<br />
LEZIONE 1<br />
DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE<br />
In questa lezione si <strong>con</strong>sidererà una proprietà caratteristica che <strong>con</strong>sentirà di enunciare una<br />
nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla<br />
relativa sezione <strong>con</strong>ica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di<br />
questa curva notevole. Si chiariranno alcuni <strong>con</strong>cetti <strong>con</strong> l’utilizzo del software <strong>Cabri</strong><br />
Géomètre.<br />
Definizione di ellisse<br />
L’ellisse è quella particolare curva chiusa che si ottiene intersecando una superficie <strong>con</strong>ica<br />
<strong>con</strong> un piano non passante per il vertice e non parallelo alla generatrice.<br />
Per studiare tale curva notevole da un punto di vista anal<strong>it</strong>ico si ricava una proprietà<br />
caratteristica (Approfondimento1) che può essere assunta come definizione di ellisse nel<br />
piano, senza fare riferimento alla relativa sezione <strong>con</strong>ica.<br />
La nuova definizione di ellisse, intesa come luogo geometrico dei punti del piano che godono<br />
della proprietà caratteristica in questione è la seguente:<br />
Definizione<br />
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle<br />
distanze da due punti fissi detti fuochi.<br />
Equazione canonica dell’ellisse<br />
Sfruttando la definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, ci si propone, ora, di<br />
determinare l’equazione cartesiana di questa curva notevole, nel caso particolare in cui i<br />
fuochi si trovino sull’asse x ed equidistanti dall’origine del sistema di riferimento.<br />
Fissato un sistema di riferimento cartesiano, <strong>con</strong> l’asse delle ascisse coincidente <strong>con</strong> la retta<br />
passante per i fuochi 1 F e F 2 e <strong>con</strong> l’asse delle ordinate perpendicolare nel punto medio del<br />
segmento 1 2 F F , siano ( ) 0 ; 1 c F ed ( ) 0 ; F 2 − c le coordinate dei fuochi e quindi 2 c ( c > 0 ) la<br />
relativa distanza focale.<br />
Indicando <strong>con</strong> k > 0 la somma costante delle distanze dei punti dell’ellisse dai fuochi, la<br />
<strong>con</strong>dizione necessaria e sufficiente affinché un generico punto P ( x;<br />
y)<br />
appartenga al luogo è<br />
che le sue coordinate soddisfino la relazione espressa dalla proprietà caratteristica
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 12<br />
PF PF = k .<br />
1 + 2<br />
Tale <strong>con</strong>dizione di appartenenza di P al luogo in esame, ricordando la formula della distanza<br />
tra due punti, diventa<br />
2 2<br />
2 2<br />
( x − c)<br />
+ y + ( x + c)<br />
+ y = k<br />
che è l’equazione dell’ellisse.<br />
La forma irrazionale in cui si presenta tale equazione è poco pratica.<br />
Mediante semplici operazioni di calcolo per la cui ulteriore semplificazione si pone k=2a ed<br />
2 2 2<br />
a − c = b risultando c < a (Approfondimento2), essa si trasforma nella seguente forma<br />
razionale<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b x + a y = a b .<br />
che rappresenta l’equazione dell’ellisse nel sistema di riferimento indicato.<br />
2 2<br />
Infine, dividendo tutti i termini per a b , si ottiene<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
b<br />
Tale forma particolarmente semplice (che dipende dalla particolare scelta del sistema<br />
cartesiano di riferimento) si chiama equazione canonica o equazione normale dell’ellisse.<br />
Tale equazione è la più semplice possibile ed è quella che meglio evidenzia le proprietà della<br />
curva.<br />
Quando, come nel nostro caso, i fuochi appartengono all’asse x , è necessariamente<br />
a > b ;<br />
viceversa, se è data un’equazione del tipo (2) <strong>con</strong> a > b , i fuochi dell’ellisse corrispondente<br />
appartengono all’asse x .<br />
Equazione dell’ellisse <strong>con</strong> i fuochi sull’asse y<br />
Se i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine risulta<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
(1)<br />
(2)
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 13<br />
1 ( 0 c)<br />
e F 2 ( 0;<br />
− c )<br />
F ;<br />
Detto P il generico punto dell’ellisse, allo scopo di ottenere, anche nel caso in cui i fuochi<br />
stiano sull’asse y , un’equazione formalmente uguale a quella precedentemente ottenuta, è<br />
<strong>con</strong>veniente porre<br />
PF + PF = 2b<br />
<strong>con</strong> b > 0 .<br />
L’equazione dell’ellisse sarà ancora del tipo<br />
ma <strong>con</strong> 0 < a < b e<br />
c b − a<br />
2 2 2<br />
= .<br />
1<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
b<br />
In pratica, per ri<strong>con</strong>oscere a quale tipo di ellisse corrisponde un’equazione del tipo<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
è sufficiente vedere quale dei due denominatori sia il maggiore:se è quello della variabile x ,<br />
allora l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse; se è quello della variabile y , allora i fuochi<br />
si trovano sull’asse delle ordinate.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 14
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 15<br />
LEZIONE 2<br />
METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE<br />
In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse <strong>con</strong> il software<br />
<strong>Cabri</strong> Géomètre.<br />
Metodo 1<br />
Costruzione del giardiniere<br />
