Corso di Fisica 3 ONDE E ELETTROMAGNETISMO - Matematica e ...

Corso di Fisica 3 

ONDE E 

ELETTROMAGNETISMO 

Prof. Andrea Danani 

Istituto CIM della Svizzera Italiana 

Galleria 2 

6928 Manno 

Anno accademico 2009-2010

markright 2 

SUPSI-DTI Corso di Fisica e Modellistica Prof. Andrea Danani

Indice 

Indice 3 

1 Ottica geometrica 7 

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2 Legge della riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3 Specchi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3.1 Applicazioni di specchi piani: sistemi di specchi piani multipli . 10 

1.4 Specchi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.4.1 Riflessione su superficie sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.4.2 Specchi concavi e convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.4.3 Nomenclatura e convenzione dei segni . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.5 Aberrazione e ottica di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.6 Formula dei punti coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.7 Costruzione grafica di un immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.8 Ingrandimento e potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.9 Specchi concavi: formazione dell’immagine . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.9.1 Specchi concavi: modalità convergente . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.9.2 Specchi concavi: modalità divergente . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.10 Specchi convessi: formazione dell’immagine . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.11 Caso speciale: specchi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.12 Rifrazione: legge di Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.12.1 Illusioni ottiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.12.2 Riflessione totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.12.3 Riflessione totale: applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.12.4 Riflessione totale: effetto fish-eye . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2 Le lenti 25 

2.1 Immagini per rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.2 Lenti sferiche: doppio diottro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.3 Lenti sottili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.4 Lenti sottili convergenti: formazione dell’immagine . . . . . . . . . . . 29 

2.5 Lenti sottili divergenti: formazione dell’immagine . . . . . . . . . . . . 31 

2.6 Strumenti ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3

INDICE 4 

2.6.1 La macchina fotografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.6.2 L’occhio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.6.3 Il microscopio composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3 Onde 35 

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.2 Il moto ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2.1 Descrizione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2.2 Equazione differenziale del moto ondulatorio . . . . . . . . . . . 39 

3.3 Esempi di onde meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

3.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

3.3.2 Onde trasversali in una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

3.3.3 Onde elastiche in una sbarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.3.4 Altri esempi di onde meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3.4 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.4.1 Sorgente in moto rispetto all’osservatore . . . . . . . . . . . . . 47 

3.4.2 Osservatore in moto rispetto alla sorgente . . . . . . . . . . . . 47 

3.5 Il principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

3.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

3.5.2 Interferenza di onde prodotte da due sorgenti in fase . . . . . . 48 

3.5.3 Le onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

3.6 Analisi e sintesi armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

3.6.1 Il principio di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

3.6.2 Il timbro degli strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

3.7 Qualche nozione di musicologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

3.7.1 Assonanza e dissonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

3.7.2 La scala diatonica o naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

3.7.3 I modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

3.7.4 La scala temperata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

3.7.5 Caratteristiche degli intervalli musicali . . . . . . . . . . . . . . 62 

4 Fenomeni elettrici 65 

4.1 Carica elettrica e legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.1.1 Proprietà delle cariche elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.1.2 Isolanti e conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

4.1.3 La legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

4.2 Campo e potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

4.2.1 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

4.2.2 Linee di forza del campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

4.2.3 Il dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

4.2.4 Distribuzioni continue di cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

4.3 La legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 


INDICE 5 

4.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

4.3.2 Flusso di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

4.3.3 La legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

4.4 Conduttori in equilibrio elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

4.5 Il potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

4.5.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

4.5.2 Cariche puntiformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

4.5.3 Potenziale dovuto a una distribuzione continua di carica . . . . 80 

4.5.4 Relazione tra campo elettrico e potenziale . . . . . . . . . . . . 80 

4.5.5 Potenziale in un conduttore carico isolato . . . . . . . . . . . . . 81 

4.6 Capacità elettrica e dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.6.1 Capacità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.6.2 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.6.3 Energia immagazzinata in un campo elettrico . . . . . . . . . . 84 

4.6.4 Polarizzazione della materia: dielettrici . . . . . . . . . . . . . . 85 

5 Campi magnetici 89 

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

5.2 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

5.3 Moto di una carica in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

5.4 L’effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

5.5 Forza magnetica su una corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

5.6 Coppia magnetica su una corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

5.7 La legge di Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

5.8 Applicazioni della legge di Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

5.8.1 Campo magnetico di una corrente rettilinea . . . . . . . . . . . 97 

5.8.2 Forze tra correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

5.8.3 Campo magnetico di una corrente circolare . . . . . . . . . . . . 99 

6 Induzione elettromagnetica 101 

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

6.2 La legge di Faraday-Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

6.3 La legge di Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

6.4 Induzione di movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

6.5 L’autoinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

6.6 Circuiti RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

6.7 Energia immagazzinata in una bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

6.8 Oscillazioni elettriche: circuiti RCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

6.9 Circuiti accoppiati: mutua induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 


INDICE 6 


Capitolo 1 

Ottica geometrica 

1.1 Introduzione 

Che cosa è la luce? In momenti diversi della storia si è pensato che la luce fosse un 

insieme di particelle, in altri che fosse un’onda. Oggi, grazie alla fisica quantistica, si 

risponde a questa domanda dicendo che la luce è entrambe le cose: onda e particella. 

In questo capitolo, vengono esaminate alcune proprietà della luce quando la sua 

lunghezza d’onda è molto piccola rispetto alla maggior parte degli ostacoli e delle aperture 

che essa incontra. In questa approssimazione, detta ottica geometrica, si ignora il 

carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea 

retta. Gli unici fenomeni rilevanti sono la rifrazione e la riflessione. Con l’ottica geometrica, 

è possibile dare una spiegazione approssimata ma sufficiente in molti casi, del 

funzionamento di specchi, prismi, lenti e dei sistemi ottici costruiti con essi. 

In generale, nell’attraversamento di una superficie di separazione tra due mezzi, 

l’onda luminosa viene in parte riflessa ed in parte rifratta. 

7

1.1. INTRODUZIONE 8 

Questo fatto permette di distinguere due tipi di superfici. 

Superfici catottriche o specchi, sulle quali si verifica esclusivamente la riflessione 

(speculare) senza che la luce sia trasmessa ad un secondo mezzo. 

Superfici diottriche o diottri, sulle quali si verifica la trasmissione della luce 

da un mezzo all’altro. 

Si possono anche distinguere due tipi distinti di riflessione: 

Riflessione diffusiva: su una superficie scabra la normale cambia punto a punto 

e i raggi vengono riflessi in ogni direzione; l’oggetto è quindi visibile in ogni 

direzione. 

Riflessione speculare: tutti i raggi vengono riflessi con riferimento alla stessa 

normale, e i raggi di luce sono quindi visibili solo in una determinata posizione. 

Galileo con questo ragionamento dimostrò che la superficie della Luna non poteva 

essere levigata. 

Riflessione diffusiva Riflessione speculare 


1.2. LEGGE DELLA RIFLESSIONE 9 

1.2 Legge della riflessione 

Quando la luce incontra una superficie riflettente, cambia direzione. Il fenomeno della 

riflessione è descritto dalle seguenti due leggi: 

1a legge: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie riflettente 

giacciono sullo stesso piano 

2a legge: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione: θi = θr 

1.3 Specchi piani 

Un raggio luminoso inviato su uno specchio disposto perpendicolarmente al piano di 

appoggio segue la legge della riflessione. Dato che il cervello ritiene che ogni raggio 

luminoso debba necessariamente percorrere una retta, l’immagine di un oggetto posto 

davanti a uno specchio si produce come se un oggetto simile fosse dietro allo specchio in 

posizione simmetrica rispetto ad esso. Trovandosi sul prolungamento dei raggi riflessi, 

si parla di immagine virtuale. A causa della riflessione l’immagine viene simmetrizzata, 

invertendo la destra con la sinistra. 

Tutti i raggi provenienti dall’oggetto (diffusi da una sorgente luminosa) si riflettono 

sullo specchio e quindi vanno in ogni direzione, ma quelli utili per osservare l’immagine 

sono solo quelli che raggiungono l’occhio. 

Indicando la distanza dell’oggetto con p la distanza dell’immagine con q, dato che i 

due triangoli PQR e P’QR sono congruenti, le due distanze sono uguali: p = q. Quindi 

gli specchi piani non forniscono ingrandimento: h = h ′ 


1.3. SPECCHI PIANI 10 

1.3.1 Applicazioni di specchi piani: sistemi di specchi piani 

multipli 

A causa delle successive riflessioni, due specchi piani formanti tra di loro un angolo α 

originano un numero di immagini dato dalla formula: 

N = 360o 

− 1 (1.1) 

αo Nella figura sotto, vediamo il caso α = 90o , N = 3. 

Il retroriflettore o catarifrangente è formato da tre specchi piani ortogonali posti 

sul vertice di un cubo e con apertura triangolare (vedi figura sopra). Questo sistema 

permette di riflettere indietro un fascio di luce nella stessa direzione del raggio incidente, 

qualunque sia l’angolo di incidenza. 


1.4. SPECCHI SFERICI 11 

1.4 Specchi sferici 

1.4.1 Riflessione su superficie sferica 

Per la legge della riflessione, P HO = OHQ = θi e quindi P HQ = θi. Detto θ l’angolo 

di apertura del raggio emergente dal punto oggetto P e θ ′ l’angolo di apertura del punto 

immagine Q si ottiene la relazione θ ′ = θ + θi. Nel triangolo P QH, rispettivamente 

per il teorema della bisettrice e per il teorema dei seni si ottiene che: 

P H 

HQ 

= P O 

OQ 

= p − r 

r − q 

Uguagliando i due termini si ottiene: 

; P H 

HQ = 

sin θ ′ 

sin(θ ′ − 2θ) 

(1.2) 

p = (r − q) sin(θ′ ) 

sin(θ ′ − 2θi) + r ; q = (r − p) sin(θ′ − 2θi) 

sin(θ ′ + r (1.3) 

) 

Come si vede in (1.3), l’espressione per q non dipende solo dalla posizione del punto P 

ma anche dall’angolo θ del raggio. Applicando il teorema del seno al triangolo P OH 

si ottiene: 

sin(θi) = 

1.4.2 Specchi concavi e convessi 

(p − r) sin(θ) 

r 

(1.4) 

Per ogni raggio incidente sullo specchio vale la legge della riflessione rispetto alla normale 

alla superficie nel punto di incidenza. Possiamo avere due tipi di curvatura: 

convessa o concava. 

Specchio concavo: la riflessione avviene sulla superficie interna della sfera, e 

il centro di curvatura è dalla stessa parte rispetto all’osservatore. Offrono varie 

modalità di utilizzo, ma in genere la principale è quella in cui offrono immagini 


1.4. SPECCHI SFERICI 12 

ingranditi a campo visivo ridotto (esempio: specchio da trucco). Possono lavorare 

in modalità convergente o divergente, a seconda della posizione dell’oggetto, 

formano quindi immagini sia reali sia virtuali. 

Specchio convesso: la riflessione avviene sulla superficie esterna della sfera, e il 

centro di curvatura è dalla parte opposta rispetto all’osservatore. I principali utilizzi 

sfruttano il fatto che offrono immagini rimpicciolite a campo visivo allargata 

(esempi: specchietti retrovisori, specchi stradali agli incroci). Possono lavorare 

soltanto in modalità divergente, e quindi formano immagini solo virtuali. 

Specchio concavo Specchio convesso 

1.4.3 Nomenclatura e convenzione dei segni 

Il punto di riferimento è sempre la direzione da cui provengono i raggi incidenti; per 

convenzione si rappresentano sempre come provenienti da sinistra. 

distanza oggetto p e distanza immagine q: distanze dal centro dello specchio V . Se 

l’oggetto o l’immagine si trovano dal lato riflettente (a sinistra) le corrispondenti 

distanze p e q sono positive; se si trovano dal lato opposto a quello dei raggi 

incidenti (a destra) sono negative. La definizione è la stessa sia per gli specchi 

concavi sia per quelli convessi. 

raggio e centro di curvatura: R è il raggio della superficie sferica, C il suo centro. 

Se C si trova dal lato riflettente (a sinistra) abbiamo R > 0; se C si trova a destra 

all’interno dello specchio si ha che R < 0. Quindi se ha che R < 0 per gli specchi 

convessi, R > 0 per gli specchi concavi. 

immagine reale e virtuale: per la convenzione sui segni di q si ha q > 0 per 

un’immagine reale e q < 0 per un’immagine virtuale. 

altezza oggetto h e altezza immagine h ′ : il riferimento è l’oggetto, quindi si pone 

a priori h > 0 qualunque sia l’orientamento dell’oggetto; si ha poi h ′ < 0 per 

un’immagine capovolta, h ′ > 0 per un’immagine diretta come l’oggetto. 


1.5. ABERRAZIONE E OTTICA DI GAUSS 13 

Uno specchio sferico è inoltre caratterizzato dai seguenti elementi: 

l’asse ottico, che corrisponde alla retta che congiunge il centro con il vertice A; 

il fuoco F , il punto dove convergono tutti i raggi paralleli all’asse ottico dopo la 

riflessione; 

la distanza focale f, vale a dire la distanza fra il fuoco e il vertice. Per gli specchi 

sferici, vedremo che f = R/2. 

1.5 Aberrazione e ottica di Gauss 

In generale, negli specchi sferici, i raggi che giungono paralleli all’asse principale non 

convergono in un unico punto e si parla di aberrazione. Nel caso in cui l’angolo di 

apertura dello specchio è piccolo, vale a dire che sin θ ≈ tan θ ≈ θ, questo non si 

verifica ed è possibile definire il fuoco. Questa approssimazione viene definita ottica 

di Gauss. 

La lunghezza focale di uno specchio concavo si può ricavare in approssimazione 

di Gauss con poche semplici considerazioni geometriche. Un raggio parallelo all’asse 

colpisce in B lo specchio; la normale alla superficie è BC = r. La riflessione avviene 

con angolo θ rispetto alla normale, che è uguale all’angolo BCA quindi il triangolo 

CBF è isoscele, e CF = BF . In approssimazione di ottica di Gauss si ha AF ≈ BF 

e quindi è AF = CF ; si ottiene quindi la relazione AC = r = 2AF = 2f. La distanza 

focale in uno specchio concavo è quindi: 

f = r 

2 

(1.5) 

Notare che vale sempre | f | < | r |. Il fuoco è sempre tra il centro fisico dello 

specchio e il suo centro di curvatura. 


1.6. FORMULA DEI PUNTI CONIUGATI 14 

1.6 Formula dei punti coniugati 

La posizione dell’immagine può essere determinata per via algebrica. Usando le equazioni 

(1.3) nell’approssimazione di Gauss, si ottiene: 

p = 

(r − q)θ′ 

θ ′ − 2θi 

+ r e θ ′ = rθi 

r − q 

(1.6) 

Sostituendo la seconda equazione nella prima, scompaiono le dipendenze angolari e 

si ottiene: 

Quindi, dividendo la (1.7) per pqr, si ottiene l’equazione: 

2pq = qr + pr (1.7) 

2 

r 

1 1 

= + 

p q 

. (1.8) 

Nel paragrafo precedente abbiamo dimostrato come in ottica di Gauss si abbia 

f = r/2; questo si può però anche ricavare in modo analitico dalla formula sopra 

osservando il punto immagine di un punto oggetto ad infinito: per p → ∞ si ha 

q = r/2, quindi il fuoco è effettivamente il punto immagine dell’infinito. Detta f la 

distanza focale, si ha quindi la formula dei punti coniugati: 

1 

f 

1 1 

= + 

p q 

. (1.9) 

La legge dei punti coniugati (1.9) vale per tutti i casi possibili, purché si attribuiscano 

i segni opportuni alle distanze p, q e f. La tabella seguente elenca le convenzioni 

sui segni per una superficie rifrangente sferica: 

+ – 

Raggio R Concava Convessa 

Distanza focale f Convergente Divergente 

Oggetto p Reale Virtuale 

Immagine q Reale Virtuale 

Tabella 1.1: Convenzione sui segni per uno specchio sferico 


1.7. COSTRUZIONE GRAFICA DI UN IMMAGINE 15 

1.7 Costruzione grafica di un immagine 

E’ possibile ricavare graficamente l’immagine di una sorgente luminosa puntiforme, 

sfruttando opportunamente le seguenti proprietà . 

un raggio emesso in direzione parallela all’asse ottico è riflesso nel fuoco dello 

specchio; 

un raggio che passa per il centro dello specchio viene riflesso nella medesima 

direzione dalla quale proviene; 

un raggio passante per il fuoco viene riflesso parallelamente all’asse ottico; 

Un raggio che incide sul vertice viene riflesso simmetricamente rispetto all’asse 

ottico. 

Le proprietà elencate sono formulate per uno specchio concavo ma sono valide anche 

per uno concavo considerando i prolungamenti virtuali dei raggi, come si può vedere 

nella figura (1.1) 

Poiché tutti i raggi emessi da un punto convergono in un medesimo punto, basta 

costruire due raggi e trovarne l’intersezione. 

Figura 1.1: Raggi principali nel caso di specchi sferici. (a) concavo e (b) convesso. 