Un semplice metodo per realizzare praticamente il tracciamento dell’ellisse in modo <strong>con</strong>tinuo<br />
è il seguente: segnati su un foglio due punti (corrispondenti ai fuochi 1 F e F 2 ), si collocano<br />
in essi due chiodini ai quali si fissano i capi di un filo flessibile e inestensibile di lunghezza<br />
maggiore della distanza tra i due punti segnati. Si faccia scorrere la punta di una mat<strong>it</strong>a in<br />
modo che durante il suo moto <strong>con</strong>tinuo essa si appoggi costantemente al filo e che questo<br />
rimanga sempre teso. In tal modo sul foglio si verrà a tracciare una curva i cui punti hanno,<br />
dai due punti segnati inizialmente, distanze la cui somma è uguale alla lunghezza del filo, cioè<br />
si viene a tracciare un’ellisse.<br />
Questa costruzione è detta “costruzione del giardiniere” perché è comunemente adoperata dai<br />
giardinieri per tracciare sul terreno aiuole a <strong>con</strong>torno ell<strong>it</strong>tico.<br />
Metodo 2<br />
Costruzione dell’ellisse per punti<br />
Alternativamente, disponendo di una riga e di un compasso, si può tracciare l’ellisse per<br />
punti: si fissano due punti 1 F e F 2 (corrispondenti ai fuochi) alla distanza desiderata; a parte<br />
si traccia un segmento MN di lunghezza costante k maggiore della distanza tra i due punti<br />
F e si sceglie un qualunque punto Q su di esso. Il segmento MN viene così<br />
fissati 1 F e 2<br />
ripart<strong>it</strong>o in due segmenti MQ e QN. Con centro in F 2 si traccia una cir<strong>con</strong>ferenza di raggio<br />
r 2 = MQ e <strong>con</strong> centro in 1 F si traccia una se<strong>con</strong>da cir<strong>con</strong>ferenza <strong>con</strong> raggio r1 = k − r2<br />
; i due<br />
punti d’intersezione delle cir<strong>con</strong>ferenze appartengono certamente all’ellisse che si vuole<br />
costruire poiché per ciascuno di essi è k la somma delle distanze dai due fuochi:<br />
r 2 + r1<br />
= r2<br />
+ ( k − r2<br />
) = k .<br />
Dunque, si comprende che al variare di Q, scelto sul segmento MN, si ottengono in tal modo<br />
tanti punti dell’ellisse quanti se ne desiderano.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 16<br />
Metodo 3<br />
Costruzione dell’ellisse noti i semiassi<br />
Ora che si <strong>con</strong>osce l’equazione canonica dell’ellisse si può illustrare un altro metodo<br />
geometrico per costruire l’ellisse per punti.<br />
Conoscendo soltanto i semiassi a e b (non occorre, quindi, utilizzare i fuochi) è possibile<br />
costruire l’ellisse di equazione<br />
2 2<br />
x y<br />
= 1<br />
a<br />
2<br />
+ b<br />
<strong>con</strong> riga e compasso servendosi di due cir<strong>con</strong>ferenze aventi come centro l’origine degli assi e<br />
raggi a e b.<br />
Condotta per O una semiretta arb<strong>it</strong>raria r siano :<br />
S x;<br />
y<br />
( ) ~ e ( x;<br />
y )<br />
2<br />
T ~
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 17<br />
le sue due intersezioni<strong>con</strong> le due cir<strong>con</strong>ferenze. Poiché S appartiene alla cir<strong>con</strong>ferenza di<br />
raggio b si ha:<br />
~ 2 2 2<br />
x + y = b . (5)<br />
Dalla simil<strong>it</strong>udine dei triangoli OSH e OTR segue:<br />
OH OS ~ x b<br />
= cioè =<br />
OR OT x a<br />
quindi:<br />
~ b<br />
x = x .<br />
a<br />
Sost<strong>it</strong>uendo il valore così ottenuto per x ~ nella (5) si ottiene:<br />
2<br />
b 2 2 2<br />
x + y = b<br />
2<br />
a<br />
ovvero<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
che è l’equazione dell’ellisse già trovata.<br />
Ciò significa che il punto P ( x;<br />
y)<br />
, ottenuto come intersezione della parallela all’asse x per S e<br />
della parallela all’asse y per T, avendo l’ascissa x uguale a quella di t e l’ordinata y uguale a<br />
quella di S, è un punto dell’ellisse; mutando la semiretta r si ottengono punti diversi<br />
dell’ellisse.<br />
Procedura di costruzione dell’ellisse <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong>:<br />
- Tracciare gli assi.<br />
- Disegnare due cir<strong>con</strong>ferenze C e C’ <strong>con</strong>centriche di raggi a e b <strong>con</strong> a>b.<br />
- Tracciare una semiretta uscente dall’origine e segnare i punti di intersezione S e T di questa<br />
rispettivamente<br />
<strong>con</strong> le due cir<strong>con</strong>ferenze C e C’.<br />
- Segnare l’intersezione P tra la retta per Se parallela all’asse x e della retta per T e parallela<br />
all’asse y.<br />
- Per tracciare l’ellisse: strumento Traccia; cliccare su P; muovere la semiretta oppure cliccare<br />
su Animazione.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 18<br />
LEZIONE 3<br />
PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE<br />
In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici,<br />
fuochi, lim<strong>it</strong>atezza, eccentric<strong>it</strong>à, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni <strong>con</strong>cetti <strong>con</strong><br />
l’utilizzo del software <strong>Cabri</strong> Géomètre.<br />
Simmetrie<br />
L’ellisse è una curva simmetrica rispetto all’asse y , all’asse x e all’origine.<br />
Infatti, se il punto P ( x;<br />
y)<br />
appartiene all’ellisse di equazione (2) è evidente che anche i punti<br />
P 1( − x;<br />
y)<br />
, ( ) y x P2 − ; − , P3 ( x;<br />
−y<br />
)<br />
appartengono alla curva, perché anche le loro coordinate soddisfano l’equazione (2) in quanto<br />
in essa compaiono solo termini di se<strong>con</strong>do grado nelle variabili x e y . Ma P 1 è il simmetrico<br />
di P rispetto all’asse y , 2 P è il simmetrico di P rispetto all’origine e P 3 è il simmetrico<br />
di P rispetto all’asse x .<br />
Gli assi coordinati sono, dunque, assi di simmetria della curva e l’origine O è il centro di<br />
simmetria dell’ellisse. Per questi motivi si dice che la (2) rappresenta un’ellisse rifer<strong>it</strong>a al<br />
proprio centro e ai propri assi di simmetria o anche, più semplicemente, un’ellisse rifer<strong>it</strong>a al<br />
centro e agli assi.<br />
Intersezione <strong>con</strong> gli assi coordinati<br />
I punti d’intersezione dell’ellisse <strong>con</strong> l’asse delle ascisse e <strong>con</strong> quello delle ordinate si<br />
ottengono risolvendo i sistemi:<br />
2 2<br />
2 2<br />
⎧ x y<br />
⎧ x y<br />
⎪ + = 1<br />
⎪ + = 1<br />
2 2<br />
⎨a<br />
b e<br />
2 2<br />
⎨a<br />
b<br />
⎪<br />
⎩y<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩x<br />
= 0<br />
cioè<br />
⎧x<br />
= ± a<br />
⎨<br />
⎩y<br />
= 0<br />
L’ellisse in<strong>con</strong>tra gli assi coordinati in quattro punti:<br />
e<br />
⎧x<br />
= ± a<br />
⎨<br />
⎩y<br />
= 0
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 19<br />
1( ; 0)<br />
a A ( ) 0 ; A2 − a B 1 ( 0;<br />
b)<br />
B2 ( 0;<br />
−b)<br />
.<br />
Tali punti si di<strong>con</strong>o vertici dell’ellisse.<br />
I segmenti 1 2 A A e 1 2 B B , di lunghezze rispettivamente 2 a e 2 b , si di<strong>con</strong>o assi dell’ellisse.<br />
Se a > b , il segmento 1 2 A A , è l’asse maggiore, mentre il segmento 1 2 B B è l’asse minore.<br />
I parametri a e b presenti nell’equazione (2) rappresentano quindi le misure dei semiassi.<br />
Si noti che la misura 2 a dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la<br />
somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.<br />
Se a < b , il segmento 1 2 A A , è l’asse minore, mentre il segmento 1 2 B B è l’asse maggiore.<br />
In tal caso la misura 2 b dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la<br />
somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 20<br />
Fuochi<br />
I fuochi 1 F e F 2 stanno sempre sull’asse maggiore, detto perciò asse focale.<br />
Se a > b i fuochi 1( ; 0)<br />
c F e ( ) 0 ; F 2 − c sono sull’asse x e c è la semidistanza focale.<br />
Note le misure dei semiassi, le coordinate dei fuochi si determinano dalla relazione<br />
ossia da<br />
da cui,avendo supposto c > 0 , si deduce<br />
e dunque<br />
2 2<br />
a − c =<br />
2 2<br />
c = a −<br />
2<br />
c = a −<br />
2 2<br />
2 2<br />
F1 ( a − b ; 0)<br />
e F 2 ( a − b ; 0 )<br />
b<br />
b<br />
b<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− .<br />
2 2 2<br />
La relazione a = b + c fornisce ulteriori informazioni sul significato geometrico dei<br />
semiassi e del segmento che rappresenta la semidistanza focale; infatti è possibile interpretare<br />
la costante a come la misura del segmento che ha per estremi un fuoco ed il vertice<br />
dell’ellisse che appartiene al semiasse minore (si applichi il teorema di P<strong>it</strong>agora al triangolo<br />
rettangolo di lati a , b , c ).<br />
Se a < b i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine<br />
1 ( 0 c)<br />
e F 2 ( 0;<br />
− c )<br />
F ;<br />
e l’asse maggiore, che misurerà 2 b , starà sull’asse y .<br />
I fuochi avranno coordinate<br />
2 2<br />
2 2<br />
F1 ( 0; b − a ) e F 2 ( 0; b − a )<br />
− .
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 21<br />
Una proprietà ottica dei fuochi<br />
Un raggio di luce che colpisca una superficie riflettente viene riflesso, ossia viene rimandato<br />
indietro, in una direzione che dipende dalla direzione di arrivo del raggio di luce e dalla forma<br />
della superficie che lo riflette.<br />
Se la superficie riflettente è uno specchio piano, il raggio si riflette su se stesso se incide<br />
perpendicolarmente alla superficie dello specchio mentre, se arriva obliquamente, viene<br />
riflesso in un’altra direzione anch’essa obliqua, in modo che il raggio incidente e il raggio<br />
riflesso formino <strong>con</strong> la perpendicolare allo specchio nel punto d’incidenza angoli uguali e<br />
complanari.<br />
La stessa legge vale anche nel caso che la superficie riflettente non sia piana ma curva.<br />
A questo propos<strong>it</strong>o l’ellisse possiede una importante proprietà ottica:pensata come un filo<br />
riflettente, l’ellisse è tale da riflettere ogni raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi in<br />
un raggio che passerà per l’altro fuoco ( Approfondimento3).
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 22<br />
Ovviamente il ruolo dei due fuochi è simmetrico: 1 F “vede” nello specchio 2 F ed 2<br />
nello specchio F 1.<br />
F “vede”<br />
Dunque, un raggio di luce che parte da un fuoco dopo essersi riflesso sull'ellisse andrà a<br />
colpire l'altro fuoco. Ciò vale naturalmente per qualsiasi tipo di raggi: luminosi, sonori,<br />
calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco, dopo una riflessione sull'ellisse<br />
vanno a <strong>con</strong>centrarsi nell'altro. Di qui la ragione del nome fuochi; se si mette una fonte di<br />
calore in uno dei fuochi, il calore si <strong>con</strong>centra nell'altro e può incendiare un pezzo di carta o<br />
un materiale infiammabile.<br />
Una semplice teglia (di forma approssimativamente ell<strong>it</strong>tica) <strong>con</strong> il fondo coperto d'acqua può<br />
servire per illustrare il fenomeno. Se si tocca l'acqua <strong>con</strong> un d<strong>it</strong>o in corrispondenza di uno dei<br />