1.8. INGRANDIMENTO E POTENZA 16 

1.8 Ingrandimento e potenza 

L’ingrandimento G di uno specchio è il rapporto fra l’altezza dell’immagine e quella 

dell’oggetto. Si può dimostrare che vale 

G = h′ 

h 

= −q 

p 

(1.10) 

In base alla convenzione adottata per i segni, si ha h > o e p > 0 (può essere p¡0solo 

in particolari sistemi ottici che verranno discussi a parte). Quando l’immagine è reale 

(q > 0) si ha un’immagine capovolta (h ′ < 0) ; quando l’immagine è virtuale (q < 0) si 

ha un’immagine diritta (h ′ > 0). Da questo origina il segno negativo nella definizione 

dell’ingrandimento trasversale. L’immagine è ingrandita quando è più distante 

dell’oggetto rispetto allo specchio. 

La relazione è facilmente dimostrabile considerando che i triangoli evidenziati in 

figura sono simili. 

La potenza di uno specchio, quando il raggio e la focale di uno specchio sono 

misurati in metri, si definisce come l’inverso della lunghezza focale ed è espressa in 

diottrie; la potenza si indica generalmente con la lettera K. 

La potenza degli specchi è positiva per gli specchi concavi e negativa per gli specchi 

convessi, esattamente come le rispettive distanze focali. 

Uno specchio concavo di raggio r = 05 m avrà per esempio una focale f = 25 cm 

e una potenza K = 4 D; uno specchio convesso di raggio r = −1 m avrà per esempio 

una focale f = −50 cm e una potenza K = −2 D. 


1.9. SPECCHI CONCAVI: FORMAZIONE DELL’IMMAGINE 17 

1.9 Specchi concavi: formazione dell’immagine 

1.9.1 Specchi concavi: modalità convergente 

Se un oggetto è posto tra centro e fuoco, si ha un’immagine reale, postra tra centro 

e fuoco, capovolta e ingrandita. Per l’invertibilità del cammino ottico, se l’oggetto 

e l’immagine possono scambiarsi i ruoli e il diagramma non cambia: un’oggetto posto 

prima del centro forma un’immagine reale, posta tra centro e fuoco, capovolta, e 

rimpicciolita. 

1.9.2 Specchi concavi: modalità divergente 

Se l’oggetto è posto tra fuoco e specchio l’immagine risultante è virtuale, dietro lo 

specchio, diritta e ingrandita. Questa è la modalità in cui usa uno specchio da trucco, 

avvicinando molto allo specchio oltrepassando la posizione del punto focale. 


1.10. SPECCHI CONVESSI: FORMAZIONE DELL’IMMAGINE 18 

1.10 Specchi convessi: formazione dell’immagine 

Anche per gli specchi convessi si verifica il fenomeno dell’aberrazione sferica. Se però 

lo specchio è piccolo rispetto al suo raggio di curvatura, ed è possibile lavorare in ottica 

gaussiana, l’aberrazione sferica è trascurabile, tutti i raggi vengono riflessi formando 

piccoli angoli con la normale nel punto di riflessione, e i loro prolungamenti oltre la 

superficie riflettente si incontrano in un unico punto, il fuoco. Si ricordi che gli specchi 

convessi hanno distanza focale e raggio di curvatura negativi. 

L’equazione degli specchi non cambia, ed è solo necessario considerare le grandezze 

con il segno corretto. Uno specchio convesso fornisce sempre e solo un’immagine 

virtuale, essendo divergente. Indipendentemente dalla distanza dell’oggetto dal centro 

dello specchio e dal fuoco, l’immagine è sempre diritta, virtuale, e rimpicciolita. 


1.11. CASO SPECIALE: SPECCHI PIANI 19 

1.11 Caso speciale: specchi piani 

Uno specchio piano può essere considerato come il caso limite di uno specchio sferico: 

uno specchio piano è uno specchio sferico di raggio di curvatura r = oo 

L’equazione degli specchi diventa quindi: 

da cui segue: 

1 1 

+ 

p q 

= 2 

R 

= 2 

∞ 

= 0 (1.11) 

p = −q (1.12) 

e cioè che l’immagine è virtuale e simmetrica rispetto alla superficie dello specchio, 

a grandezza naturale e nella stessa direzione dell’oggetto (G = 1). 


1.12. RIFRAZIONE: LEGGE DI SNELL 20 

1.12 Rifrazione: legge di Snell 

Quando la luce incide sulla superficie di separazione di due mezzi trasparenti viene 

deviata. La deviazione è dovuta alla diversa velocità che la luce ha nei due mezzi: il 

raggio si avvicina alla normale se entra in un mezzo in cui la velocità della luce è minore; 

si allontana dalla normale se entra in un mezzo in cui la velocità della luce è maggiore. 

Il comportamento del raggio rifratto è descritto dalle due leggi della rifrazione: 

1a legge: il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie riflettente 

giacciono sullo stesso piano 

2a legge: il rapporto fra i seni dei due angoli di incidenza e di rifrazione è 

costante. 

sin θ1 

sin θ2 

= n2 

n1 

= n12 

La seconda legge è nota come legge di Snell. n12 è l’indice di rifrazione del mezzo B 

(in cui la luce penetra) relativo al mezzo A (da cui la luce proviene). Se n12 > 1, si dice 

che il mezzo 2 è otticamente pìù denso del mezzo 1. In questo caso il raggio rifratto si 

avvicina alla normale, come illustrato nella Fig.(1.2) con aria e vetro, dove v1 > v2. 

Figura 1.2: Rifrazione nel passaggio da aria a vetro 

La definizione di angoli di incidenza è la stessa utilizzata per la riflessione, e cioè 

l’angolo tra raggio incidente e normale alla superficie, mentre l’angolo di rifrazione è 

l’angolo tra il raggio rifratto e la normale alla superficie. 



1.12.1 Illusioni ottiche 

Figura 1.3: Tripla riflessione e doppia rifrazione 

La rifrazione è responsabile di molte illusione ottiche appartenenti all’esperienza comune. 

Esse sono tutte conseguenza del fatto che il cervello 

umano interpreta la propagazione della luce 

solo secondo linee rette: un diottro piano introduce 

quindi un’ “illusione ottica”. La donna immersa 

in acqua viene percepita con le gambe molto più 

corte della realtà; questo perché i raggi provenienti 

dai piedi vengono deviati nel passaggio attraverso 

il diottro piano. L’uomo percepisce l’immagine 

virtuale data dal raggio tratteggiato. Un’altra “illusione 

ottica” dovuta alla rifrazione su un diottro 

piano è quella data da una matita immersa in 

acqua, che sembra spezzata. 



ESEMPIO 1.1. La maschera subacquea di una nuotatrice è affondata in un a piscina 

profonda d = 1 m. Qual è la profondità apparente a cui, osservandola da sopra la 

superficie dell’acqua, si trova la maschera? 

Soluzione: 

L’acqua sembra meno profonda di quanto sia in realtà. I raggi provenienti dagli 

oggetti immersi o dal fondo attraversando l’interfaccia aria – acqua vengono deviati, 

avvicinandosi alla normale, e divergendo; l’effetto netto è che ad un osservatore fuori 

dall’acqua i raggi sembrano provenire da un punto più vicino alla superficie. Dal 

momento che il testo precisa che l’osservazione avviene dalla normale alla superficie, 

possiamo assumere l’ipotesi di raggi parassiali e ottenere la profondità apparente 

semplicemente dalla formula: 

d ′ = d n′ 

n 

= d 1 

1.33 

= 0.75 m (1.13) 

Osservando dall’esterno un oggetto in acqua l’immagine risulta sempre essere più prossima 

rispetto alla realtà di un fattore 25%. 

Esempio 1.1 Esempio 1.2 

ESEMPIO 1.2. La luce colpisce una lastra di vetro piana con un angolo di incidenza 

di 60 o . Se l’indice di rifrazione del vetro è n = 1.5, 

a) qual è l’angolo di rifrazione θA nel vetro? 

b) Con quale angolo θB il raggio riemerge dal vetro? 

Soluzione: 

a) Il raggio incidente proviene dall’aria, quindi è n1 = 1 e n2 = 1.5; la legge di Snell 

fornisce il valore: 

sin θA = 0.577 da cui θA = 35.2 o 

(1.14) 



b) le due facce di vetro sono parallele, e in questo caso l’angolo di incidenza è θA e 

quello di rifrazione θB: 

sin θB = 0.866 da cui θB = 60 o 

(1.15) 

Il raggio non cambia quindi direzione nel passaggio attraverso una la lastra di 

vetro a facce piane. Subisce però uno spostamento laterale, come è possibile verificare 

osservando un oggetto parzialmente coperto da una lastra di vetro osservando gli effetti 

di bordo. 

1.12.2 Riflessione totale 

Mentre nel passaggio da mezzo ottico meno denso ad uno più denso un raggio luminoso 

viene sempre rifratto, non sempre si verifica il contrario. Infatti, quando la luce passa 

da un mezzo più denso a uno meno denso, il raggio rifratto si allontana dalla normale 

all’aumentare dell’angolo di incidenza e per un dato angolo di incidenza, esso raggiungerà 

un angolo di 90o parallelo alla superficie di separazione. Se l’angolo di incidenza 

aumenta ulteriormente non c’è più rifrazione e il raggio è soggetto al fenomeno della 

riflessione totale. L’angolo di incidenza per cui avviene la riflessione totale si chiama 

angolo limite e corrisponde al valore di incidenza che genera un angolo di rifrazione di 

90o , vale adire: 

sin θC = n2 

sin 90 

n1 

o = n2 

. (1.16) 

n1 

Per tale valore il raggio rifratto giace sulla superficie. Oltre tale valore la rifrazione 

non è più possibile, e tutta la luce viene completamente riflessa, come illustrato nella 

figura sotto per i raggi 4 e 5. 



1.12.3 Riflessione totale: applicazioni 

Binocolo: all’interno del binocolo, invece di specchi, vengono posti prismi; la combinazione 

opportuna delle distanze focali dei prismi, che agiscono sempre come specchi, 

perché le loro facce sono sempre orientate in modo tale da avere riflessione totale, produce 

l’ingrandimento. Il vantaggio, nell’usare i prismi, è che la totalità della luce viene 

riflessa in questo modo, mentre questo è impossibile anche nel migliore specchio. La 

riflessione totale nei prismi verrà descritta in dettaglio nella sezione dei prismi. 

Fibra ottica: la fibra agisce come una guida di luce, in cui il raggio luminoso 

si riflette, in modo totale, sulla superficie interna della fibra, procedendo in modo 

fortemente obliquo. In questo modo anche se la fibra è topologicamente contorta, si ha 

sempre riflessione totale e la fibra trasmette un segnale luminoso praticamente senza 

perdite. Il loro utilizzo principale è nelle telecomunicazioni per trasmettere segnali a 

larga banda con minima attenuazione. 

Endoscopio: un array di fibre ottiche permette la trasmissione di segnali indipendenti 

per formare un’immagine. La flessibilità del sistema di fibre permette l’inserimento 

dell’endoscopio all’interno del corpo umano attraverso cavità aeree (trachea, 

esofago) o circolatorie (vasi) 

1.12.4 Riflessione totale: effetto fish-eye 

In caso di superficie molto tranquilla, un subacqueo che osserva verso l’alto subisce il 

fenomeno della riflessione totale sul diottro piano costituito dalla superficie di separazione 

acqua-aria. Questo è dovuto al fatto che i raggi che giungono al subacqueo 

subiscono una rifrazione attraverso il diottro piano in un mezzo, l’aria, di indice di 

rifrazione minore; si può verificare quindi il fenomeno della riflessione totale sul diottro 

piano, caratterizzata da un angolo critico pari a θC = 49 o . 

I raggi provenienti dal mondo esterno sono quindi compressi in un cono di 49 o ; 

tutto quanto è esterno a questo cono nella visuale del subacqueo non può provenire 

dalla parte sovrastante l’acqua, ma deve essere una riflessione (totale) sulla superficie 

dell’immagine del bordo o del fondo della piscina o del bacino. 


Capitolo 2 

Le lenti 

Abbiamo visto che le leggi della riflessione e della rifrazione consentono di determinare 

il cammino dei raggi luminosi nei mezzi trasparenti. Esse costituiscono la base 

fondamentale per la costruzione degli strumenti ottici, come le lenti per occhiali, microscopi, 

macchine fotografiche, ecc. In questi dispositivi, la luce viene guidata lungo 

un percorso prestabilito e ben determinato. 

Una lente è un oggetto trasparente con due superfici rifrangenti i cui assi centrali 

coincidono; l’asse comune costituisce l’asse centrale della lente. Le lenti rappresentano 

la parte essenziale degli strumenti ottici. In generale vengono usate lenti sferiche, 

cioè corpi rifrangenti limitati da superfici sferiche. Le lenti sono sempre di materiale 

ad indice di rifrazione maggiore dell’aria, tipicamente di vetro o di plastica. Le due 

facce che delimitano le lenti possono avere molte forme diverse e ogni faccia può essere 

indipendentemente concava o convessa. Qui sotto vediamo alcune configurazioni 

Biconvessa Menisco convergenti Biconcava Menisco divergente Piano concava 

A seconda della particolare conformazione, le lenti sferiche si suddividono in lenti 

convergenti e lenti divergenti. Nell’ipotesi che l’indice di rifrazione della lente sia maggiore 

di quello del mezzo in cui si trova (tipicamente, l’aria), le lenti convergenti, più 

spesse al centro e più sottili ai bordi, hanno la proprietà di far convergere un fascio 

di raggi paralleli in un unico punto (il fuoco della lente); un esempio di questo tipo di 

lenti è il telescopio semplice o lente di ingrandimento. Le lenti divergenti, più spesse ai 

bordi e più sottili al centro, producono l’effetto contrario, vale a dire, fanno divergere 

un fascio di raggi paralleli; sono divergenti, ad esempio, le lenti correttive per la miopia. 

25

2.1. IMMAGINI PER RIFRAZIONE 26 

2.1 Immagini per rifrazione 

Nella figura sotto, sono illustrati i sei possibili risultati per la formazione di un immagine 

dopo la rifrazione. 

Figura 2.1: I sei possibili modi per formare un immagine per rifrazione. 


2.1. IMMAGINI PER RIFRAZIONE 27 

Rispetto alla superficie rifrangente, le immagini reali si formano dalla parte opposta 

a quella dell’oggetto, mentre le immagini virtuali si formano dalla stessa parte. 

Figura 2.2: Prima rifrazione 

Per raggi di luce che formano angoli piccoli con l’asse ottico (approssimazione di 

Gauss), vale la formula: 

n1 

p 

n2 

+ 

q = n2 − n1 

R 

. (2.1) 

detta anche formula di Descartes 1 . 

Come per gli specchi curvi, la distanza p dell’oggetto e quella q dell’immagine sono 

positive quando sono reali, negative quando sono virtuali. Al fine della correttezza di 

tutti i segni nell’equazione (2.1), bisogna adottare la seguente convenzione per R: 

Quando l’oggetto si affaccia verso una superficie rifrangente convessa, il raggio di 

curvatura R è positivo. Se si affaccia verso una superficie concava, R è negativo. 

Questa regola è il rovescio di quella adottata per gli specchi curvi. Per il potere di 

ingrandimento, l’analogo della formula (1.10) per una superficie rifrangente sferica è : 

1 Dimostrazione a lezione 

G = − n1q 

n2p 

(2.2) 


2.2. LENTI SFERICHE: DOPPIO DIOTTRO 28 

2.2 Lenti sferiche: doppio diottro 

Una lente sferica si può descrivere una lente come una coppia di diottri sferici, coassiali, 

accoppiati. 

La posizione dell’immagine Q formata dal punto P attraverso il diottro di raggio 

R1 e vertice V1 può essere ricavata dalla formula del diottro sferico: 

n1 

p1 

+ n2 

q1 

= n2 − n1 

R1 

. (2.3) 

Il punto Q è a sua volta immagine per il diottro di raggio R2 e vertice V2: 

p2 = −(q1 − s) (2.4) 

e la posizione dell’immagine finale si ricava applicando nuovamente l’equazione per 

il secondo diottro: 

2.3 Lenti sottili. 

n2 

p2 

+ n3 

q2 

= n3 − n2 

R2 

. (2.5) 

In seguito, ci limiteremo al caso delle lenti sottili, dove lo spessore è piccolo in rapporto 

alla distanza dell’oggetto e alla distanza dell’immagine. Per raggi che formano angoli 

piccoli rispetto all’asse ottico e assumendo nelle equazioni (2.4) e (2.5) che s = 0 e 

n1 = n3, si può mostrare che p e q stanno in relazione fra loro secondo l’espressione: 

1 1 

+ 

p q 

= 1 

f 

dove la distanza focale della lente è data da: 

1 

f 

 

1 

= (n − 1) − 

R1 

1 

 

R2 

. (2.6) 

(2.7) 


2.4. LENTI SOTTILI CONVERGENTI: FORMAZIONE DELL’IMMAGINE29 

considerando la lente con indice di rifrazione n immersa in aria, R1 il raggio di 

curvatura della lente più vicina all’oggetto e R2 quello dell’altra superficie. 

L’equazione (2.7) è spesso chiamata equazione del costruttore di lenti. Rimane 

valida anche se la lente è immersa in un mezzo in cui l’indice di rifrazione è diverso 

da 1; basta sostituire n con n/nmezzo. Pur essendo simile alla legge per gli specchi, 

per le lenti q è positivo se l’immagine è dal lato della trasmissione della lente, mentre 

la convenzione per i segni di r è uguale a quella prodotta dalla rifrazione: il raggio di 

curvatura è positivo se il centro di curvatura è dalla parte della trasmissione e negativo 

se è dal lato d’incidenza. 