fuochi, segnati <strong>con</strong> un pallino sul fondo, si formano delle onde <strong>con</strong>centriche che dopo essersi<br />
riflesse sulla parete della teglia vanno a <strong>con</strong>centrarsi sull'altro fuoco.<br />
Esiste anche un fenomeno acustico, che molti hanno avuto modo di sperimentare in antiche<br />
sale <strong>con</strong> il soff<strong>it</strong>to a forma ell<strong>it</strong>tica (ottenuto ruotando una mezza ellisse attorno all'asse<br />
maggiore) dove due interlocutori, posti in due punti particolari, possono discorrere<br />
chiaramente sebbene a voce bassissima mentre nulla del loro colloquio si sente negli altri<br />
punti della sala.<br />
Il fenomeno è evidentemente dovuto al fatto che la volta riflette tutti i suoni provenienti da un<br />
punto “speciale” in un altro punto “speciale”:tali punti sono i fuochi di una superficie <strong>con</strong><br />
proprietà del tipo di quella ottica dell’ellisse.<br />
Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali, ad esempio<br />
in quello di Schifanoia a Ferrara e in quello costru<strong>it</strong>o a Granada per CarloV.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 23<br />
Lim<strong>it</strong>atezza<br />
L’ellisse è una curva tutta <strong>con</strong>tenuta nel rettangolo individuato dalle parallele agli assi<br />
<strong>con</strong>dotte per i vertici.<br />
Infatti, dalla sua equazione canonica si deduce<br />
2<br />
2<br />
2 b 2 2<br />
2 b 2 2<br />
y = ( a − x ) e x = ( b − y ) .<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
Essendo i primi membri pos<strong>it</strong>ivi o nulli, dovranno esserlo anche i se<strong>con</strong>di membri, da cui<br />
2 2<br />
2 2<br />
a − x ≥ 0 e b − x ≥ 0<br />
e dunque<br />
− a ≤ x ≤ a e − b ≤ y ≤ b<br />
Nel caso a > b :
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 24<br />
Eccentric<strong>it</strong>à<br />
2 2<br />
Si <strong>con</strong>sideri l’ellisse di equazione + = 1<br />
9 4<br />
y x<br />
, i cui fuochi appartengono all’asse x ed in cui,<br />
essendo a=3 e b=2, il semiasse maggiore misura 3 e quello minore misura 2. Il valore del<br />
parametro c che determina le coordinate dei fuochi è c = 9 − 4 = 5 .<br />
2 2<br />
Si <strong>con</strong>sideri ora l’ellisse di equazione + = 1<br />
25 4<br />
y x<br />
. Anche in questo caso i fuochi<br />
appartengono all’asse x, l’asse minore misura ancora 2, ma l’asse maggiore misura 5, cioè è<br />
più lungo di quello della precedente ellisse; inoltre si ha che c = 21 .<br />
Si riportano i rispettivi grafici:
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 25<br />
Confrontando i due grafici,si nota sub<strong>it</strong>o che la se<strong>con</strong>da ellisse è più “schiacciata” della<br />
prima.<br />
Cerchiamo di capirne il motivo.<br />
Si osservino i triangoli rettangoli evidenziati in colore nella seguente figura:<br />
In essi, b e c rappresentano le misure dei due cateti (rispettivamente il semiasse minore e la<br />
2 2 2<br />
semidistanza focale), mentre, essendo b + c = a , a rappresenta la misura dell’ipotenusa<br />
(cioè il segmento BF è <strong>con</strong>gruente al semiasse maggiore). Si rifletta ora sul fatto che l’ellisse<br />
risulta tanto più schiacciata quanto più piccolo è l’angolo β individuato dai segmenti BF ed<br />
OF.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 26<br />
Una indicazione dell’ampiezza di β è data dal rapporto fra i lati che lo formano, cioè dal<br />
c<br />
rapporto fra il cateto e l’ipotenusa (se lo studente ha già studiato un po’ di trigonometria sa<br />
a<br />
c<br />
c 5 c 21<br />
che = cos β ); nei due esempi visti = ≅ 0.<br />
74 nel primo caso e = ≅ 0.<br />
92 nel<br />
a<br />
a 3<br />
a 5<br />
se<strong>con</strong>do.<br />
c<br />
In generale , quando diminuisce, l’ampiezza di β aumenta e l’ellisse appare meno<br />
a<br />
schiacciata.<br />
Il rapporto fra la semidistanza focale e l’asse maggiore di sol<strong>it</strong>o si indica <strong>con</strong> e e prende il<br />
nome di eccentric<strong>it</strong>à dell’ellisse.<br />
Nel caso dell’ellisse rifer<strong>it</strong>a al centro e agli assi e <strong>con</strong> i fuochi sull’asse x :<br />
c<br />
e = . (3)<br />
a<br />
Poiché la semidistanza focale è sempre minore del semiasse maggiore, è evidente che è<br />
sempre<br />
0 < e < 1.<br />
Nel caso lim<strong>it</strong>e e = 0 risulta, dalla (3), c = 0 , la semidistanza tra i fuochi è nulla ed essi<br />
2<br />
coincidono <strong>con</strong> il centro. In tal caso dalla relazione a<br />
2 2<br />
− c = b si deduce (essendo c = 0 )<br />
2<br />
che è a<br />
2<br />
= b e quindi l’equazione canonica di una tale ellisse diventa<br />
ossia<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
a<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
x =<br />
2 2 2<br />
+ y a .<br />
Quest’ultima è l’equazione di una cir<strong>con</strong>ferenza <strong>con</strong> centro nell’origine e raggio di misura a .<br />
La cir<strong>con</strong>ferenza può quindi essere pensata come una particolare ellisse <strong>con</strong> eccentric<strong>it</strong>à<br />
nulla,ossia <strong>con</strong> i fuochi coincidenti.<br />
Nel caso lim<strong>it</strong>e e = 1risulta,<br />
dalla (3), c = a , la semidistanza focale è uguale al semiasse<br />
maggiore (cioè i fuochi coincidono <strong>con</strong> i due vertici) e quindi, risultando nullo l’asse minore,<br />
l’ellisse si riduce all’asse maggiore (ellisse degenere).
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 27<br />
In sostanza, l’eccentric<strong>it</strong>à misura lo “schiacciamento” dell’ellisse sull’asse maggiore rispetto<br />
alla cir<strong>con</strong>ferenza che ha per diametro lo stesso asse maggiore: tanto più l’ellisse è eccentrica<br />
(“schiacciata”) e tanto più l’eccentric<strong>it</strong>à è vicina al valore 1; tanto meno l’ellisse è eccentrica e<br />
tanto più l’eccentric<strong>it</strong>à è vicina al valore 0.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 28<br />
Le stesse <strong>con</strong>siderazioni possono essere ripetute nel caso in cui l’ellisse ha i fuochi sull’asse<br />
delle ordinate.<br />
In tal caso l’eccentric<strong>it</strong>à sarà<br />
c<br />
e = .<br />
b<br />
Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse<br />
Quante informazioni indipendenti occorrono per poter scrivere l’equazione di un’ellisse?<br />
Poiché nell’equazione<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie due <strong>con</strong>dizioni indipendenti per<br />
determinare l’equazione di un’ellisse rifer<strong>it</strong>a ai suoi assi di simmetria.<br />
Alcuni dei casi che possono presentarsi sono:<br />
1. passaggio per l’ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto<br />
all’origine);<br />
2. <strong>con</strong>oscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice;<br />
3. <strong>con</strong>oscenza dell’eccentric<strong>it</strong>à e passaggio per un punto;<br />
4. <strong>con</strong>oscenza della misura di un semiasse e dell’eccentric<strong>it</strong>à.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 29<br />
Osservazioni<br />
2<br />
L’equazione canonica di un’ellisse dipende dalla determinazione di a e di<br />
2<br />
b ; sarà dunque sufficiente risolvere equazioni o sistemi fino ad arrivare a<br />
trovare tali valori;<br />
Quando si deve determinare l’equazione di un’ellisse e non è nota a priori la<br />
posizione dei due fuochi (se appartengono all’asse x o all’asse y), si <strong>con</strong>sidera<br />
l’equazione nella forma generale<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
p q<br />
2 2<br />
2 2<br />
in cui i valori dei parametri a e b sono stati sost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>i da p e q . Se, a<br />
2 2<br />
calcoli svolti, si verificherà che è p > q , allora l’ellisse avrà i fuochi<br />
sull’asse delle ascisse, altrimenti li avrà sull’asse delle ordinate.<br />
Se le informazioni riguardano il passaggio per due punti simmetrici, in realtà si<br />
ha una sola informazione valida che <strong>con</strong>sente di determinare il valore di un<br />
solo parametro. L’equazione dell’ellisse dipenderà, pertanto, da un parametro.<br />
Area della regione delim<strong>it</strong>ata dall’ellisse<br />
L’ellisse:<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
delim<strong>it</strong>a una regione fin<strong>it</strong>a D di piano rappresentata anal<strong>it</strong>icamente dalla disequazione:<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
b<br />
la cui area è data da:<br />
2<br />
2<br />
≤ 1<br />
Area D = πab<br />
essendo a e b i semiassi dell’ellisse.<br />
2<br />
π a del cerchio di<br />
Si osservi che tale formula <strong>con</strong>tiene come caso particolare, se a=b, l’area<br />
raggio a.<br />
Ne segue che la posizione reciproca di un punto P 0 ( x0;<br />
y0<br />
) e di un’ellisse di equazione<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1 è determinata dalle seguenti <strong>con</strong>dizioni:<br />
2 2<br />
a b<br />
2 2<br />
x0<br />
y0<br />
1) Se + = 1 il punto sta sull’ellisse;<br />
2 2<br />
a b<br />
2 2<br />
x0<br />
y0<br />
2) Se + > 1 il punto sta all’esterno dell’ellisse;<br />
2 2<br />
a b<br />
2 2<br />
x0<br />
y0<br />
3) Se + < 1<br />
2 2<br />
a b<br />
il punto sta all’interno dell’ellisse.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 30<br />
Retta - ellisse<br />
Per studiare le varie posizioni che può assumere una retta r, rispetto ad un’ellisse, basta<br />
risolvere il sistema di 2° grado formato dalle equazioni dell’ellisse e della retta:<br />
2 2 ⎧ x y<br />
⎪ + = 1<br />
2 2<br />
⎨a<br />
b<br />
⎪<br />
⎩y<br />
= mx + q<br />
Le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti d’intersezione tra l’ellisse e la retta.<br />
Applicando il metodo di sost<strong>it</strong>uzione, si ottiene l’equazione risolvente:<br />
2 2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
( b + a m ) x + 2a<br />
mqx + a ( q − b ) = 0<br />
2 2 2<br />
sempre di 2° grado, poiché b + a m ≠ 0 .<br />
Calcolato il discriminante di tale equazione:<br />
∆ 4 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
= a m q − a ( q − b )( b + a m )<br />
4<br />
a se<strong>con</strong>da che risulti:<br />
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0<br />
la retta r è rispettivamente:<br />
secante tangente esterna<br />
all’ellisse.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 31<br />
LEZIONE 4<br />
APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI<br />
La <strong>con</strong>oscenza dell’ellisse, in alcune s<strong>it</strong>uazioni, può facil<strong>it</strong>are lo svolgimento di un esercizio<br />
matematico. In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni<br />
e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si<br />
presenterà un’eserc<strong>it</strong>azione guidata <strong>con</strong> il software Derive.<br />
Esercizio 1<br />
Tracciare il grafico della funzione di equazione y =<br />
<strong>con</strong>dominio.<br />
2<br />
4 − 9x<br />
, determinandone dominio e<br />
2 2 2 ⎡ 2 2⎤<br />
La funzione esiste se 4 − 9x<br />
≥ 0 ⇒ − ≤ x ≤ ⇒ D = ⎢−<br />
;<br />
3 3 ⎣ 3 3⎥<br />
.<br />
⎦<br />
Si osservi che, ∀ x ∈ D , è y ≥ 0 .<br />
Elevando al quadrato, avremo che l’equazione data è equivalente a<br />
2 2 ⎧ x y<br />
2<br />
2<br />
⎪ + = 1<br />
⎧y<br />
= 4 − 9x<br />
4 4<br />
⎨<br />
⇒ ⎨<br />
⎩y<br />
≥ 0 ⎪ 9<br />
⎪⎩<br />
y ≥ 0<br />
2 2<br />
Poiché + = 1<br />
4 4<br />
9<br />
y x<br />
2<br />
è l’equazione di un’ellisse rifer<strong>it</strong>a al centro e agli assi <strong>con</strong> a = e b = 2 ,<br />
3<br />
tenendo <strong>con</strong>to della <strong>con</strong>dizione y ≥ 0 , si può <strong>con</strong>cludere che il grafico richiesto è quello<br />
illustrato nella figura seguente e rappresenta una semiellisse. Il <strong>con</strong>dominio della funzione è<br />
C = 0;<br />
2 .<br />
[ ]
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 32<br />
Esercizio 2<br />
2<br />
Risolvere la seguente equazione 3 + x + 3 − 3x<br />
= 0 .<br />
Si scriva l’equazione data nel seguente modo<br />
3 + x = −<br />
cioè<br />
2<br />
3 − 3x<br />
⎪⎧<br />
y = 3 + x<br />
⎨<br />
⎪⎩ y = − 3 − 3x<br />
⎪⎧<br />
y = x +<br />
⇒ ⎨ 2 2 ⎪⎩ 3x<br />
+ y<br />
3<br />
= 3 ∧<br />
2 y<br />
2<br />
2<br />
Si tratta di intersecare l’arco dell’ellisse di equazione + = 1<br />
3<br />
y<br />
x , s<strong>it</strong>uato nel semipiano delle<br />
y negative o nulle, <strong>con</strong> la retta di equazione y = x + 3 . Dall’esame della figura seguente si<br />
vede che l’equazione data non ha soluzioni.<br />
Esercizio 3<br />
2<br />
Risolvere graficamente la disequazione 2 x − 3x<br />
≥ x .<br />
≤ 0<br />
Si <strong>con</strong>sideri la curva e la retta di equazioni rispettivamente y<br />
Si osservi che<br />
−<br />
y<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
2 ⎧y<br />
= 2x<br />
− 3x<br />
⎧3x<br />
+ y − 2x<br />
= 0<br />
2x<br />
− 3x<br />
⇒ ⎨<br />
⇒ ⎨<br />
⎩y<br />
≥ 0 ⎩y<br />
≥ 0<br />
2<br />
= 2x 3x<br />
e x<br />
y = .