2.4 Lenti sottili convergenti: formazione dell’immagine 

La rifrazione avviene tramite infiniti raggi; consideriamo tre raggi particolari: 

1. un raggio parallelo all’asse passa per il fuoco immagine F 

2. un raggio incidente che passa per il centro ottico delle lenti non viene deviato 

3. un raggio incidente che passa per il fuoco oggetto F emerge parallelamente all’asse 

A seconda della posizione dell’oggetto l’immagine può essere reale o virtuale. Nella 

figura (2.3) vengono mostrati i diversi tipi di immagini formate da lenti convergenti e 

divergenti. La situazione viene riassunta dalla seguente tabella: 

Relazione Immagine 

p > 2F reale, capovolta, rimpicciolita 

p = 2F reale, capovolta, uguale 

F dita 

p = F si forma all’infinito 

p < F virtuale, diritta, ingrandita 


2.4. LENTI SOTTILI CONVERGENTI: FORMAZIONE DELL’IMMAGINE30 

Figura 2.3: Una lente convergente forma un’immagine reale e capovolta quando la 

candela è oltre il punto focale F . Se è posta nel fuoco, l’immagine non si forma. Più 

vicina del punto focale F , l’immagine è virtuale e ha lo stesso orientamento. 


2.5. LENTI SOTTILI DIVERGENTI: FORMAZIONE DELL’IMMAGINE 31 

Quindi quando la candela si trova più vicino del punto focale F , l’immagine è virtuale 

e ha lo stesso orientamento. È il caso di una lente di ingrandimento: l’angolo a 

cui l’occhio percepisce l’immagine ingrandita (la sua dimensione angolare apparente) è 

maggiore di quello che sarebbe definito dal medesimo oggetto osservato direttamente, 

a distanza normale. Sono lenti convergenti anche quelle utilizzate per correggere l’ipermetropia, 

il difetto della vista per il quale l’immagine non si forma sulla retina, ma 

dietro di essa. 

2.5 Lenti sottili divergenti: formazione dell’immagine 

La rifrazione avviene tramite infiniti raggi; consideriamo i seguenti raggi particolari: 

1. un raggio parallelo all’asse passa per il fuoco immagine F 

2. un raggio incidente che passa per il centro ottico delle lenti non viene deviato 

3. un raggio incidente che passa per il fuoco oggetto F emerge parallelamente all’asse 

Una lente divergente forma un’immagine virtuale dell’oggetto con il suo stesso 

orientamento, indipendentemente dalla posizione della candela. 


2.6. STRUMENTI OTTICI 32 

2.6 Strumenti ottici 

2.6.1 La macchina fotografica 

La parti principali di una macchina fotografica sono l’obiettivo, il diaframma e il 

contenitore a tenuta di luce della pellicola. 

L’obiettivo è un insieme di lenti (gruppi ottici) equivalenti a una lente convergente; 

il diaframma è un’apertura, di solito circolare, di larghezza variabile che serva alimitare 

la quantità di luce che raggiunge la pellicola. 

La luce emessa o diffusa da un oggetto arriva nell’obiettivo, attraversa il diaframma 

e giunge sulla pellicola dove si forma l’immagine capovolta e rimpicciolita (Fig.2.6.1). 

L’oggetto è a fuoco quando l’immagine cade esattamente sulla pellicola. Se l’oggetto 

non è a fuoco, l’immagine si forma davanti o dietro la pellicola. In tal caso, si muove 

la ghiera poata sull’obiettivo in modo da riportare l’immagine sul piano della pellicola. 

2.6.2 L’occhio 

Per certi versi l’occhio è analogo a una macchina fotografica, ma i componenti sono 

disposti in ordine diverso (Fig.2.6.2). 

La corrispondenza fra i vari componenti è la seguente: 

Macchina fotografica Occhio 

Obiettivo Cristallino 

Diaframma Iride 

Pellicola Retina 



La messa a fuoco è pero’ diversa: nella macchina fotografica si spostano avanti e 

indietro i gruppi ottici nell’obiettivo, mentre nell’occhio il cristallino ha la capacità di 

curvarsi per modificare la distanza focale (accomodamento). 

Due sono i difetti tipici dell’occhio: miopia e ipermetropia. Nell’occhio miope 

l’immagine si forma davanti alla retina perché il cristallino converge troppo; questo 

difetto si corregge con lenti convergenti. nell’occhio ipermetrope l’immagine si forma 

dietro la retina perché il cristallino converge poco; questo difetto si corregge con lenti 

convergenti. 

Il potere diottrico di una lente correttiva è l’inverso della distanza focale, espressa 

in metri e si misura in diottrie. 

2.6.3 Il microscopio composto 

Serve per osservare oggetti molto piccoli. Si può schematizzare con due lenti convergenti, 

chiamate obiettivo e oculare (Fig.2.6.3). 



L’oggetto è collocato a una distanza dall’obiettivo di poco superiore alla distanza 

focale. Si forma un’immagine reale, ingrandita e capovolta, situata dalla parte opposta 

rispetto all’obiettivo. L’oculare usa poi come oggetto l’immagine formata dall’obiettivo 

e la ingrandisce ulteriormente. 

la distanza focale dell’obiettivo è dell’ordine del centimetro, mentre quella dell’oculare 

è maggiore. 

Una formula approssimata dell’ingrandimento fornito da un microscopio è la seguente: 

G = 

25 d 

fob · foc 

(2.8) 

dove tutte le distanze sono espresse in centimetri. d rappresenta la distanza fra l’obiettivo 

e l’oculare mentre fob e foc sono le due distanze focali dell’obiettivo rispettivamente 

dell’oculare. 


Capitolo 3 

Onde 


Quando si suona una campana, il suono è udito in punti lontani; il suono viene trasmesso 

attraverso l’aria circostante. Se una barca che si muove velocemente passa ad 

una certa distanza dalla spiaggia, la scia che la barca ha prodotto raggiunge alla fine 

la spiaggia. Quando si accende una lampadina, la stanza viene illuminata. Per quanto 

il meccanismo fisico possa essere diverso per ciascuno dei processi sopra appena ricordati, 

essi hanno tutti una caratteristica comune: sono perturbazioni fisiche che sono 

prodotte in un punto nello spazio, si propagano attraverso lo spazio, e producono un 

effetto successivamente in un altro punto. 

In generale, si dice che un’onda è generata dalla propagazione spontanea di una 

perturbazione in un mezzo soggetto a forze di richiamo, forze cioè che tendono a riportare 

nella posizione di equilibrio un elemento del mezzo che ne viene allontanato. 

Per elemento, intendiamo qui una porzione del mezzo che abbia dimensioni trascurabili 

rispetto a quelle della perturbazione. Le perturbazioni possono essere di diverso tipo: 

a) impulsive: sono generate da un fenomeno di durata limitata 

b) persistenti: l’azione che origina la perturbazione è continua. Fra queste, molto 

importanti sono quelle periodiche, dovute a sistemi oscillanti 

Bisogna sottolineare che in un’onda, quello che si propaga non è il mezzo stesso, ma 

energia lungo il mezzo. Nel fenomeno ondulatorio, non si ha quindi propagazione di 

materia! 

Esistono due tipi di onde: quelle meccaniche e quelle elettromagnetiche. Qui ci 

limiteremo allo studio delle onde meccaniche che si propagano in mezzi elastici, come 

ad esempio i corpi solidi e i fluidi che, se sottoposti a forze, subiscono deformazioni. Le 

onde elettromagnetiche si possono propagare anche nel vuoto e vanno quindi studiate 

a parte. 

Si distinguono anche le onde longitudinali da quelle trasversali. Le onde longitudinali 

sono quelle in cui le particelle del mezzo oscillano nella direzione in cui si pro- 

35

3.2. IL MOTO ONDULATORIO 36 

paga l’onda (Fig.(3.1)a). Le onde trasversali sono quelle in cui le particelle del mezzo 

oscillano in direzione perpendicolare alla direzione in cui si propaga l’onda (Fig.(3.1)b). 

Figura 3.1: Onda longitudinale (a) e onda trasversale (b) su una molla in tre istanti 

successivi 

3.2 Il moto ondulatorio 

3.2.1 Descrizione matematica 

Si consideri una funzione ξ = f(x) rappresentata graficamente dalla curva continua 

nella figura seguente (Fig.3.2). 

Figura 3.2: Traslazione senza distorsione di una funzione ξ(x). 

Se ciascun punto della curva è traslato rigidamente della distanza ∆x = a alla 

destra (o alla sinistra), allora il valore della funzione in ciascun nuovo punto, diciamo 

x’, è lo stesso del valore della funzione a x ′ − a (o x ′ + a). Quindi f(x − a) rappresenta 

la curva spostata senza deformazione verso destra della distanza a e analogamente 

f(x + a) rappresenta la stessa curva spostata a sinistra della distanza a. 

Si consideri ora uno spostamento continuo della curva f(x). Quando la curva viene 

spostata della distanza ∆x dalla posizione della curva all’istante t = 0 nel tempo ∆t 

con una velocità v, tale che a = v∆t = vt (dove v è chiamata la velocità di fase), 

allora un impulso sta viaggiando lungo la direzione X (Fig.3.3). 

Quindi un’espressione matematica della forma: 

ξ(x, t) = f(x ± vt) (3.1) 



Figura 3.3: Propagazione verso destra (a) e verso sinistra (b). 

è adatta a descrivere una perturbazione fisica che viaggia o si propaga senza deformazione 

lungo la parte positiva (o negativa) dell’asse X; questa propagazione è un 

aspetto caratteristico del moto ondulatorio. La quantità ξ(x, t) può rappresentare un 

gran numero di diverse quantità fisiche, come la deformazione in un solido, la pressione 

in un gas, un campo elettrico o magnetico, ecc. 

Un caso particolarmente importante è quello detto armonico, nel quale ξ(x, t) è una 

funzione sinusoidale tale che 

ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt) (3.2) 

Che cosa rappresenta la quantità k? Quando si sostituisce al valore x il valore x+2π/k, 

la funzione ξ(x, t) assume lo stesso valore: 

ξ(x + 2π 

k , t) = ξ0 sin(k(x − vt) + 2π) = ξ0 sin k(x − vt) = ξ(x, t) (3.3) 

Quindi λ = 2π/k rappresenta la periodicità spaziale della curva e viene denominata 

lunghezza d’onda. La grandezza k rappresenta il numero di lunghezze d’onda nella 

distanza 2π ed è chiamato numero d’onda. Perciò : 

ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt) = ξo sin 2π 

(x − vt) = 0 (3.4) 

λ 

rappresenta un’onda sinusoidale o armonica di lunghezza d’onda λ che si propaga alla 

destra lungo l’asse X con una velocità di fase v. La forma più usata dell’equazione 

precedente è la seguente: 

ξ(x, t) = ξ0 sin(kx − ωt) (3.5) 



dove la grandezza ω è detta pulsazione (o frequenza angolare) dell’onda ed è in relazione 

con il periodo T = λ/v tramite ω = 2π/T . Il periodo T è il tempo impiegato per 

compiere un’oscillazione completa. Importante è pure la frequenza f (o ν) dell’onda, 

che fornisce il numero di oscillazioni al secondo. In particolare si ha 

f = 1 

T 

= ω 

2π 

e v = λ f (3.6) 

Figura 3.4: Onda armonica che si propaga verso destra. L’onda percorre uno spazio λ 

in un tempo T 



3.2.2 Equazione differenziale del moto ondulatorio 

Un secondo passo è un’indagine su come determinare quando un dato campo dipendente 

dal tempo si propaga come un’onda senza distorsione. I campi associati con 

ogni processo fisico sono regolati da leggi dinamiche che sono caratteristiche di ciascun 

processo in esame. Queste leggi possono essere espresse sotto forma di equazioni differenziali. 

Possiamo quindi esaminare la possibilità di trovare una equazione differenziale 

applicabile a tutti i tipi di moto ondulatorio. Quindi ogni volta che le sue proprietà 

fisiche mostrano che un campo particolare soddisfa una tale equazione, possiamo essere 

sicuri che il campo si propaga attraverso lo spazio con una velocità definita e senza 

distorsione. L’equazione, che incontreremo più volte, la quale descrive un moto ondulatorio 

che si propaga con una velocità definita v e senza distorsione lungo la direzione 

+X o lungo −X è 

∂2ξ ∂t2 = v2 ∂2ξ ∂x2 (3.7) 

Questa espressione è detta l’equazione differenziale del moto ondulatorio. La soluzione 

generale dell’equazione (3.7) è della forma dell’equazione (3.4 ): 

ξ(x, t) = f1(x − vt) + f2(x + vt). (3.8) 

Quindi la soluzione generale dell’equazione (3.7) può 

essere espressa come sovrapposizione di due moti ondulatori 

propagantesi in direzione opposte. Naturalmente 

per un’onda che si propaga in una direzione, è 

richiesta soltanto una delle due funzioni che appaiono 

nella equazione (3.8). Tuttavia quando (per esempio) 

vi è un’onda incidente nella direzione + X ed un’onda 

riflessa nella direzione -X, si deve usare la forma generale 

dell’ equazione (vedi Fig.3.5). Si può dimostrare 

in generale, per derivazione diretta, che un’espressione 

avente la forma dell’equazione (3.8) è una soluzione 

Figura 3.5: Onde sovrapposte dell’equazione dell’onda (3.7). Utilizzando le relazioni 

per ω e k, verifica che l’equazione (3.8) è soddisfatta 

dall’onda sinusoidale (armonica) 

ξ(x, t) = ξ0 sin(kx − ωt). (3.9) 


3.3. ESEMPI DI ONDE MECCANICHE 40 

3.3 Esempi di onde meccaniche 

3.3.1 Introduzione 

Per esaminare l’argomento in modo più generale, si consideri una grandezza fisica 

descritta da un certo campo. Abbiamo visto che questo campo può rappresentare 

un campo elettromagnetico, la deformazione in una molla, la pressione in un gas, la 

tensione in un solido, lo spostamento trasversale di una corda, ecc. Si supponga che 

le condizioni in un punto divengano dipendenti dal tempo, cosicché si verifica una 

perturbazione dello stato fisico del sistema in quel punto. Le proprietà fisiche del 

sistema comportano la propagazione di questa perturbazione attraverso lo spazio e la 

perturbazione altera le condizioni statiche in altri punti. 

Si consideri come esempio la superficie libera di un liquido. Il campo in questo caso è 

lo spostamento di ciascun punto della superficie rispetto alla posizione di equilibrio. In 

condizioni di equilibrio o statiche la superficie libera di un liquido è piana ed orizzontale; 

ma se in un punto le condizioni alla superficie sono perturbate gettando un sasso nel 

liquido, è ben noto che questa perturbazione si propaga in tutte le direzioni lungo 

la superficie del liquido. Per determinare il meccanismo della propagazione e la sua 

velocità , si deve analizzare come lo spostamento di un punto alla superficie del liquido 

influenza il resto della superficie. Questa analisi produce le equazioni dinamiche del 

processo. Queste equazioni quindi ci danno la possibilità di ottenere informazioni 

quantitative sulla variazione nello spazio e nel tempo della perturbazione. Vedremo 

ora alcuni esempi specifici: la maggior parte degli esempi riguarderà le onde elastiche 

in un mezzo materiale. Nella maggior parte di questi casi la struttura molecolare della 

materia sarà trascurata e si farà l’ipotesi di un mezzo continuo. Questa ipotesi è valida 

fino a che la lunghezza d’onda è grande confrontata con la separazione intermolecolare 

del mezzo che sostiene il moto ondulatorio. 

Figura 3.6: Onde elastiche in una molla (a), un gas (b) e in una corda (c) 



3.3.2 Onde trasversali in una corda 

Figura 3.7: Forze su un elemento dx di una corda spostata trasversalmente 

Si consideri una corda soggetta alla tensione fissata T . In condizioni di equilibrio, 

la corda è rettilinea. Si supponga ora che la corda sia spostata perpendicolarmente 

alla sua lunghezza di una quantità relativamente piccola rispetto alla lunghezza L. 

Questa approssimazione è necessaria, affinchè la corda rimanga in un regime elastico, 

dove non subisce una deformazione troppo forte. Consideriamo quindi un elemento 

AB della corda, di lunghezza dx, che si sia spostato di una distanza ξ dalla posizione 

di equilibrio (in cui ξ = 0). A ciascun estremo A e B dell’elemento, è applicata 

una forza tangenziale T dovuta alla trazione esercitata dalla corda (Fig.3.7). A causa 

della curvatura della corda, queste due forze pur avendo la stessa intensità non hanno 

la stessa direzione. Un’analisi delle forze sull’elemento AB (di massa dm) fornisce le 

seguenti equazioni: 

Fx = T (cos α ′ − cos α) = m · ax 

Fy = T (sin α ′ − sin α) = m · ay 

(3.10) 

Dato che la curvatura in esame è piccola, i due angoli α e α ′ sono piccoli e molto vicini. 