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 33<br />
2<br />
L’equazione 3x<br />
2<br />
+ y − 2x<br />
= 0 si può scrivere<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ x − ⎟ 2<br />
⎝ 3 ⎠ y<br />
+ = 1<br />
1 1<br />
9 3<br />
⎛ 1 ⎞<br />
1<br />
e pertanto rappresenta un’ellisse di centro ⎜ ; 0⎟<br />
e di semiassi a = e b =<br />
⎝ 3 ⎠<br />
3<br />
minore disposto sull’asse x, essendo a < b .<br />
1<br />
, <strong>con</strong> l’asse<br />
3<br />
A causa della <strong>con</strong>dizione y ≥ 0 , l’equazione y =<br />
2<br />
2x − 3x<br />
rappresenta quindi la semiellisse<br />
appartenente al semipiano delle ordinate pos<strong>it</strong>ive o nulle.<br />
Risolvere la disequazione data significa determinare le ascisse dei punti della semiellisse che<br />
hanno ordinata maggiore o uguale di quella dei corrispondenti punti della retta y = x .<br />
Dall’esame della figura si può vedere che la disequazione è verificata per A x x ≤ ≤ 0 essendo<br />
A il punto d’intersezione, distinto dall’origine, tra l’ellisse e la retta. Ponendo a sistema<br />
1<br />
l’equazione dell’ellisse <strong>con</strong> quella della retta, si trova x A = .<br />
2<br />
1<br />
Si <strong>con</strong>clude che la disequazione è soddisfatta per 0 ≤ x ≤ .<br />
2<br />
ESERCITAZIONE CON DERIVE<br />
1. Determinare le eventuali intersezioni delle seguenti rette di equazione:<br />
1. a)<br />
a) y = x + 2<br />
b) y = x + 5<br />
c) 2<br />
2 +<br />
x<br />
y =<br />
2<br />
x 2<br />
<strong>con</strong> l’ellisse di equazione: + y = 1.<br />
4
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 34<br />
b)
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 35<br />
c)<br />
2. Risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni:<br />
2<br />
2<br />
a) 2 − 3x<br />
+ x −1<br />
= 0 ; b) 1−<br />
4x<br />
> 1+<br />
3x<br />
;<br />
2<br />
c) 25 −16x ≤ 4x<br />
+ 5 ; d) 3 2 1 1<br />
2<br />
− x + x + < x + .
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 36<br />
2. a)<br />
b)
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 37<br />
c)<br />
d)
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 38
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 39<br />
TEST<br />
Scelta multipla (4 risposte, una sola corretta)<br />
Individua la risposta corretta tra quelle elencate<br />
2 2<br />
1 L’equazione canonica dell’ellisse 30x<br />
+ 10y<br />
= 30 è:<br />
a.<br />
2<br />
x 2<br />
+ y<br />
3<br />
= 1<br />
b.<br />
2<br />
2<br />
+ = 1<br />
3<br />
y<br />
x (V)<br />
2 2<br />
c. + = 1<br />
3 3<br />
y x<br />
d.<br />
2 2<br />
3x<br />
+ y = 3<br />
2 2<br />
2 L’ellisse di equazione + = 1<br />
5 8<br />
y x<br />
è simmetrica rispetto:<br />
a. all’origine<br />
b. all’asse x<br />
c. all’asse y<br />
d. agli assi cartesiani e all’origine (V)<br />
2 2<br />
3 L’ellisse di equazione + = 1<br />
3 2<br />
y x<br />
ha i fuochi:<br />
a. sull’asse x (V)<br />
b. sull’asse y<br />
c. nell’origine<br />
d. sia sull’asse x che sull’asse y<br />
2 2<br />
4 L’ellisse di equazione 4x<br />
+ 8y<br />
= 32 ha eccentric<strong>it</strong>à uguale a :<br />
a. 2<br />
6<br />
b.<br />
2<br />
2<br />
c. (V)<br />
2<br />
d. 1<br />
5 L’ellisse che ha fuochi in ( , 1)<br />
2 2<br />
a. 3x<br />
+ 4y<br />
= 12<br />
2 2<br />
b. 4x<br />
+ 3y<br />
= 12 (V)<br />
2<br />
x 2 2<br />
c. + y = 1<br />
4 9<br />
2 2<br />
d. + = 1<br />
4 9<br />
y x<br />
0 ± e passa per<br />
⎛ 2 6 ⎞<br />
P ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
1,<br />
⎟<br />
ha equazione:<br />
⎝ 3 ⎠
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 40<br />
APPENDICE<br />
Approfondimento 1<br />
Per ricavare la proprietà caratteristica che può essere assunta come definizione di ellisse nel<br />
piano si procede nel seguente modo.<br />
Si esamini la seguente figura, dove il piano del disegno passa per l’asse a della superficie<br />
<strong>con</strong>ica ed è perpendicolare al piano secante α .<br />
Fig. 1<br />
Siano r ed s le generatrici appartenenti al piano del disegno, M il punto d’intersezione tra α<br />
ed r, N quello tra α ed s. Si <strong>con</strong>siderino la cir<strong>con</strong>ferenza γ 1 inscr<strong>it</strong>ta nel triangolo VMN e la<br />
cir<strong>con</strong>ferenza γ 2 tangente a MN e ai prolungamenti dei lati VM e VN, come indicato in<br />
figura precedente (si dice che γ 2 è la cir<strong>con</strong>ferenza ex-inscr<strong>it</strong>ta al triangolo VMN relativa al<br />
lato MN). Siano 1 F e 2 F i punti di <strong>con</strong>tatto di γ 1 e γ 2 <strong>con</strong> il lato MN. Ruotando le rette r ed s<br />
e le due cir<strong>con</strong>ferenze di un angolo piatto attorno all’asse a, le cir<strong>con</strong>ferenze γ 1 e γ 2<br />
generano le superfici sferiche di due sfere β 1 e β 2 inscr<strong>it</strong>te nella stessa falda e tangenti in 1 F<br />
e 2 F al piano α : i punti 1 F e 2<br />
F sono detti fuochi dell’ellisse.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 41<br />