In questo caso si può verificare che: 

da cui si ricava che 

sin α ′ − sin α ≈ α ′ − α ≈ tan α ′ − tan α 

cos α ′ − cos α ≈ 0 

Fx = m · ax ≈ 0 

Fy = m · ay ≈ T (tan α ′ − tan α) 

(3.11) 

(3.12) 

Come si può notare, la forza risultante nella direzione orizzontale è trascurabile rispetto 

a quella nella direzione verticale. Per questo motivo, l’onda in una corda è di 

tipo trasversale, poiché le oscillazioni degli elementi di corda avvengono in direzione 

perpendicolare rispetto alla direzione di propagazione dell’onda, che è diretta lungo la 

corda. Dato che tan α è per definizione la pendenza della corda, possiamo associarla 

alla derivata ∂ξ/∂x, da cui si ottiene 

Fy = T ∂ 

∂x 

 

∂ξ 

∂x 

dx = T ∂2ξ dx (3.13) 

∂x2 SUPSI-DTI Corso di Fisica e Modellistica Prof. Andrea Danani


Questa forza deve essere uguale alla massa dell’elemento di corda AB moltiplicata per 

l’accelerazione verticale pari a ∂ 2 ξ/∂t 2 . Supponendo che µ = M/L sia la densità 

lineare della corda (vale a dire la massa per unità di lunghezza), la massa dell’elemento 

è data da µdx. L’equazione (3.12) diventa perciò 

ossia 

(µdx) ∂2ξ ∂t2 = T ∂2ξ dx (3.14) 

∂x2 ∂2ξ T ∂ 

= 

∂t2 µ 

2ξ ∂x2 . (3.15) 

Quindi si ottiene l’equazione (3.7), e se ne deduce che una perturbazione trasversale 

lungo una corda elastica si propaga con una velocità 

 

T 

v = 

(3.16) 

µ 

nel caso in cui l’ampiezza è piccola rispetto alla lunghezza della corda. 

3.3.3 Onde elastiche in una sbarra 

Se si perturba l’estremo di una sbarra solida, un’onda elastica si propagherà lungo 

la sbarra. Vediamo di capire come la velocità di propagazione della perturbazione 

dipende dalle caratteristiche fisiche della sbarra. Supponiamo che la sbarra abbia 

sezione costante A e sia sottoposta a una forza F lungo il suo asse. Questa forza può 

variare lungo l’asse della sbarra. La tensione normale σ in una sezione della sbarra 

è definita come la forza per unità di area che agisce perpendicolarmente alla sezione, 

quindi: 

σ = F 

(3.17) 

A 

Sotto l’azione delle forze presenti lungo la sbarra, ogni sezione subisce uno spostamento 

ξ parallelo all’asse. Tralasciamo il caso dello spostamento rigido (ξ costante) e 

supponiamo che ξ dipenda da x. 



Figura 3.8: Onde longitudinali in una sbarra 

Prendiamo due sezioni A e A ′ separate da una distanza dx (Fig. 3.8). La sezione 

A si sposterà di ξ e A ′ di ξ ′ sotto l’azione delle forze in gioco. La distanza fra le due 

sezioni, dopo la deformazione, sarà quindi: 

dx + (ξ ′ − ξ) = dx + dξ (3.18) 

Definiamo ora la dilatazione normale ɛ nella sbarra come la deformazione lungo l’asse 

riferita all’unità di lunghezza, da cui si deduce 

ɛ = ∂ξ 

(3.19) 

∂x 

Tra la tensione normale σ e la dilatazione normale ɛ, esiste una relazione detta legge 

di Hooke, che stabilisce che 

σ = E ɛ , (3.20) 

dove E è detto modulo di elasticità di Young. Le legge di Hooke (3.20) rappresenta 

con buona approssimazione il comportamento elastico di un materiale fintantoché le 

deformazioni sono piccole. Usando le definizioni (3.19) e (3.20), si ottiene che 

F = EA ∂ξ 

∂x 

. (3.21) 

Nel caso di una sbarra (o un filo) in equilibrio con un estremo fisso (Fig. 3.9) e l’altro 

estremo sottoposto a una forza costante F , la forza dev’essere uguale in ogni sezione e 

si ottiene che la deformazione ξ dipende linearmente dalla sezione x. 

Infatti: ξ 

Figura 3.9: Sbarra con un estremo fisso 

0 

dξ = F 

EA 

x 

0 

dx ossia ξ = F 

x . (3.22) 

EA 



In particolare, la deformazione all’estremo libero si ottiene ponendo x = L in (3.22), 

da cui l = F L/EA. Il modulo di Young viene generalmente dedotto sperimentalmente 

usando questa relazione. 

Cosa succede se la sbarra non è in equilibrio e la forza varia lungo la sbarra? La 

forza risultante sull’elemento dx (Fig. 3.8) è dato da: 

F ′ − F = dF = ∂F 

dx . (3.23) 

∂x 

Supponendo che ρ sia la densità del materiale, la massa dell’elemento dx varrà dm = 

ρdV = ρAdx e la sua accelerazione sarà ∂ 2 ξ/∂t 2 . Dalla legge di Newton si ottiene: 

∂F 

∂x dx = ρAdx∂2 ξ 

∂t2 ossia ∂F ∂x = ρA ∂2ξ ∂t2 (3.24) 

Entrambi i campi che entrano in questo problema, vale a dire ξ e F , sono funzioni sia 

del tempo che della posizione e sono messi in relazione dalle equazioni (3.21) e (3.24). 

Derivando la prima rispetto a x, abbiamo 

e sostituendo questo risultato in (3.24), si ottiene 

∂F 

∂x = EA ∂2ξ , (3.25) 

∂x2 ∂2ξ Y 

= 

∂t2 ρ 

∂2ξ . (3.26) 

∂x2 Si tratta di un’equazione d’onda analoga a (3.7), e la velocità di propagazione della 

deformazione lungo la sbarra è data da: 

 

E 

v = . (3.27) 

ρ 

Terminiamo il paragrafo notando che entrambi i campi ξ e F rappresentati dall’onda 

sono orientati lungo la direzione di propagazione dell’onda, vale a dire l’asse della 

sbarra. Si tratta quindi di un’onda longitudinale. 



3.3.4 Altri esempi di onde meccaniche 

In questa sezione, segnaliamo senza entrare nel dettaglio un paio di esempi che possono 

essere analizzati con metodi analoghi a quelli usati per la corda elastica e la sbarra. 

Come primo caso, segnaliamo le onde di pressione in un gas a cui appartiene 

il suono. Modificando l’equilibrio del gas variandone la pressione, il gas tenderà a riportarsi 

all’equilibrio, generando delle onde di pressione che saranno automaticamente 

associate a delle onde di densità . Dato che le molecole si muovono avanti e indietro 

rispetto alla loro posizione di equilibrio, si parla di onda longitudinale, poichè le oscillazioni 

locali avvengono nella stessa direzione della propagazione dell’onda. L’analisi 

di questo caso, un po’ più complessa di quella della corda, porta all’equazione d’onda 

con una velocità data dalla seguente formula: 

 

γ P 

v = 

(3.28) 

ρ 

dove γ è l’esponente adiabatico caratteristico per ogni gas. 

Il secondo caso trattato è quello delle onde superficiali in un liquido. Si tratta 

delle onde più familiari, ma l’aspetto matematico è fra i più complessi. Infatti, le onde 

in un liquido sono una miscela di onde trasversali e longitudinali e le molecole compiono 

della traiettorie chiuse attorno all’equilibrio (Fig. 3.14). 

Figura 3.10: Spostamento delle molecole dovuto a un’onda superficiale in un liquido 

Inoltre molti parametri giocano un ruolo nell’analisi del problema, quali la tensione 

superficiale Υ, la profondità h del liquido e la sua densità ρ. L’espressione generale per 

la velocità di propagazione di onde superficiali in un liquido è 

v = 

gλ 

2π 

 

2πΥ 

+ tanh 

ρλ 

2πh 

λ 

(3.29) 

dove tanh x = (e x − e −x )/(e x + e −x ). 

Un aspetto interessante dell’equazione (3.29) è che la velocità di propagazione dipende 

dalla lunghezza d’onda, situazione non incontrata nei due casi precedenti. In 

questi casi si parla di dispersione. Dato che v = f λ, si conclude che la velocità di 

propagazione in un mezzo dispersivo dipende dalla frequenza dell’onda. 

Vediamo tre casi limiti. 


3.4. EFFETTO DOPPLER 46 

a) Quando λ e h sono grandi, tanh 2πh 

λ 

essere trascurato. Si ha che v = gλ 

2π 

≈ 1 e il termine 2πΥ 

ρλ 

nell’equazione(3.29) può 

. Queste onde sono dette onde di gravità , 

dove la velocità non dipende dalle proprietà del liquido ma solo dalla lunghezza 

d’onda. 

b) Se λ è molto piccola e h rimane grande, il termine dominante è il secondo dell’equazione 

(3.29) e la velocità è data da 

v = 

 

2πΥ 

ρλ 

(3.30) 

Queste onde sono dette onde capillari o increspature. Si tratta di onde che si 

osservano quando un vento molto leggero soffia sopra l’acqua, o quando un liquido 

in un contenitore è sottoposto a vibrazioni di alta frequenza e piccola ampiezza. 

Maggiore è la lunghezza d’onda, più lenta è la propagazione. 

c) Se h ≪ λ, tanh x ≈ x e il termine 2πΥ/ρλ può essere trascurato se λ è sufficientemente 

grande. Quindi 

v = 

 

gλ 2πh 

· 

2π λ = g · h (3.31) 

In questo caso, non si ha dispersione, e la velocità di propagazione è funzione solo 

della profondità . 

3.4 Effetto Doppler 

Nel 1842, il fisico austriaco C. Doppler scopri che l’altezza di un suono non è determinata 

dalla frequenza della sorgente sonora, bensi dalla frequenza con la quale le onde 

sonore colpiscono l’orecchio dell’osservatore. E’ perciò necessario tenere conto del moto 

relativo fra la sorgente e l’osservatore. Esamineremo ora due casi, e a questo proposito 

definiamo le seguenti grandezze: 

λ: lunghezza d’onda del suono nell’aria 

c: velocità del suono rispetto all’aria 

fs: frequenza con cui vibra la sorgente (frequenza propria) 

fo: frequenza percepita dall’osservatore 


3.4. EFFETTO DOPPLER 47 

Figura 3.11: Effetto Doppler prodotto da una sorgente in movimento sulla superficie 

di un liquido 

3.4.1 Sorgente in moto rispetto all’osservatore 

In questo caso, durante l’emissione di due fronti d’onda successivi (e quindi durante un 

periodo), la sorgente compie uno spazio (±vs · T ). Perciò, l’osservatore misurerà una 

lunghezza d’onda λ ′ diversa da quella propria. Dato che la velocità dell’onda dipende 

solo dal mezzo di propagazione, l’osservatore ne dedurrà una frequenza diversa da 

quella propria fs. In particolare, si ottiene: 

λ ′ = λ ± vs · T = c · T ′ = c 

f0 

=⇒ c 

fs 

− vs 

fs 

= c 

da cui risulta 

fo = 

1 

1 ± vO 

c 

fs 

dove il segno + si riferisce all’allontanamento e il segno − all’avvicinamento. 

3.4.2 Osservatore in moto rispetto alla sorgente 

f0 

(3.32) 

(3.33) 

Poniamo che l’osservatore si muova verso la sorgente ferma con velocità vo. In questo 

caso, λ rimane uguale, ma l’osservatore percepisce un maggior numero di creste al 

secondo dato che la sua velocità si somma a quella dell’onda, per cui rileva un periodo 

più breve. Questo implica 

λ = (vO + c)T = c T ′ =⇒ fo = 

c 

c + vO 

fs 

(3.34) 

Se l’osservatore si allontana, bisogna sottrarre alla sua velocità quella dell’onda. 

Basterà porre in (3.34) −v0 al posto di v0, e si ottiene nel caso generale: 

 

fo = 1 ∓ vO 

 

fs 

(3.35) 

c 

dove il segno − si riferisce all’allontanamento e il segno + all’avvicinamento. 


3.5. IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE 48 

Un esempio familiare è la variazione dell’altezza del suono dovuto al passaggio di 

un treno, quando questo si avvicina e poi si allontana. Un altro esempio noto è il 

radar che la polizia adopera per misurare la velocità di un automobile: le onde emesse 

dal radar vengono riflesse dall’ auto in moto che funge quindi da sorgente in moto. 

Citiamo ancora come ultimo esempio il famoso spostamento verso il rosso (red shift) 

della luce proveniente da galassie lontane. Poiché le galassie si allontanano, la luce che 

emettono viene spostata verso le lunghezze d’onda più grandi, corrispondenti al rosso. 

Misurando questo spostamento, si riesce a determinare la velocità con cui le galassie si 

allontanano da noi. 

3.5 Il principio di sovrapposizione 


Incominciamo con un esperimento. Una lunga molla, appoggiata su un tavolo, è trattenuta 

agli estremi in modo che sia leggermente tesa. Produciamo dapprima, dando 

una breve scossa alle due estremità , due impulsi all’incirca uguali e volti dalla stessa 

parte. Essi si muovono incontro e dove si sovrappongono la molla si rigonfia notevolmente. 

Dopo l’incontro le due creste riprendono le loro forme originarie continuando a 

propagarsi lungo la molla. Produciamo ora due impulsi di grandezza all’incirca uguale 

ma volti da parti opposte. Questa volta una cresta si muove incontro a una concavità 

, e dove le due perturbazioni si sovrappongono l’elongazione della molla è praticamente 

nulla. Dopo il loro incontro le due perturbazioni riprendono la forma originaria e 

continuano a propagarsi lungo la molla come cresta e come concavità . 

Da queste constatazioni si ricava che due onde si sovrappongono senza alterarsi. 

L’ampiezza dell’onda risultante nella zona di sovrapposizione si ottiene componendo 

vettorialmente le elongazioni delle singole onde. 

Il principio di sovrapposizione non vale solo per le onde su una molla ma per ogni 

tipo di onda. E’ possibile constatarne la validità per le onde sonore notando che le 

singole note attraversano imperturbate una zona rumorosa e continuano a propagarsi 

come se gli altri suoni non ci fossero. Vediamo ora qualche applicazione del principio 

di sovrapposizione. 

3.5.2 Interferenza di onde prodotte da due sorgenti in fase 

Una conseguenza diretta del principio di sovrapposizione è il fenomeno dell’interferenza. 

Esso avviene quando due o più moti ondosi coincidono nello spazio e nel tempo. Come 

esempio, si considerino due sorgenti puntiformi S1 e S2 (Fig. 3.13) che oscillano in fase 

con la medesima frequenza angolare ω e creano onde di superficie con ampiezze ξ1 e ξ2. 

Le rispettive equazioni sono 

ξ1(r1, t) = A1 sin(kr1 − ωt) = A1 e i(kr1−ωt) 

ξ2(r2, t) = A2 sin(kr2 − ωt) = A2 e i(kr2−ωt) (3.36) 



Figura 3.12: Due impulsi in una corda che si muovono in versi opposti con spostamenti 

che si rafforzano (a) e che si elidono (b) 

Figura 3.13: (a) Linee nodali e ventrali risultanti dall’interferenza di onde prodotte 

da due sorgenti identiche. (b) Figura di interferenza effettiva di onde sulla superficie 

dell’acqua. 



dove r1 e r2 sono le distanze di un punto P generico da S1 e S2 rispettivamente. Si 

osservi che benché le due sorgenti siano identiche, esse non produco no la medesima 

ampiezza al punto P se r1 e r2 sono diversi. In seguito, porremo per semplic ità che 

A1 = A2 = A. Usando la formula sin x + sin y = 2 sin( x+y 

2 

due onde nel punto P fornisce 

(ξ1 + ξ2) (P, t) = 2A cos k(r1 − r2) 

2 

) cos( x−y 

2 

 

k 

sin 

2 (r1 

 

+ r2) − ωt 

), la somma delle 

. (3.37) 

e l’onda risultante è quindi ancora un’onda armonica di ampiezza 2A cos k(r1 − r2)/2. 

L’ampiezza massima si ottiene quando cos k(r1 − r2)/2 = 1, vale a dire 

k(r1 − r2) 

2 

= 2π(r1 − r2) 

2λ 

= nπ , ⇒ r1 − r2 = nλ . (3.38) 

In questo caso si parla di interferenza costruttiva mentre si parla di interferenza 

distruttiva quando le due onde si elidono, cioè quando cos k(r1 − r2)/2 = 0 e si ha 

k(r1 − r2) 

2 

Riassumendo: 

= 2π(r1 − r2) 

2λ 

= (2n − 1) π 

2 ⇒ r1 − r2 = (2n − 1) λ 

2 

(1) Interferenza costruttiva =⇒ r1 − r2 = nλ 

(2) Interferenza distruttiva =⇒ r1 − r2 = (n − 1 

2 )λ 

. (3.39) 

(3.40) 

L’equazione r1 −r2 =| P S1 −P S2 | costante definisce un’iperbole con i fuochi in S1 e S2 

e le linee definite dai punti P che soddisfano la condizione (2) sono dette linee nodali. 

Lontano dalle sorgenti, le linee nodali sono quasi rettilinee poiché coincidono di fatto 

con gli asintoti dell’iperbole. Perciò , ponendo d come la distanza fra le sorgenti: 

| P S1 − P S2 | ∼ =| AS1 | ∼ 

= d sin θ =⇒ sin θ = n − 1 

 

λ 

(3.41) 

2 d 

Questa equazione permette di determinare l’inclinazione delle linee nodali a grandi 

distanze, ponendo successivamente n = 1, 2, 3, . . . . Il numero massimo per n per cui 

l’equazione è ancora risolvibile (sin θ ≤ 1) determina il numero di linee nodali presente. 

Per simmetria, si otterrà la stessa situazione facendo una simmetria assiale rispetto 

all’asse verticale passante fra le due sorgenti. 

3.5.3 Le onde stazionarie 

Consideriamo ora il caso in cui una corda abbia un’estremità fissato nel punto O, 

come indicato nella Fig. 13. Un’onda trasversale incidente, in moto verso sinistra, di 

equazione 

ξ(x, t) = ξ0 sin(kx + ωt) (3.42) 



Figura 3.14: Cambiamento di fase di un’onda riflessa in una corda con una estremità 

viene riflessa in O e produce una nuova onda che si propaga ora verso destra, con 

equazione 

ξ(x, t) = ξ0 ′ sin(kx − ωt). (3.43) 

Lo spostamento di un punto della corda è l’effetto della sovrapposizione delle due 

onde, vale a dire 

Nel punto O, x = 0, e abbiamo 

ξ(x, t) = ξ0 sin(kx + ωt) + ξ ′ 0 sin(kx − ωt). (3.44) 

ξ(x = 0 , t) = (ξ0 − ξ ′ 0) sin ωt . (3.45) 

Ma dato che il punto O è fisso, significa che ξ(x = 0 , t) = 0 ad ogni istante. Perciò 

ξ0 = ξ ′ 0. Perciò l’equazione (3.44) diventa 

da cui si ottiene 

ξ(x, t) = ξ0(sin(kx + ωt) + sin(kx − ωt). (3.46) 

ξ(x, t) = 2ξ0 sin kx cos ωt . (3.47) 

Questa equazione non rappresenta più un’onda in movimento, ma piuttosto un’oscillazione 

la cui ampiezza, variabile da punto a punto, è data da 

A(x) = 2ξ0 sin kx . (3.48) 

Come si può notare, esistono dei punti per cui l’interferenza delle due onde è distruttiva 

e l’ampiezza è sempre nulla, come nel caso delle sorgenti puntiformi. In questo caso 



però non si hanno delle linee ma un insieme discreto di punti, detti nodi, che si trovano 

in 

x = 1 

n λ , 

2 

n = 1, 2, . . . (3.49) 

I nodi sono quindi separati da una distanza pari a mezza lunghezza d’onda. 

Supponiamo ora di fissare anche l’altra estremità della corda, nel punto x = L. 

Tale condizione significa che il punto x = L deve essere un nodo e che deve soddisfare 

la condizione kL = nπ. Usando l’equazione (3.49), otteniamo 

L = 1 

2L 

nλ ossia λ = 

2 n 

= 2 = L , 2L 

2 

, 2L 

3 

, . . . (3.50) 

Questa seconda condizione limita automaticamente le lunghezze d’onda delle onde che 

possono propagarsi su questa corda ai valori forniti dall’equazione (3.50). Ricordando 

che la velocità di propagazione delle onde lungo una corda sottoposta a una tensione 

T e di densità lineare µ è data dall’espressione (3.16) 

 

T 

v = 

µ , (3.51) 

le frequenze di oscillazione permesse sono determinate da 

La frequenza 

fn = 1 

T 

= v 

λ 

 

= 

n 

2L 

T 

µ , n = 1, 2, . . . (3.52) 

f1 = 1 

 

2L 

T 

µ 

(3.53) 

è detta frequenza fondamentale. Le altre frequenze di oscillazione possibili (dette armoniche) 

sono tutte multipli di quella fondamentale. Si può affermare che le frequenze (e 

quindi anche le lunghezze d’onda) sono quantizzate, e che la quantizzazione è l’effetto 

delle condizioni al contorno imposte alle due estremità della corda. 


3.6. ANALISI E SINTESI ARMONICA 53 

3.6 Analisi e sintesi armonica 

3.6.1 Il principio di Fourier 

Nel 1801, il matematico francese Fourier enunciò un famoso teorema. 

Teorema di Fourier: una funzione periodica f(t) di periodo T può essere scomposta 

nella somma seguente di funzioni armoniche: 

f(t) = a0 + a1 sin ωt + a2 sin 2ωt + · · · + b1 cos ωt + b2 cos 2ωt + . . . (3.54) 

dove ω = 2π/T . 

Questa somma è detta serie di Fourier della funzione f(t), dove la frequenza ω è 

detta fondamentale e le frequenze multiple 2ω, 3ω , . . . sono dette armoniche. Questo 

fatto riveste un’importanza fondamentale, poiché ogni onda può essere scomposta, in un 

unico modo, in onde armoniche che sovrapposte formano nuovamente l’onda iniziale. 

3.6.2 Il timbro degli strumenti 

Se due strumenti diversi suonano la stessa nota, il nostro orecchio percepisce due suoni 

diversi. In questo caso si dice che le due note hanno un timbro diverso. Da cosa 

dipende il timbro? Due strumenti, sebbene producano vibrazioni alla stessa frequenza 

fondamentale, producono anche delle armoniche, le cui intensità relative dipendono 

strettamente dallo strumento. Senza la produzione di armoniche, tutti gli strumenti 

avrebbero lo stesso timbro. A questo proposito, bisogna introdurre la nozione di spettro 

che mette in relazione le frequenze presenti nel suono e la loro relativa densità di energia, 

ovvero quanto di quella componente di frequenza c’è nel suono. 

La figura (3.15) mostra i grafici dell’onda di pressione in funzione del tempo per un 

diapason, un clarinetto e una cornetta che suonano tutti la stessa nota. 

Figura 3.15: Forma d’onda (a) di un diapason, (b) di un clarinetto e (c) di una cornetta, 

con uguale intensità e frequenza 

Come si può vedere, queste tre funzioni sono tutte periodiche, e possiedono lo stesso 

periodo e quindi la stessa frequenza, ma solo il diapason è un’onda armonica pura. Le 

altre due possiedono anche delle armoniche. La figura (3.16) mostra lo spettro, cioè 

l’analisi delle armoniche nei tre casi precedenti. 



Figura 3.16: Spettro per (a) diapason, (b) clarinetto (c) cornetta 

Come si può notare, il diapason contiene solo la frequenza fondamentale (si parla di 

suono puro). Il clarinetto contiene quasi nella stessa misura le prime quattro armoniche 

dispari. Per la cornetta, l’energia è concentrata principalmente nella terza armonica, 

che è più presente della fondamentale. 

I grafici (3.17) e (3.18) rappresentano lo spettro della stessa nota (un LA) suonata 

da un pianoforte e da un violino. Come si può notare, nel pianoforte la fondamentale 

domina mentre nel violino le prime quattro armoniche sono presenti quasi in egual 

misura della fondamentale. Questo fatto spiega come mai il suono del violino risulta 

più stridulo rispetto al pianoforte. 

Figura 3.17: Spettro del LA suonato da un piano 



Figura 3.18: Spettro del LA suonato da un violino 

Ecco invece lo spettro del suono generato da piatti. 

Figura 3.19: Spettro del suono di un crash 

Salta subito all’occhio che non abbiamo più una distribuzione discreta (ovvero a 

intervalli regolari) di frequenze, ma queste si estendono su un’ampia fascia, con la 

fondamentale a circa 4000 Hz, fino ad arrivare a quasi 15000 Hz, con frequenze il cui 

valore e la cui densità sembra essere quasi casuale. Questo è evidente all’orecchio: 

il suono di piano e violino è infatti (quasi) periodico, mantiene fissa una nota (la 

nota fondamentale), il piatto invece ha un suono molto più irregolare. Riusciremmo a 

riconoscere la nota fondamentale, ma è chiaro che c’è una serie di suoni accessori non 

collegati direttamente alla fondamentale. Inoltre bisogna aggiungere che lo spettro è 

tanto più esteso quanto più il suono è corto. In generale i suoni percussivi (e i rumori) 

hanno infatti uno spettro molto esteso. 

Il processo inverso dell’analisi armonica è la sintesi armonica, vale a dire la costruzione 

di una forma d’onda periodica arbitraria mediante le sue componenti armoniche. 


3.7. QUALCHE NOZIONE DI MUSICOLOGIA 56 

Questo è il principio dei sintetizzatori elettronici (detti anche moog dal loro inventore 

Robert Moog) che producono una serie di armoniche le cui ampiezze possono essere 

regolate arbitrariamente. Più armoniche vengono usate, migliore è l’approssimazione 

dell’onda e migliore è la qualità el sintetizzatore. I moog più sofisticati possono 

produrre suoni simili a qualsiasi strumento di un orchestra. 

3.7 Qualche nozione di musicologia 

3.7.1 Assonanza e dissonanza 

Già nell’antichità , era noto che due corde uguali, suonate assieme, producono un suono 

gradevole quando le lunghezze vibranti stanno fra loro in rapporti interi semplici, come 

ad esempio 1:2, 2:3, 3:5, ecc. Negli altri casi si ottiene una sensazione sgradevole. 

Questa constatazione, di natura puramente empirica, sembra sottostare alla seguente 

regola. 

Due suoni danno un accordo piacevole (assonanza) quando hanno molte armoniche in 

comune. In caso contrario, i suoni risultano dissonanti. 

Infatti, guardando l’eq (3.53) per le frequenze di una corda in tensione, vale a dire 

fn = n 

 

2L 

T 

µ , n = 1, 2, 3, . . . (3.55) 

si può notare che per un rapporto fra le lunghezze delle corde pari a 1:2, tutte le 

armoniche del suono più alto sono già contenute nel suono più basso. In questo modo, 

si ottiene il cosiddetto unisono, detto intervallo di ottava, che risulta molto gradevole. 

Se invece si ha un rapporto fra le lunghezze pari a 2:3, il rapporto fra le frequenze 

fondamentali f1 è di 3:2. Si realizza in questo modo l’intervallo di quinta dove metà 

delle armoniche del suono più alto sono già contenute nel suono più basso. 

Se i rapporti fra le lunghezze diventa più complicato, diminuisce sempre più il numero 

di armoniche in comune, e il suono risulta sempre meno gradevole. In particolare, 

si constata che le combinazioni più gradevoli si ottengono quando il rapporto fra le 

frequenze è esprimibile con due numeri interi. Nell’ordine di gradevolezza, si hanno i 

rapporti 1:2, 3:2, 4:3, 5:4, 6:5, 8:5 e 5:3. 

Queste combinazioni definiscono i cosiddetti intervalli che come vedremo prendono 

il loro nome dalla quantità di note fra le due note, compresi gli estremi. Nella tabella 

seguente, vengono caratterizzati gli intervalli consonanti principali. 

Da una combinazione oculata di suoni, è possibile costruire una scala musicale, in 

cui gli intervalli di frequenza fra successivi suoni seguono in qualche modo le regole 

empiriche viste in precedenza. Senza entrare nei dettagli, vogliamo dare nel prossimo 

paragrafo qualche informazione in merito alle due scale principali, quella diatonica (o 

naturale) e quella ben temperata. 



Nome Note (in C maj) Rapporto f No semitoni 

(in C maj) f/f0 

Ottava C - C 2 12 

Quinta C - G 3/2 7 

Quarta C - F 4/3 5 

Terza maggiore C - E 5/4 4 

Terza minore E - G 6/5 3 

Sesta maggiore C - A 5/3 9 

Sesta minore E - A 8/5 8 

Tabella 3.1: Intervalli consonanti principali 

3.7.2 La scala diatonica o naturale 

La scala diatonica è una scala musicale che utilizza intervalli di frequenza rappresentati 

dai rapporti fra gli interi più piccoli della serie armonica. Ci sono molte combinazioni 

possibili di intervalli per costruire una scala diatonica. Cominciamo ad analizzare le 

due principali, dette maggiore e minore. 

La scala maggiore si basa sulla cosiddetta triade maggiore costituita da una 

combinazione di suoni che hanno un rapporto 4:5:6 fra le loro frequenze fondamentali. 

Prendendo il Do come punto di base, si sale di 5/4 (intervallo di terza maggiore) per 

ottenere il Mi, e poi di 6/5 (intervallo di terza minore) ottenendo il Sol. Si ottiene 

cosi un intervallo fra Sol e Do di 3/2 (intervallo di quinta). Il Do, che è la prima nota 

della scala è detto la tonica, il Mi è detto la caratteristica e il Sol la dominante. Dalla 

dominante, qui il Sol, è possibile costruire una seconda triade maggiore, ottenendo con 

una terza maggiore la cosiddetta sensibile, il Si e con una terza minore la sopratonica, 

il Re. Scendendo dal Do di una quinta, si ottiene la cosiddetta sottodominante, il Fa, 

da cui con lo stesso schema si ottiene il La (la sopradominante) e poi di nuovo il Do. 

In questo modo, si ottengono tutte le sette note della scala diatonica di Do, vale a dire 

Do Re Mi Fa Sol La Si 

che nella notazione anglossassone diventano 

C D E F G A B 

Queste note rappresentano di fatto i tasti bianchi nel pianoforte. D’ ora in poi useremo 

spesso la seconda notazione. 

Vediamo quindi che la scala maggiore si basa sulle tre triadi maggiori (4:5:6): 

C,E,G o Do-Mi-Sol 

G,B,D o Sol-Si-Re 



Figura 3.20: Tasti del pianoforte 

F,A,C o Fa-La-Do 

Nella seguente tabella è esplicitato il risultato della costruzione: 

1 

9 

8 

5 

4 

4 

3 

C D E F G A B C 

9 

8 

10 

9 

16 

15 

9 

8 

3 

2 

Tabella 3.2: Rapporti fra le frequenze nelle note della scala diatonica maggiore rispetto 

alla tonica C (sopra) e per note adiacenti (sotto) 

10 

9 

Come si può notare dalla tabella, risultano tre tipi di intervalli per note adiacenti: 

quello maggiore (9/8), 

quello minore (10/9), 

il semitono (16/15). 

Questi intervalli sono alla base della scala diatonica maggiore. Ogni scala maggiore 

si basa su una nota che fungerà da tonica e dalla sequenza di intervalli indicati nella 

prima riga della tabella (3.2). 

Se la frequenza della tonica è f, la successione di frequenze sarà determinata quindi 

da 

f, 9 5 4 3 5 15 

f, f, f, f, f, f, 2f 

8 4 3 2 3 8 

Di fatto, le frequenze della scala diatonica di C (Do) sono calcolate utilizzando come 

base A4 (La4) a 440 Hz, ciò che fornisce per il C4 264 Hz. 

Quindi nell’ottava di una scala maggiore cinque degli intervalli sono toni (due semitoni), 

e due (il terzo e il settimo) sono semitoni: la successione degli intervalli che 

SUPSI-DTI Corso di Fisica e Modellistica Prof. Andrea Danani 

5 

3 

9 

8 

15 

8 

16 

15 

2


si incontrano eseguendo una scala dipende dalla nota con cui si comincia (la tonica) e 

i cinque tasti neri aggiuntivi (i diesis (♯) o bemolli (♭)) permettono i salti di un semitono 

verso l’alto (♯) o verso il basso (♭) nelle scale diverse da quella di C in modo da 

preservare la sequenza che definisce la scala. 

Per le scale dette minori, si utilizzano le triadi che hanno un rapporto fra le 

frequenze dato da 10:12:15. Queste sono date da: 

A,C,E o La-Do-Mi 

E,G,B o Mi-Sol-Si 

D,F,A o Re-Fa-La 

La costruzioni delle scale avviene come per le maggiori e le suddette triade danno luogo 

a una scala con i rapporti fra le frequenze dati dalla tabella (3.3). 

1 

9 

8 

6 

5 

4 

3 

A B C D E F G A 

9 

8 

16 

15 

10 

9 

9 

8 

3 

2 

Tabella 3.3: Rapporti fra le frequenze nelle note della scala diatonica minore rispetto 

alla tonica A (sopra) e per note adiacenti (sotto) 

3.7.3 I modi 

Nella musica dell’antica Grecia, la scala poteva cominciare da qualsiasi nota della scala 

diatonica e i semitoni capitavano in una posizione diversa a seconda della nota da cui 

si partiva; queste scale erano chiamate modi. 

E’ quindi possibile costruire sette modi senza inserire alcuna alterazione, semplicemente 

ordinando la sequenza da un’altra nota. Questi modi sono elencati nella tabella 

3.4 

Come visto in precedenza per le scale maggiori e minori, tutti questi modi hanno 

la caratteristica di possedere un gruppo di note fra cui vi sono due toni, come c - d - e, 

ed un altro con tre toni, quali f - g - a - b, separati ognuno da due semitoni, quali quelli 

fra e e f e quello fra b e c. Un ordinamento di questo tipo, tipico della scala diatonica, 

ha una certa importanza, perché ad esempio scale medioorientali con sette note non 

hanno questa caratteristica. 

I modi greci scomparirono dalla musica durante i primi secoli dell’era cristiana e 

furono rimpiazzati dai modi ecclesiastici che ebbero il loro periodo di maggior fulgore 

dall’ 800 al 1500. Questi modi erano alla base del canto Gregoriano. Essi vennero 


16 

15 

8 

5 

9 

8 

9 

5 

10 

9 

2


Nome Nota Scala 

iniziale 

Ionio C c - d - e - f - g - a - b 

Dorico E d - e - f - g - a - b - c 

Frigio E e - f - g - a - b - c - d 

Lidio F f - g - a - b - c - d - e 

Missolidio G g - a - b - c - d - e - f 

Eolio A a - b - c - d - e - f - g 

Locrio B b - c - d - e - f - g - a 

Tabella 3.4: Modi 

impiegati anche in composizioni polifoniche come quelle di Palestrina. Anche se caddero 

in disuso nel diciassettesimo secolo, qualcosa di questi modi sopravvive nella musica 

popolare di alcuni paesi e qualche compositore li usa ancora. Generalmente però nella 

musica occidentale sono sopravvissuti solo la scala maggiore e la scala minore che si 

adattano meglio alla nostra armonia. 