Si <strong>con</strong>sideri ancora la figura precedente; ricordando che i segmenti di tangente <strong>con</strong>dotti da un<br />
punto esterno ad una cir<strong>con</strong>ferenza sono <strong>con</strong>gruenti si ha<br />
NF1 ≅ NS e NF2 ≅ NT .<br />
Sommando membro a membro queste due relazioni si ha<br />
NF1 + NF2<br />
≅ ST<br />
dove N è un punto dell’ellisse (quello sulla generatrice s) e ST è la distanza, su una<br />
generatrice, tra i punti di <strong>con</strong>tatto delle sfere β 1 e β 2 <strong>con</strong> la falda (nella figura seguente si<br />
avrà ovviamente ST ≅ S'T<br />
'≅<br />
S''T<br />
''<br />
). Si può ora vedere che la proprietà di cui gode il punto<br />
N è goduta anche da ogni altro punto P dell’ellisse<br />
PF1 + PF2<br />
≅ ST .<br />
Per verificarlo si <strong>con</strong>sideri la seguente figura:<br />
P è un generico punto dell’ellisse e la generatrice VP tange la sfera β 1 in S ' e la sfera β 2 in<br />
T '.<br />
Anche se per ora lo studente forse non ha <strong>con</strong>oscenze di geometria razionale nello spazio,<br />
non è però difficile intuire che i segmenti di tangente <strong>con</strong>dotti da un punto esterno P a una
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 42<br />
sfera sono <strong>con</strong>gruenti e che quindi, sempre osservando la figura precedente dove PF 1 è<br />
tangente a β 1 e PF 2 è tangente a β 2 , si ha<br />
1 ' PS PF ≅ e PF2 ≅ PT'<br />
.<br />
Sommando membro a membro queste due relazioni si ha<br />
PF1 + PF2<br />
≅ S'T<br />
'<br />
e dunque<br />
PF1 + PF2<br />
≅ ST<br />
come si voleva verificare.<br />
Si può quindi affermare che<br />
l’ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle loro distanze da<br />
due punti detti fuochi.<br />
Considerando ancora la Fig. 1 si verifica che è 2 1 NF MF ≅ e che è MN ≅ ST .<br />
Infatti, dalla relazione precedentemente ricavata<br />
NF1 + NF2<br />
≅ ST<br />
risulta<br />
NF NF + F F ≅ ST<br />
1 + 1 1 2<br />
2NF 1 + F1F<br />
2 ≅ ST ≅ S''T<br />
''<br />
≅ S''<br />
M + MT'<br />
'≅<br />
MF2<br />
+ F1F<br />
2 + MF2<br />
≅ 2MF2<br />
+ F1F<br />
2<br />
da cui<br />
1 2 MF NF ≅ .<br />
Inoltre si ha<br />
MN ≅ MF2<br />
+ F2<br />
N ≅ NF1<br />
+ NT ≅ SN + NT ≅ ST .<br />
Pertanto, la relazione<br />
PF1 + PF2<br />
≅ ST<br />
che caratterizza dal punto di vista geometrico l’ellisse si può scrivere<br />
PF1 + PF2<br />
≅ MN<br />
dove il segmento MN è l’asse maggiore dell’ellisse, come si vedrà nel segu<strong>it</strong>o.
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 43<br />
Approfondimento 2<br />
La forma irrazionale in cui si presenta l’equazione è poco pratica e trasforma in forma<br />
razionale isolando un radicale, elevando al quadrato entrambi i membri, semplificando e<br />
sviluppando i calcoli come di segu<strong>it</strong>o indicato:<br />
2 2<br />
2 2<br />
( x − c)<br />
+ y = k − ( x + c)<br />
+ y<br />
2<br />
2 2 ( x c)<br />
y ⎟⎞<br />
= ⎜k<br />
− ( x + c)<br />
2<br />
⎜⎛<br />
− + ⎛ + y<br />
⎝<br />
⎠ ⎝<br />
2 2 2<br />
( − c)<br />
+ y = k + ( x + c)<br />
2<br />
2<br />
⎟⎞<br />
⎠<br />
2 2<br />
2 2<br />
( + y ) − 2k ( x + c)<br />
y<br />
x +<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
x − 2cx + c + y = k + x + 2cx<br />
+ c + y − 2k<br />
x + 2cx<br />
+ c + y<br />
2<br />
2 2 2<br />
2k<br />
x + 2cx<br />
+ c + y = k + 4cx<br />
.<br />
Per semplificare ulteriormente i calcoli si può porre k=2a :<br />
a<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2 ( a cx)<br />
2<br />
2 2<br />
4 a x + 2cx<br />
+ c + y = 4 +<br />
( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
a x + 2cx + c + y = a + cx<br />
2 2 2 2 2 4 2 2<br />
+ 2 a cx + a c + a y = a + c x + 2a<br />
2 2 2 2 2 2 4<br />
a x − c x + a y = a −<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( a c ) x + a y = a ( a − c )<br />
− .<br />
Osservazione<br />
E’ importante osservare che i due successivi elevamenti al quadrato non hanno introdotto<br />
soluzioni estranee 1 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente alla (1) inizialmente<br />
<strong>con</strong>siderata.<br />
Ora, poiché in un qualsiasi triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due, per il<br />
PF risulta<br />
triangolo 1 2 F<br />
cioè<br />
F F < PF + PF<br />
1<br />
2<br />
2 c < 2a<br />
ossia c < a .<br />
2 2<br />
Allora la differenza a − c è sicuramente pos<strong>it</strong>iva; si può pensare a questa differenza come<br />
al quadrato di un numero reale e porre quindi<br />
x ,che ha soltanto la soluzione 3 ,si passa,elevando ambo i membri al quadrato,<br />
x ,che ha le soluzioni +3 e –3.<br />
1<br />
Per esempio,dall’equazione = 3<br />
all’equazione<br />
2<br />
= 9<br />
1<br />
2<br />
a<br />
2<br />
c<br />
2<br />
2<br />
cx
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 44<br />
Pertanto l’equazione precedente diventa<br />
2 2 2<br />
− c b .<br />
a =<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b x + a y = a b .