3.7.4 La scala temperata 

Le due tabelle (3.2) e (3.3) illustrano in modo indiretto le difficoltà pratiche che si 

incontrano utilizzando tali scale: ogni ottava richiede almeno una trentina di frequenze 

diverse. Ciò rende molto difficile l’accordatura di strumenti che abbiano le note fissate 

per suonare in una data tonalità. Per ovviare a questa difficoltà, è stata introdotta 

la scala detta temperata. Questa scala rinuncia all’esattezza dei rapporti ideali e sostituisce 

ad essi una suddivisione dell’ottava in 12 intervalli in modo che il rapporto 

fra due note adiacenti sia uguale per tutti gli intervalli. Questi 12 intervalli vengono 

comunemente chiamati semitoni temperati. Dato che ogni semitono implica un fattore 

q e che vi sono 12 intervalli, si dovrà avere che q 12 = 2. Questo implica che un semitono 

ha un valore di 12√ 2 = 1.059463. Questo sistema trae origine da una pratica empirica 

diffusa nel XVII secolo per l’accordatura degli strumenti a pizzico e che fu teorizzata 

dal musicista tedesco Andreas Werkmeister nel 1691. I due volumi del Clavicembalo 

ben temperato di J.S. Bach, contenenti ciascuno 24 preludi e fughe in tutte le tonalità 

della scala temperata costituiscono una esemplificazione monumentale delle possibilità 

compositive di questo sistema. Per mettere in risalto la differenza con la scala naturale, 

la seguente tabella riporta le frequenze delle sette note nei due casi, assumendo come 

base 440 Hz per il La4. 

Nel sistema temperato, diesis e bemolle vengono trattati in un modo più semplice. 

Per esempio, nell’intervallo di sesta minore (8 semitoni con rapporto di frequenza 8/5), 



Scale musicali e frequenze 

Scala temperata Scala naturale 

Nota f(Hz) f/fC f(Hz) f/fC 

C/Do 261.63 1.000 264 1.000 

D/Re 293.66 1.122 297 1.125 

E/Mi 329.63 1.260 330 1.250 

F/Fa 349.23 1.335 352 1.333 

G/Sol 392.00 1.498 396 1.500 

A/La 440.00 1.682 440 1.667 

B/Si 493.88 1.888 495 1.875 

Tabella 3.5: Confronto fra scala naturale e quella ben temperata 

La♭ dovrebbe avere un rapporto di frequenza pari a 1.6 per essere una terza maggiore 

perfetta (5/4) dal Do superiore della scala. Per rendere l’intervallo Mi-Sol♯ una terza 

maggiore naturale, il Sol♯ dovrebbe avere un rapporto di frequenza pari a (5/4) 2 = 

25/16 = 1.5625. Perciò Sol♯ e La♭ non coincidono. Nel sistema temperato sia il Sol♯ 

che il La♭ sono rappresentati dallo stesso tasto nero con un rapporto di frequenza uguale 

pari a q 8 = 1.587401. Come si vede, in questa scala, gli intervalli anche se leggermente 

sbagliati, sono gli stessi in tutte le tonalità e quindi sono tutti ugualmente intonati (o 

fuori tono). 

Nella scala maggiore del sistema temperato, la successione dei toni (indicati con 2) 

e dei semitoni (1) è (2,2,1,2,2,2,1), come risulta dalla tabella 3.2. Per fare un esempio, 

costruiamo la scala maggiore di G, vale a dire la dominante della scala di C. Partendo 

dal Sol (G) e riproducendo la sequenza precedente, otteniamo La (due semitoni Sol- 

Sol ♯ e Sol ♯-La),Si,Do,Re, Mi,Fa ♯,Sol. E’ necessario introdurre il Fa ♯ in quanto 

l’intervallo Mi-Fa corrisponde solo a un semitono a cui va aggiunto il semitono Fa-Fa ♯ 

per ottenere la sequenza giusta. L’ultimo semitono deriva dall’intervallo Fa ♯-Sol. 

Nella scala minore la successione degli intervalli è (2,1,2,2,1,2,2) (vedi tabella 3.3; 

ci sono tre varianti della scala minore nelle quali gli ultimi tre intervalli possono essere 

2,1,2 oppure 2,2,1 (melodica discendente che è il modo eolio e melodica ascendente) o 

addirittura 1,3,1 (armonica). Nella scala di La minore ad esempio queste tre varianti 

vengono ottenute introducendo il Fa ♯, il Sol ♯ , o entrambi al posto del Fa e del Sol 

naturali. 

Il sistema temperato soffre dell’approssimazione delle vere terze e quinte: ad esempio 

l’intervallo di terza (tra Do e Mi) che vale 1.25 nella scala naturale diventa 1.26 

in quella temperata, un intervallo facilmente percepibile da un orecchio allenato. Ma 

questa deficienza è largamente compensata dalla facilità dell’uso delle stesse note in 

tutte le scale, il che permette facili modulazioni - vale a dire il passaggio da una scala 

ad un’altra - e trasposizioni - cioè quando un brano originariamente in una scale viene 

suonata in un’altra. Da ultimo si noti che, anche se questi concetti e metodi possono 



apparire difficili, in realtà non sono che la formalizzazione di conoscenze intuitive note 

a tutti, dato che ogni persona che canta sa trasporre naturalmente un po’ più in alto 

o in basso. Si dice anche che la scala ben temperata è in qualche modo sgradevole ai 

musicisti dall’orecchio raffinato. Di fatto la maggior parte della gente, alcuni musicisti 

inclusi trovano difficile distinguere gli intervalli perfetti della scala naturale dagli 

intervalli della scala temperata. 

3.7.5 Caratteristiche degli intervalli musicali 

Nella musica occidentale, soprattutto a partire dal ’700, è stata sviluppata in modo 

molto marcato l’armonia, vale a dire l’arte di suonare molti suoni assieme. L’importanza 

dell’armonia ha però comportato la perdita di alcune caratteristiche musicali 

che sono state invece sviluppate da altre civiltà . Ad esempio la musica indiana ha 

mantenuto una larga varietà di modi mentre come abbiamo visto, la musica europea 

ha ridotto tutto a soli due modi, quello maggiore e quello minore. La musica africana 

ha sviluppato ritmi che variano durante lo svolgimento del brano e sovrapposizioni di 

ritmi (poliritmo), mentre in occidente si è rimasti su ritmi con metri fissi a multipli di 

2 e 3 (nei Balcani vengono usati anche metri a 5 e 7). Inoltre timbri e effetti speciali 

sono quasi assenti per non disturbare l’effetto armonico. 

Come già visto in precedenza, vi sono diversi intervalli possibili nella scala e il nome 

dell’intervallo indica la quantità di note fra le due note, compresi gli estremi. E’ maggiore 

o minore a seconda di quanti semitoni ci sono nell’intervallo. Essere maggiore o 

minore, come vedremo, influisce molto sul senso dell’intervallo. La definizione che ne 

viene fornita normalmente non aiuta più di tanto a riconoscerli e distinguerli immediatamente, 

ad orecchio per cosi dire. Il fatto è che ogni intervallo ha una caratteristica 

emotiva o comunque peculiare, che lo rende unico e riconoscibile. 

Ovviamente la dimostrazione sta nello stesso ascolto dell’intervallo per il quale verranno 

dati alcuni esempi di musiche famose che lo contengono, in modo da constatarne 

la personalità specifica, come se lo si estraniasse dalle due note che lo compongono e 

assumesse un proprio carattere. Ecco un breve elenco: 

Intervallo di 6a: Sesta maggiore e Sesta minore 

è detto l’intervallo del cuore, del sentimento. Questo intervallo suscita una varia 

gamma di emozioni nel senso più letterario, classico della parola: come nostalgia, 

innamoramento, gioia di stare assieme in compagnia, e anche lutto (se la sesta è 

minore). Pensiamo alle note iniziali del tema del film Love story che rappresentano 

un intervallo di 6a minore. Oppure il famoso spot della Coca-cola Vorrei 

cantare insieme a voi..., che richiama alla gioia dell’amicizia, cosi come il richiamo 

nostalgico non avvilente in Azzurro di P. Conte, le cui prime due note formano 

proprio una sesta maggiore. 

Intervallo di 3a: Terza maggiore e Terza minore 



è l’intervallo-melodico-base, quello primordiale e forma la prima melodia che sentiamo. 

Non per niente le ninna-nanna sono formate da intervalli di terza; cosi 

come le canzoni popolari. E’ l’intervallo che più spesso fischiettiamo quando siamo 

sovrappensiero, quello più elementare! Pensiamo al famoso Giro-giro tondo o 

Fra Martino Campanaro: sono intervalli di terza. Il pop è pieno di famosi cantati 

con le terze (Ticket to ride e Hey Jude dei Beatles). La facilità d’intonazione gli 

permette di essere usato anche in situazioni più colte come un passaggio armonico 

che permette di spostarsi senza perdere il senso della melodia (ad esempio il 

galoppo nella Cavalcata delle Valchirie di Wagner). 

Intervallo di 8a : 

è l’intervallo che suggerisce la potenza, che dà forza, un’esclamazione ineluttabile, 

di cui non si può dubitare come nell’inizio della Nona Sinfonia di Bruckner. Inizia 

con un intervallo di 8a anche Singing in the rain, conferendo subito una grossa 

spinta alla composizione. 

Intervallo di 2a: 

qui si tratta di un effetto derivante dalla struttura delle scale. E’ un intervallo 

che funge da breve spostamento o per arrivare alla melodia dell’intervallo di 

3a o per lasciare in sospeso la melodia prima che torni alla nota iniziale. E’ 

comunque un passo, che sospende in attesa che succeda qualcosa da definire 

(l’inizio della beatlesiana Yesterday). Può essere usato apposta per bombardare 

l’orecchio in attesa della soluzione, come in Centro di gravità permanente di 

Battiato. In particolare va rilevato che la seconda minore ha un uso ulteriore: 

quello di esprimere dolore, lamento o comunque destabilizzazione; soprattutto se 

si sposta l’intero accordo (avanti o indietro di un semitono) 

Intervallo di 7a: 

è chiaramente un intervallo che suona esagerato, fuori misura, teso. Si sente 

che la melodia creata dall’intervallo è sbilanciata e ha bisogno di un’immediata 

soluzione: in genere si torna indietro alla tonica (la nota base delle melodie, 

quella che da il senso di riposo). Da ascoltare ad esempio Give peace a chance di 

Lennon, tra is e give nel ritornello ...all we are saying is give peace a chance.... 

Discorso a parte e più complesso per gli intervalli di Quinta e di Quarta(es. Do-Sol, 

Do-Fa ): sono gli intervalli strutturali, su di loro poggiano le melodie per concludersi o 

per svilupparsi. A seconda del loro uso aprono o chiudono o semplicemente permettono 

la continuazione del suonare. Bisogna sempre usare il buon senso e capire che tali 

posizioni e significati possono cambiare e assumere sfumature più variegate a seconda 

del contesto della specifica composizione o del ritmo impresso alla melodia. Il senso 

generale qui esposto rimane, tuttavia, abbastanza valido e universale. 




Capitolo 4 

Fenomeni elettrici 

4.1 Carica elettrica e legge di Coulomb 

4.1.1 Proprietà delle cariche elettriche 

L’esistenza di forze e di cariche di natura elettrica fu verificata attraverso l’ osservazione 

che alcuni materiali strofinati sulla lana erano in grado di attrarre piccoli pezzi di carta. 

In tali circostanza si dice che tali corpi risultano elettrizzati o elettricamente carichi. Nel 

1734 il botanico francese Charles DuFay rivelò l’esistenza di due differenti tipi di carica 

elettrica alla quale fu attribuito da Benjamin Franklin nel 1747 la denominazione di 

positiva o negativa. Tale caratteristica viene evidenziata, ad esempio, dal fatto che una 

bacchetta di bachelite che sia stata strofinata con un panno di lana e sospesa ad un filo 

metallico viene attratta da una barretta di vetro strofinata con un panno di seta mentre 

viene respinta da una bacchetta di bachelite elettrizzata. Il processo dell’elettrizzazione 

per strofinio mette, per altro, in luce la manifestazione di un’importante principio. In 

tale circostanza non viene a crearsi della carica ma questa viene trasferita da un corpo 

ad un’altro; cosi, se un corpo acquista una carica positiva, l’altro acquista la medesima 

quantità di carica negativa. La conoscenza della struttura dell’atomo rivela che nei 

processi di elettrizzazione per strofinio alcuni elettroni della bacchetta sono strappati 

dall’azione abrasiva e vengono trasferiti al panno. Ciò porta a concludere che la carica 

totale si conserva in ogni processo. Nel 1909 Robert Millikan verificò sperimentalmente 

che la carica elettrica si presenta sempre in multipli interi di un’unità fondamentale 

di carica e, ovvero la carica che si osserva risulta quantizzata esistendo sempre in 

quantità discrete. Pertanto la carica q di un corpo si può sempre esprimere come 

± Ne , dove N è un numero intero. In particolare un elettrone ha carica −e mentre 

un protone ha carica +e ; un atomo neutro contiene lo stesso numero di elettroni e 

di protoni. Nel 1785 Charles Augustin de Coloumb, facendo uso di una bilancia a 

torsione verificò che la forza elettrica tra due corpi carichi puntiformi è proporzionale 

all’inverso del quadrato della reciproca distanza. Alla luce di queste considerazioni 

possiamo riassumere brevemente le proprietà delle cariche elettriche stazionarie: 

65

4.1. CARICA ELETTRICA E LEGGE DI COULOMB 66 

Ci sono due tipi di cariche elettriche, con la caratteristica che cariche diverse si 

attraggono mentre cariche uguali si respingono; 

La carica si conserva; 

La carica è quantizzata; 

La forza tra cariche puntiformi è inversamente proporzionale al quadrato della 

mutua distanza. 

4.1.2 Isolanti e conduttori 

Originariamente si riteneva che i metalli non potessero essere caricati, ad esempio, per 

strofinio; tuttavia una bacchetta metallica sostenuta da un materiale come il vetro, può 

caricarsi. Ciò perché in tali materiali la carica si distribuisce rapidamente in tutto il 

corpo e l’interposizione del vetro tra il metallo ed il sostegno, rappresentato ad esempio 

dalla mano dell’operatore, impedisce il flusso della carica verso la terra. 

Cosi vetro e bachelite sono detti isolanti: la carica in tali materiali viene a localizzarsi 

in una regione del corpo e non si sposta; viceversa, in genere, i metalli sono 

conduttori: la carica tende a ridistribuirsi rapidamente nel corpo. Collegando attraverso 

un filo conduttore un materiale conduttore a terra (messa a terra) si agevola il flusso 

delle cariche verso tale corpo che agisce, quindi, come una sorta di serbatoio infinito 

di carica. Un procedimento alternativo all’elettrizzazione per strofinio prende il nome 

di elettrizzazione per induzione. Avvicinando un corpo carico, ad esempio negativamente, 

ad un conduttore neutro, la regione più prossima al corpo carico si carica di 

segno opposto mentre quella più lontana si carica dello stesso segno (di fatto gli elettroni 

del corpo neutro si spostano lasciando scoperta della carica positiva). Se il corpo, 

anziché essere isolato è connesso a massa, alcuni elettroni fluiscono verso massa, per 

cui, interrompendo la connessione il corpo resta carico positivamente. Allontanando 

successivamente il corpo carico la carica della sfera si distribuisce uniformemente nel 

corpo originariamente neutro per effetto della mutua repulsione delle cariche uguali. 

Infine un isolante può caricarsi per polarizzazione. Nelle molecole neutre i baricentri 

delle cariche positive e negative in genere coincidono; tuttavia in presenza di un corpo 

carico i baricentri si spostano caricando in modo non uniforme la molecola. Ciò 

determina la generazione di una carica indotta sulla superficie dell’isolante. 

4.1.3 La legge di Coulomb 

La legge che esprime l’intensità della forza elettrica che si esercita fra due particelle 

puntiformi cariche, rispettivamente di carica q1 e q2 , a riposo, poste alla mutua distanza 

r è data dalla relazione: 

F = k | q1 || q2 | 

r 2 . (4.1) 


4.1. CARICA ELETTRICA E LEGGE DI COULOMB 67 

Tale formula esprime la legge di Coulomb. L’unità di misura della carica è il coulomb 

(C). La costante k che compare nell’espressione della legge di Coulomb vale: 

e per definizione risulta: 

dove 

k = 8.98 × 10 9 Nm 2 /C 2 

k = 1 

4πε0 

ε0 ≈ 8.85 × 10 −12 C 2 /Nm 2 . 

è detta costante dielettrica del vuoto. La carica libera più piccola è quella dell’elettrone 

e risulta: 

| e | ≈ 1.60 × 10 19 C 

cosi 1C è la carica di circa 6.3 × 10 18 elettroni. 

Vettorialmente, se ˆr rappresenta il versore diretto da q1 a q2 , allora la forza elettrica 

esercitata su q2 per effetto di q1 è: 

F21 = 1 

4πε0 

q1q2 

ˆr , (4.2) 

r2 inoltre dalla legge di azione-reazione segue che la forza agente su q1 da q2 è data da 

F12 = − F21 (vedi Fig.4.1). 

Figura 4.1: Forza di Coulomb 

Se ci sono più cariche, la forza tra una coppie di cariche può essere ricavata dalla 

legge di Coloumb e la risultante è quindi la somma vettoriale delle forze dovute alle 

singole cariche; cioè le forze elettriche obbediscono al principio di sovrapposizione. 


4.2. CAMPO E POTENZIALE ELETTROSTATICO 68 

4.2 Campo e potenziale elettrostatico 

4.2.1 Campo elettrico 

Si definisce vettore campo elettrico E il rapporto tra la forza F che agisce su una carica 

di prova positiva q0 ed il valore di tale carica, vale a dire: 

E = F 

q0 

, (4.3) 

e tale grandezza si misura in N/C. 

Il concetto di campo consente di interpretare diversamente l’azione che si esplica tra 

due corpi carichi: è possibile rivedere tale interazione come l’interazione tra una carica 

ed il campo prodotto dall’altra carica, senza dover far ricorso all’azione a distanza 

(interazione diretta e istantanea) suggerita dalla legge di Coloumb. I mutamenti di 

posizione della carica che si assume dia origine al campo si propagano nello spazio 

alla velocità della luce in accordo con la teoria della relatività. Assegnata una carica 

puntiforme q posta a distanza r dalla carica di prova q0, secondo la legge di Coloumb 

(4.2), il campo elettrico prodotto dalla carica puntiforme q è dato da 

E = F 

q0 

= 1 q 

ˆr , (4.4) 

4πε0 r2 Nella Fig. (4.2) è mostrato il campo elettrico prodotto in corrispondenza di una carica 

di prova da una carica puntiforme positiva, in alto, e negativa, in basso. 

Figura 4.2: Campo elettrico con +q e −q 

Come conseguenza del principio di sovrapposizione, se E1, E2, . . . , 

EN sono i campi 

prodotti da N cariche, allora il campo complessivo è: 

E = E1 + E2 + · · · + EN 

(4.5) 



In particolare, per un sistema di N cariche puntiformi q1, q2, . . . , qN poste rispettivamente 

alle distanze r1, r2, . . . , rN dal punto in cui è stata posta la carica di prova, si 

ha: 

E = 1 

N qi 

ˆri , (4.6) 

4πε0 

dove come prima i vettori ˆri sono i versori fra la carica qi e la carica di prova. 

4.2.2 Linee di forza del campo elettrico 

Le linee di forza consentono una immediata visualizzazione della distribuzione spaziale 

del campo elettrico. Le loro caratteristiche sono: 

i=1 

Il vettore campo elettrico è tangente 

alle linee di forza in ogni punto 

Il numero di linee di forza per unità di 

superficie che attraversano una superficie 

ad esse perpendicolare è proporzionale 

all’intensità del campo elettrico in 

corrispondenza della superficie. 

Nell’esempio in figura, siccome la densità delle linee che attraversano la superficie 

A è superiore a quella delle linee che attraversano la superficie B, il campo elettrico in 

A è maggiore del campo in B. 

Le regole per disegnare le linee di forza per una distribuzione di carica sono: 

le linee di forza devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle cariche 

negative o all’infinito qualora il sistema abbia un eccesso di carica; 

il numero di linee di forza che entrano o escono da una carica è proporzionale alla 

carica; 

due linee di forza non si possono incrociare. 

Figura 4.3: Linee di forza del campo elettrico prodotto da due cariche puntiformi di 

segno opposto (sinistra) e uguale (destra) 


r 2 i


Il metodo di rappresentazione del campo elettrico attraverso le linee di forza presenta 

tuttavia alcune limitazioni. Innanzitutto la sua efficacia è circoscritta alla descrizione 

di campi statici essendo piuttosto complessa la rappresentazione dei campi generati da 

cariche in movimento; inoltre con questo metodo è impossibile applicare il principio di 

sovrapposizione. 

4.2.3 Il dipolo elettrico 

Il sistema costituito da due cariche uguali ma 

opposte q poste alla mutua distanza d prende 

il nome di dipolo elettrico. Calcoliamo il 

campo elettrico in un punto situato lungo la 

linea mediana perpendicolare alla retta congiungente 

le cariche e posto alla distanza x 

dalla congiungente stessa (si veda la figura 

a fianco). Indicando con E+ e E− i campi 

prodotti da ciascuna carica, per il principio 

di sovrapposizione si ha: 

E = E+ + E− , 

dove 

E+ = E− = 1 q 1 q 

= 

4πε0 r2 4πε0 x2 . 

+ d2 Dato che (E−)x = −(E+)x, il campo sarà diretto lungo l’asse y e varrà: 

da cui si ottiene che 

E = (E+)y + (E−)y = 2E+ cos ϑ , cos ϑ = 

E = 2 1 

4πε0 

q 

x2 + d2 d 

√ 

x2 + d2 = 1 

4πε0 

d 

√ x 2 + d 2 

p 

(x 2 + d 2 ) 3/2 

(4.7) 

dove p = q (2d) è detto momento di dipolo elettrico. In molte applicazioni risulta utile 

stabilire il campo elettrico a grande distanza dal dipolo, ossia per x ≫ d. In questo 

caso, troncando l’equazione (4.7) al primo termine dello sviluppo in serie, si ottiene: 

E = 1 p 

4πε0 x3 

1 + 

 

2 

−3/2 

d 

= 

x 

1 p 

4πε0 x3 

1 − 3 

2 

2 d 

+ . . . 

x 

 

≈ 1 p 

4πε0 x3 Analogamente, si può provare che per un punto posto lungo l’asse y, a grande distanza 

r dal dipolo, si ha: 

E ≈ 1 p 

. 

4πε0 y3 I due risultati appena riportati costituiscono un’indicazione di una caratteristica generale 

del dipolo; è infatti possibile provare che a distanza r dal dipolo, con r ≫ d, il 

campo elettrico varia come 1/r3 . 



4.2.4 Distribuzioni continue di cariche 

Qualora la separazione fra le singole cariche di un certo insieme e molto piccola rispetto 

alla distanza dal punto in cui si vuole calcolare il campo, è possibile considerare tale 

insieme come una distribuzione continua di carica. Consideriamo pertanto una certa 

distribuzione di carica e valutiamo il campo elettrico in un punto P . Il contributo al 

campo di un elemento ∆q di carica è: 

∆ E = 1 

4πε0 

∆q 

ˆr , 

r2 dove r è la distanza dell’elemento ∆q da P (vedi Fig.4.4). Chiamiamo con ∆qi l’i-esimo 

elemento di carica che costituisce la distribuzione di carica. Se la separazione fra tali 

elementi e piccola rispetto alla distanza dal punto P , la distribuzione può ritenersi 

continua, cosi, nel limite ∆qi → 0 si ha: 

∆ E = 1 

4πε0 

 

i 

∆qi 

r 2 i 

ˆri = 1 

 

4πε0 Q 

dq 

ˆr, (4.8) 

r2 dove l’integrazione è estesa a tutta la carica Q che costituisce la distribuzione. 

Figura 4.4: Campo elettrico di un elemento di carica ∆q 

Allo scopo di eseguire tale calcolo si rende opportuno introdurre il concetto di 

densità di carica. In particolare, se la carica è distribuita in un volume si definisce la 

densità di carica volumetrica ρ come 

ρ = dq 

. (4.9) 

dV 

Da notare che ρ è una funzione della posizione, vale a dire ρ = ρ(r) dove il vettore r 

spazzola tutta la carica, e si misura in C/m 3 . In modo analogo si definiscono le densità 

di carica superficiale σ = dq/dS e la densità di carica lineare λ = dq/dl. Naturalmente, 

qualora una carica q è uniformemente distribuita in un volume V o su di una superficie 

S o lungo una linea l allora si ha, rispettivamente, ρ = q/V , σ = q/S e λ = q/l. 

ESEMPIO 4.1. Campo elettrico generato da un filo lungo e sottile che porta una densità 

lineare λ di carica. 


4.3. LA LEGGE DI GAUSS 72 

Soluzione: Suddividiamo il filo in piccoli tratti di lunghezza dx, portanti una carica dq = 

λdx. L’intensità del campo elettrico prodotto dall’elemento dx in P a una distanza d dal filo 

è 

dE ′ = 1 λdx 

4πε0 r2 ed il campo è diretto come indicato in Fig.(4.5). Per la simmetria del problema, le componenti 

parallele al filo si annullano e rimangono solo le componenti radiali date da dE ′ cos θ. 

Figura 4.5: Campo elettrico di un filo carico infinito 

Il campo elettrico risultante sarà perciò dato da: 

 

E = 

 

dE = dE ′ cos θ = λ 

 

dx 

cos θ . 

4πε0 r2 Dalla figura, risulta r = d/ cos θ e x = d tan θ, per cui dx = (d/ cos 2 θ) dθ. Facendo le debite 

sostituzioni, integrando su metà filo da θ = 0 a θ = π/2 (se poniamo per semplicità L → ∞) 

e moltiplicando per un fattore due, si ottiene: 

E = 2λ 

4πε0d 

π/2 

Pertanto il campo elettrico varia come d −1 . 

4.3 La legge di Gauss 


0 

cos θ dθ = λ 

2πε0d . 

La legge di Gauss è una riformulazione della legge di Coulomb che risulta particolarmente 

utile quando il sistema in esame presenta certe simmetrie. Di fondamentale 

importanza nella legge di Gauss è un’ipotetica superficie chiusa chiamata superficie 

gaussiana. Essa può avere qualsiasi forma ma verrà scelta con una simmetria simile 

a quella del problema: si tratterà spesso di una sfera, un cilindro, o qualsiasi altra 

forma simmetrica. Deve comunque essere sempre una superficie chiusa, in modo che si 



possa fare una distinzione tra i punti all’interno e quelli all’esterno della superficie. La 

legge di Gauss mette poi in relazione i campi sulla superficie gaussiana con le cariche 

racchiuse all’interno. 

4.3.2 Flusso di un campo vettoriale 

Consideriamo un campo vettoriale v e supponiamo 

che le linee di forza corrispondenti siano tutte parallele 

tra loro. Consideriamo una superficie di area 

S disposta perpendicolarmente alle linee di forza (si 

veda la figura a fianco). Poiché il numero di linee 

di forza per unità di area di un vettore è proporzionale 

al modulo del vettore, una misura del numero 

di linee di forza passanti attraverso la superficie è 

proporzionale al prodotto vS . Questa grandezza 

prende il nome di flusso φ del vettore v attraverso la 

superficie S: φ = vS 

Qualora la superficie forma un angolo θ con le linee 

di forza di v risulterà: 

φ = vS cos θ , (4.10) 

essendo il numero di linee che attraversa S pari al 

numero di linee che attraversa l’area proiettata S ′ , 

perpendicolare al campo (si veda la figura). 

Se si definisce un versore normale ˆn alla superficie S, si può definire il flusso φ come: 

dove il vettore superficie è definito da S = ˆnS 

Nel caso generale il vettore v può variare in corrispondenza 

dei punti della superficie S attraverso la 

quale si vuole calcolare il flusso; cosi per poter applicare 

la precedente definizione occorre suddividere tale 

superficie in elementi infinitesimi ds in corrispondenza 

dei quali la variazione del vettore v può essere 

considerata trascurabile, allora il flusso elementare 

di v attraverso ds sarà: 

φ = v · ˆnS = v · S (4.11) 

dφ = v · d S (4.12) 



Pertanto la misura del numero di linee di forza del campo v che attraversano tale 

superficie è: 

4.3.3 La legge di Gauss 

 

φ = 

S 

v · d S (4.13) 

Poiché in generale la superficie può anche essere 

chiusa (si veda la figura), occorre stabilire una convenzione 

circa il verso di ˆn. In questo contesto tale 

versore è scelto uscente dalle superfici chiuse. Con 

questa convenzione il prodotto v·ˆn sarà positivo laddove 

il campo è uscente dalla superficie considerata 

e sarà negativo dove il campo è entrante. 

La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto φ del campo elettrico attraverso 

una superficie chiusa con la carica netta Qint che è racchiusa all’interno della superficie. 

Vale a dire: 

ε0φ = Qint 

(4.14) 

che con la definizione di flusso derivante dall’equazione (4.13) applicata al campo 

elettrico E diventa 

 

φ = E · d S . (4.15) 

S 

Il cerchietto sul segno di integrale indica che l’intera superficie su cui viene calcolato 

l’integrale è una superficie chiusa. 

Se la carica è esterna alla superficie chiusa (si veda la figura) il numero di linee di 

forza entranti è pari a quello delle linee uscenti, cosi il flusso totale del campo elettrico 

che attraversa una superficie chiusa che non circonda alcuna carica è nullo. Per questo 

motivo, nell’equazione (4.14) si fa riferimento solamente alla carica interna Qint. 

Le equazioni (4.14) e (4.15) valgono solo per cariche nel vuoto o in aria. Per 

includere il caso di mezzi materiali, quali olio, mica, vetro, ecc, bisogna apportare 

alcune modifiche alle equazioni. 



Vediamo ora di dedurre la legge di Coulomb da quella 

di Gauss. A questo proposito consideriamo una 

carica positiva puntiforme q posta al centro di una 

sfera gaussiana di raggio r (vedi figura a fianco). Per 

ragioni di simmetria, il campo elettrico E è radiale, 

quindi perpendicolare alla superficie, e si dirige dall’interno 

verso l’esterno. L’angolo fra E e d S è nullo, 

quindi la legge di Gauss si può scrivere in questo caso 

come 

 

ε0 

E · d 

S = ε0 E dS = q (4.16) 

S 

S 

Ma dato che il campo elettrico è costante su tutta la sfera, può essere portato fuori 

dall’integrale, quindi 

 

ε0E dS = q . (4.17) 

S 

Nell’integrale non rimane che il contributo dei dS che sommati danno semplicemente 

la superficie della sfera, vale a dire 4πr 2 , perciò 

ossia 

E = 1 q 

4πε0 r2 che corrisponde proprio alla legge di Coulomb. 

ε0E(4πr 2 ) = q (4.18) 

(4.19) 

ESEMPIO 4.2. Consideriamo un filo di lunghezza infinita lungo il quale e uniformemente 

distribuita una carica con densita lineare λ. Si desidera conoscere il valore del campo elettrico 

in tutto lo spazio. 

Soluzione: La simmetria della distribuzione di carica suggerisce che il campo elettrico deve 

essere perpendicolare al filo carico e uscente. Consideriamo una superficie cilindrica S di 

raggio r e lunghezza l coassiale col filo (nella figura, in alto; in basso la superficie e mostrata 

in sezione); il flusso attraverso le superfici di base e nullo essendo il campo elettrico parallelo 

a tali superfici, quindi: 

φ( 

 

E) = E dS = E 

S 

S 

dS = 2πrlE . 

D’altra parte per la legge di Gauss risulta che: 

pertanto 

φ( E) = 2πrlE = q/ε0 = λl/ε0 , 

E = 1 λ 

2πε0 r . 


4.4. CONDUTTORI IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO 76 

Si osservi che se il filo non è infinito viene a cadere la simmetria e diventa inutile l’applica- 

zione della legge di Gauss per la determinazione del campo elettrico; tuttavia questo risultato 

resta valido per un filo di lunghezza finita L nel limite r ≪ L per punti sufficientemente 

distanti dalle estremità del filo. 

4.4 Conduttori in equilibrio elettrostatico 

Dal punto di vista microscopico, un buon conduttore elettrico può essere generalmente 

rappresentato come un reticolo atomico immerso in un gas di elettroni liberi di muoversi 

all’interno del materiale. In assenza di un moto netto degli elettroni in una particolare 

direzione, il conduttore è detto in equilibrio elettrostatico. In tale circostanza valgono 

le seguenti proprietà: 

Il campo elettrico all’interno del conduttore è ovunque nullo; 

Un qualunque eccesso di carica su conduttore deve localizzarsi superficialmente. 

All’esterno del conduttore, in prossimità della superficie, il campo elettrico è 

perpendicolare alla superficie ed ha intensita pari a σ/ε0, dove σ è la densita 

superficiale di carica. 

Su un conduttore di forma irregolare la carica tende ad accumularsi nei punti in 

cui la curvatura della superficie è maggiore, ovvero sulle punte 

La prima proprietà può essere compresa considerando una lastra conduttrice immersa 

in un campo elettrico. All’applicazione del campo, gli elettroni si muovono verso 

sinistra causando un accumulo di carica negativa a sinistra e positiva a destra. Queste 

cariche creano un campo elettrico opposto al campo esterno; la densità superficiale 

di carica cresce fino a che l’intensità di questo campo non uguagli quella del campo 

esterno, dando luogo ad un campo nullo all’interno del conduttore; i tempi tipici 

per raggiungere tale condizione di equilibrio sono dell’ordine di 10 −16 sec per un buon 

conduttore. 

Consideriamo un conduttore in equilibrio elettrostatico; 

all’interno del conduttore consideriamo una superficie 

chiusa S prossima quanto si vuole alla superficie 

del conduttore (si veda la figura a fianco). Poiché 

all’interno del conduttore il campo elettrico è nullo, 

dalla legge di Gauss segue che all’interno della superficie 

S è quindi del conduttore la carica netta è nulla. 

Pertanto se il conduttore è carico, tale carica deve 

situarsi sulla superficie. 


4.4. CONDUTTORI IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO 77 

Consideriamo ora un conduttore carico all’equilibrio 

e facciamo riferimento ad una superficie S a 

forma di cilindro con le superfici di base A sufficientemente 

piccole da potersi ritenere localmente 

parallele alla superficie del conduttore e con parte 

del cilindro contenuta nel conduttore (vedi figura 

a sinistra). Attraverso la parte interna il flusso 

del campo elettrico è nullo essendo nullo il campo 

elettrico internamente al conduttore. 

Inoltre il campo è normale alla superficie perché qualora vi fosse una componente tangenziale 

determinerebbe un moto delle cariche e quindi una condizione di non equilibrio. 