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 45<br />
Approfondimento 3<br />
Per verificare anal<strong>it</strong>icamente la proprietà ottica occorre, scelto un qualunque punto P 0<br />
dell’ellisse:<br />
a. determinare l’equazione della retta n “perpendicolare all’ellisse” in quel punto;<br />
b. determinare le equazioni delle rette P 0F1<br />
e P 0F2<br />
;<br />
c. verificare che una delle bisettrici degli angoli formati dalle rette P 0F1<br />
e P 0F2<br />
è la normale<br />
n.<br />
Si procede ora alla verifica.<br />
a. La retta n è la retta per P 0 perpendicolare alla tangente all’ellisse nel punto P 0 .<br />
Considerato che la tangente ha equazione:<br />
x0<br />
x y0<br />
y<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
la perpendicolare avrà equazione:<br />
y0<br />
x0<br />
( x − x0<br />
) − ( y − y0<br />
) = 0<br />
2<br />
2<br />
b b<br />
cioè<br />
y0<br />
x x0<br />
y x0<br />
y0<br />
x0<br />
y0<br />
− − + = 0<br />
2 2 2 2<br />
b a b a<br />
ovvero<br />
2<br />
2<br />
2<br />
n : a y0<br />
x − b x0<br />
y = c x0<br />
y0<br />
b. Sia y − y0<br />
= m(<br />
x − x0<br />
) l’equazione del fascio di rette per P 0 . La retta P 0F1<br />
ha coefficiente<br />
y0<br />
angolare m = e quindi equazione:<br />
x0<br />
− c<br />
y 0 x − ( x0<br />
− c)<br />
y − y0c<br />
= 0<br />
y0<br />
mentre la retta P 0F2<br />
ha coefficiente angolare m = e quindi equazione:<br />
x0<br />
+ c<br />
y x − x + c)<br />
y + y c = 0<br />
0<br />
( 0<br />
0<br />
c. Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette 1<br />
Posto:<br />
essere:<br />
y0<br />
x − ( x0<br />
+ c)<br />
+ y0c<br />
y0<br />
x − ( x0<br />
− c)<br />
y − y0c<br />
= ±<br />
2<br />
2<br />
y + ( x + c)<br />
y + ( x − c)<br />
2<br />
0<br />
d =<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 = y0<br />
+ ( x0<br />
+ c)<br />
P0<br />
F2<br />
e d 1 = y0<br />
+ ( x0<br />
− c)<br />
= P0<br />
F1<br />
le due bisettrici hanno equazione:<br />
2<br />
0<br />
[ x ( d − d ) + c(<br />
d + d ) ] y + y c(<br />
d + ) = 0<br />
y 0 ( d1<br />
− d 2 ) x − 0 1 2 1 2 0 1 d 2<br />
[ x ( d + d ) + c(<br />
d − d ) ] y + y c(<br />
d − ) = 0<br />
y 0 ( d1<br />
+ d 2 ) x − 0 1 2 1 2 0 1 d 2<br />
Moltiplicando entrambe le equazioni per d 1 + d 2 e tenuto <strong>con</strong>to che:<br />
d1 + d 2<br />
si ottengono le equazioni:<br />
= P0<br />
F1<br />
+ P0<br />
F2<br />
2 2<br />
= 2a<br />
d1 − d 2 = −4x0c<br />
0<br />
P 0F e P 0F2<br />
risultano
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 46<br />
ossia:<br />
2 2<br />
2<br />
[ − 4x<br />
c + 4a<br />
c]<br />
y + 4a<br />
y = 0<br />
− c<br />
4x 0 cy0<br />
x − 0<br />
0<br />
4a<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[ 4a<br />
x − 4x<br />
c ] y − 4x<br />
y = 0<br />
y x − c<br />
0<br />
2 2 2<br />
⎪⎧<br />
− x0<br />
y0<br />
x + x0<br />
y − a y + a y0<br />
= 0<br />
⎨ 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎪⎩ a y0<br />
x − a x0<br />
y + x0c<br />
y − x0<br />
y0c<br />
= 0<br />
2 2 2<br />
Dividendo poi per − a y0<br />
la prima e ricordando che a − c<br />
2<br />
= b , le equazioni divengono:<br />
xx0<br />
+ 2<br />
a<br />
2<br />
y ⎛ x ⎞ 0 ⎜1<br />
⎟<br />
⎜<br />
− = 1 2<br />
y ⎟<br />
0 ⎝ a ⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a y0<br />
x − b x0<br />
y = x0<br />
y0c<br />
2 2<br />
x 0 y0<br />
Ora nella prima equazione, tenuto <strong>con</strong>to che 1−<br />
= , si ri<strong>con</strong>osce la tangente e nella<br />
2 2<br />
a b<br />
se<strong>con</strong>da la normale.<br />
Pertanto un raggio luminoso i proveniente dal fuoco F 1 viene riflesso in un raggio r in modo<br />
che:<br />
quindi il raggio r passa per il fuoco F 2 .<br />
∧<br />
0<br />
∧<br />
in = rn<br />
0<br />
0
Concetta Guido <strong>L'ellisse</strong> <strong>con</strong> <strong>Cabri</strong> 47<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
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“Costruzioni in <strong>Cabri</strong>”