Perciò è nullo il flusso anche attraverso la superficie laterale del cilindro. Così il flusso 

attraverso la superficie del cilindro è EnA essendo En il campo elettrico in prossimità 

della superficie esterna del conduttore. Applicando la legge di Gauss alla superficie del 

cilindro si ha quindi: 

E · d S = σA 

= q 

, 

S 

dove σ è la densita locale di carica superficiale. Ne segue che, siccome En è pari a E · ˆn, 

dove ˆn è il versore normale alla superficie del conduttore, allora: 

ε0 

E = σ 

ˆn ; 

tale espressione prende il nome di Teorema di Coloumb. L’ultima proprietà elencata 

dei conduttori in equilibrio sarà provata nel paragrafo (4.5.5). 


ε0 

ε0

4.5. IL POTENZIALE ELETTRICO 78 

4.5 Il potenziale elettrico 

4.5.1 Definizione 

Abbiamo già visto che le forze di tipo centrale, che dipendono cioè solo dalla sola 

distanza da un centro, sono forze conservative; quindi anche la forza espressa dalla 

legge di Coulomb appartiene a questa categoria. Se una carica q0 è immersa in un 

campo E, la forza F a cui è soggetta vale q0 E. Il lavoro fatto da questa forza in 

corrispondenza di uno spostamento infinitesimo d l della carica vale: 

dL = F · d l = q0 E · d l (4.20) 

Per definizione, il lavoro fatto da una forza conservativa è pari alla variazione di energia 

potenziale dU cambiata di segno: 

dU = −dL = −q0 E · d l . (4.21) 

In corrispondenza di uno spostamento finito di q0 dal punto A al punto B, la variazione 

di energia potenziale è data da: 

∆U = UB − UA = −q0 

B 

A 

E · d l , (4.22) 

dove l’integrale non dipende dal cammino scelto essendo il campo E conservativo. La 

differenza di potenziale tra i punti A e B è definita come la variazione dell’energia 

potenziale per unità di carica, ovvero: 

∆V = VB − VA = UB − UA 

q0 

B 

= − 

A 

E · d l . (4.23) 

In generale si usa assumere che la funzione potenziale elettrostatica si annulla all’infinito; 

allora, ponendo V (∞) = 0, il potenziale in corrispondenza di un generico punto 

P vale: 

P 

VP = − E · d 

∞ 

l , (4.24) 

espressione che può essere riguardata come il lavoro necessario per trasportare una 

carica unitaria dall’infinito al punto P. 

L’unità di misura del potenziale è il volt (V) e risulta 1V = 1J/1C, cosi 1 V 

rappresenta il lavoro che deve essere fatto per far superare ad una carica di 1C una 

differenza di potenziale di 1V . L’introduzione del volt consente inoltre di riscrivere 

l’unità di misura del campo elettrico in V/m che rappresenta l’unità tradizionalmente 

più usata per questa grandezza. In fisica atomica e nucleare è d’uso comune per la 

misura dell’energia l’elettronvolt (eV ), definito come l’energia che un elettrone (o un 

protone) acquista quando viene accelerato mediante una differenza di potenziale di 1V . 

Siccome 1V = 1J/1C e la carica dell’elettrone (protone) è di 1.6 × 10−19 C, si ha che 

1eV = 1.6 × 10 −19 C · V = 1.6 × 10 −19 J 



4.5.2 Cariche puntiformi 

Calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e 

B (vedi figura a fianco): 

dove 

B 

VB − VA = − 

A 

E = 1 

4πε0 

q 

ˆr . 

r2 E · d l 

Tenendo conto che ˆr · d l = cosθdl = dr, si ottiene che: 

VB − VA = − q 

4πε0 

rB 

rA 

 

1 q 1 

dr = 

r2 4πε0 r 

rB 

rA 

= q 

4πε0 

1 

rB 

− 1 

 

rA 

. (4.25) 

Assumendo che il potenziale sia nullo per rA → ∞, il potenziale dovuto a una carica 

puntiforme è dato da: 

V (r) = 1 q 

. (4.26) 

4πε0 r 

Il potenziale V possiede quindi il segno della carica q. 

Poiché V è uniforme su una superficie sferica di raggio 

r (cioè ra = rB nell’espressione 4.25), concludiamo 

che le superfici equipotenziali per una carica puntiforme 

sono delle sfere concentriche alla carica stessa 

e tali superfici risultano perpendicolari alla direzione 

delle linee di campo. Nella figura a fianco, è mostrata 

la sezione (in tratteggio) delle superfici equipotenziali 

per una carica puntiforme. 

Come conseguenza del principio di sovrapposizione, il potenziale in un certo punto, 

dovuto a più cariche puntiformi è pari alla somma dei potenziali di ciascuna carica 

calcolati in tale punto: 

V = 1 qi 

4πε0 ri 

i 

(4.27) 

ponendo con ri la distanza fra qi e il punto sotto esame, sempre con l’ipotesi che il 

potenziale sia nullo all’infinito. 

Si definisce anche l’energia potenziale elettrica di un sistema di cariche puntiformi. 

Questa energia è uguale al lavoro che si deve compiere dall’esterno per portare il sistema 

nella configurazione indicata, spostando le cariche dall’infinito alla loro posizione. Per 

due cariche q1 e q2 distanti r12, è facile dimostrare che l’energia potenziale U della 

coppia è 

U = 1 q1q2 

4πε0 r12 


.


4.5.3 Potenziale dovuto a una distribuzione continua di carica 

Quando una distribuzione di carica è continua, la sommatoria dell’equazione (4.27) 

non è più applicabile. Per trovare il potenziale V in un punto P , si deve scegliere un 

elemento infinitesimo di carica dq e determinare il potenziale dV nel punto P dovuto 

a dq, vale a dire: 

dV = 1 dq 

4πε0 r . 

Poi si deve integrare sull’intera distribuzione di carica: 

V = 1 

 

dq 

4πε0 r . 

In molti casi, viene data la densità di carica ρ che descrive come la carica è distribuita 

nel volume V , da cui si ricava ρ = dq/dV , cioè dq = ρdV . Il calcolo del potenziale si 

riduce quindi a un integrale di volume dato da: 

V = 1 

4πε0 

 

V 

Q 

ρdV 

r 

. (4.28) 

Va notato il fatto che l’equazione (4.28) non presenta componenti vettoriali perché il 

potenziale elettrico è una funzione scalare. 

ESEMPIO 4.3. Consideriamo una bacchetta di lunghezza l uniformemente carica con 

densità di carica lineare λ e valutiamo il potenziale a una distanza y dall’estremità sinistra 

della bacchetta. 

Soluzione: si consideri un elemento infinitesimo dx della bacchetta, come mostrato nella 

figura a fianco. Questo elemento porta una carica infinitesima pari a dq = λ dx. Il contributo 

al potenziale della carica dq vale: 

dV = 1 

4πε0 

dq 

r 

1 λdx 

= 

4πε0 (x2 + y2 , 

) 1/2 

e integrando da x = 0 a x = l, si trova: 

V = λ 

l dx 

4πε0 0 (x2 + y2 

λ l + 

= log 

) 1/2 4πε0 

l2 + y2 

) 

y 

4.5.4 Relazione tra campo elettrico e potenziale 

Dall’equazione (4.23), si ricava che 

E · d l = −dV . 

Sviluppando i due termini in coordinate cartesiane, si ha che: 

 

∂V ∂V ∂V 

Exdx + Eydy + Ezdz = − dx + dy + 

∂x ∂y ∂z dz 

 

. 


.


Confrontando le due espressioni, segue che: 

Ex = − ∂V 

∂x , Ey = − ∂V 

∂y , Ez = − ∂V 

∂z 

. (4.29) 

Quindi, conoscendo la funzione V (x, y, z), si possono trovare le componenti di E in 

ogni punto calcolando il gradiente di V . 

4.5.5 Potenziale in un conduttore carico isolato 

Poiché all’interno di un conduttore all’equilibrio, il campo elettrico è nullo, tutti i punti 

interni al conduttore sono allo stesso potenziale e anche la superficie del conduttore, in 

particolare, è una superficie equipotenziale. 

Quale ulteriore proprietà dei conduttori carichi all’equilibrio, è possibile provare 

che ad esclusione dei conduttori sferici, la carica superficiale tende ad accumularsi nei 

punti in cui la curvatura della superficie è maggiore, ovvero in prossimità delle punte. 

Di conseguenza, il campo elettrico esterno può assumere in quelle zone dei valori molto 

alti. 

Per comprendere questo fenomeno consideriamo due 

sfere conduttrici di raggi, rispettivamente R+ e R2 

, con R1 < R2 , collegate elettricamente tra loro 

tramite un filo conduttore. Se σ1 e σ2 indicano le 

densità superficiali di carica sui due conduttori, le 

cariche rispettive saranno: 

q1 = 4πR 2 1σ1 , q2 = 4πR 2 2σ2 

e facendo il rapporto membro a membro, segue: 

q1 

q2 

= R2 1σ1 

R 2 2σ2 

. (4.30) 

D’altra parte, siccome sono connesse con un conduttore, le due sfere sono allo stesso 

potenziale; assumendo che la distanza tra le sfere sia tale da poter assumere che la 

carica su una non abbia alcun effetto sulla distribuzione di carica dell’altra, segue che 

il comune valore V del loro potenziale è: 

da cui segue che: 

V = 1 

4πε0 

q1 

q2 

q1 

R1 

= R1 

R2 

= 1 

4πε0 

e confrontando con l’espressione (4.30), si ottiene finalmente: 

σ1 

σ2 

= R2 

R1 


, 

, 

q2 

R2

4.6. CAPACITÀ ELETTRICA E DIELETTRICI 82 

Dato che R1 < R2, avremo che σ1 > σ2, cioè la sfera più piccola ha una maggiore densità 

di carica superficiale; ciò implica che il campo elettrico è più intenso in prossimità della 

sfera più piccola. 

4.6 Capacità elettrica e dielettrici 

4.6.1 Capacità 

La capacità elettrica di un conduttore isolato è definita come il rapporto fra la sua 

carica e il suo potenziale, 

C = Q 

. (4.31) 

V 

La capacità di un conduttore sferico di raggio R, ad esempio, è data da: 

C = Q 

V = 4πε0R (4.32) 

dato che V = Q/(4πε0R). Da notare che la capacità è costante non solo per il conduttore 

sferico, come si vede dalla (4.32), ma per qualsiasi conduttore carico di qualsiasi 

forma geometrica. L’unità di misura della capacità è il Farad, definito come F = CV −1 . 

4.6.2 Condensatori 

Il concetto di capacità elettrica può essere esteso a un sistema di conduttori. Consideriamo 

il caso di due conduttori aventi carica Q e −Q. Se V = V1 − V2 è la loro 

differenza di potenziale, la capacità del sistema è definita in modo analogo alla (4.31), 

vale a dire: 

C = Q 

V = 

Q 

V1 − V2 

. (4.33) 

Un dispositivo di questo tipo viene detto condensatore e i conduttori in questo caso 

prendono il nome di armature. 

Nella figura a fianco è mostrato il simbolo adoperato nella 

schematizzazione dei circuiti elettrici per rappresentare il 

condensatore. 

ESEMPIO 4.4. Consideriamo due armature piane, parallele, della stessa superficie S e 

distanti d. Calcolare la capacità di tale condensatore. 

Soluzione: la densità σ con cui è distribuita la carica su ciascuna armatura vale, in valore 

assoluto, Q/S. Se la distanza tra le armature è molto più piccola della lunghezza e larghezza 

della armature, si possono trascurare gli effetti ai bordi ed assumere che il campo elettrico 

nella regione compresa tra le armature sia uniforme e valga: 



E = σ 

ε0 

= Q 

ε0S 

pertanto la differenza di potenziale tra le armature è: 

V = Ed = Q 

d , 

ε0S 

cosi applicando la definizione segue che 

C = Q 

V 

= ε0S 

d 

ESEMPIO 4.5. I condensatori possono essere combinati in due modi diversi: in serie e 

in parallelo. Discutine la combinazione. 

Soluzione: Consideriamo due condensatori originariamente 

scarichi, rispettivamente di capacità C1 e C2 collegati 

come mostrato in figura. In tale connessione, detta 

in serie, il valore assoluto della carica su ciascuna armatura 

deve essere la stessa. Ciò è conseguenza del fatto 

che la carica totale racchiusa nel volume tratteggiato di 

figura deve essere nulla; 

infatti la carica inizialmente presente su queste armature è nulla e, siccome la connessione 

col generatore determina la sola separazione delle cariche, la carica totale su queste armature 

resta nulla. Si avrà quindi: 

V = V1 + V2 = Q 

che implica per la capacità del sistema che 

1 

C 

C1 

+ Q 

C1 

1 

= + 

C1 

1 

C2 

 

1 

= Q + 

C1 

1 

 

C2 

In generale, per N condensatori in serie, la capacità totale è l’inverso della somma dei 

reciproci delle singole capacità, vale a dire: 

1 

C 

1 

= + 

C1 

1 

+ · · · + 

C2 

1 

CN 

. (4.34) 



Nella combinazione in parallelo, le armature sono sottoposte 

a una comune differenza di potenziale (vedi figura) 

e le cariche presenti su ciascun condensatore sono Q1 = 

C1V , Q2 = C2V . La carica totale Q immagazzinata su 

entrambe le coppie è pari a: 

Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2)V 

per cui C = C1 + C2. Per N condensatori in parallelo di 

capacità C1, C2, . . . , CN, la capacità equivalente è quindi: 

C = C1 + C2 + · · · + CN 

(4.35) 

4.6.3 Energia immagazzinata in un campo elettrico 

Il caricare un condensatore richiede una spesa di energia dato che bisogna compiere 

un lavoro per vincere la repulsione della carica già presente. Questo lavoro ha come 

risultato un aumento dell’energia del conduttore. 

Consideriamo a questo proposito un condensatore costituito 

da due conduttori di forma generica, uno con 

carica +q e potenziale V1 e l’altro con carica −q e potenziale 

V2, con V1 > V2 . Supponiamo di accrescere, 

attraverso un circuito esterno, la carica in valore assoluto 

su entrambi i conduttori di una stessa quantità dq 

, ossia, in particolare, di portare la carica del primo 

conduttore da q a q + dq e la carica del secondo conduttore 

da −q a −q − dq. Cioè è come se la carica dq 

fosse stata spostata dall’armatura a potenziale minore 

all’armatura a potenziale maggiore. 

Il lavoro dL che è necessario spendere contro la forza del campo elettrico in questa 

operazione è dato dall’espressione dL = (V1 − V2)dq, dove la differenza di potenziale 

V1 − V2 può essere espressa attraverso la capacità C del sistema come V1 − V2 = q/C. 

Questo lavoro incrementerà in egual misura l’energia U del sistema, ovvero dU = dL, 

quindi: 

dU = qdq 

C . 

L’aumento complessivo di energia del sistema quando la carica passata è Q (pari al 

lavoro fatto durante il processo) è quindi: 

U = 

Q 

0 

qdq 

C 

= Q2 

2C 

= 1 

2 CV 2 . (4.36) 

Consideriamo un condensatore piano tra le cui armature, di superficie S e separazione 

d, è applicata una differenza di potenziale V . La densità di energia u, cioè l’energia 



potenziale per unità di volume fra le armature sarà uniforme dato che il campo elettrico 

è costante. Si ha che: 

u = U 

Sd 

1 2 1 

= CV 

2 Sd 

1 

= 

2 ε0 

S 2 1 

V 

d Sd 

1 

= 

2 ε0 

2 V 

d 

Sapendo che V = Ed, sostituendo nella relazione precedente, si trova: 

u = 1 2 

ε0E 

2 

(4.37) 

Sebbene provata in un caso particolare, si verifica che tale relazione è di validità 

generale e indica che in presenza di un campo elettrico esiste, allo stesso tempo, un 

campo di energia con densità u . Pertanto, l’energia immagazzinata in un volume ν in 

cui è presente un campo elettrico E è pari all’integrale su tale volume dell’espressione 

precedente: 

 

U = udν = 

ν 

1 

2 ε0 

 

E 

ν 

2 dν . (4.38) 

4.6.4 Polarizzazione della materia: dielettrici 

In questo paragrafo vogliamo discutere l’effetto di un campo elettrico sulla materia. A 

questo proposito, distinguiamo due categorie differenti di molecole. 

Molecole polari: sono molecole caratterizzate 

da un momento di dipolo intrinseco. Ad esempio, 

nell’acqua (si veda la figura) il momento di dipolo 

della molecola è presente anche senza che vi sia 

applicato alcun campo elettrico esterno; siccome 

la molecola può essere assimilata ad un sistema 

rigido, i due momenti p1 e p2 si sommano vettorialmente 

producendo un momento di dipolo intrinseco 

di circa 6.2 × 10 −3 Cm. Quando non c’e’ 

un campo elettrico esterno, le molecole si orientano 

a caso e non producono nessun momento dipolo 

netto. 



Molecole apolari: sono molecole prive di un momento 

di dipolo intrinseco. In questi materiali 

l’applicazione di un campo elettrico esterno può 

determinare la generazione di un momento di dipolo. 

Consideriamo ad esempio una molecola monoatomica; 

questa può essere schematizzata come 

un nucleo centrale carico positivamente e circondato 

da una nube sferica carica negativamente. In 

condizioni normali la molecola è neutra ed inoltre 

i baricentri delle cariche positive e negative 

coincidono. L’applicazione di un campo elettrico 

esterno determina una deformazione della molecola 

provocando la separazione dei baricentri delle 

due cariche nella direzione del campo applicato. 

Ciò determina la formazione di un momento di 

dipolo di tipo indotto. 

Nel caso dei materiali polari, invece, l’applicazione di un campo elettrico E determinerà 

l’azione sui momenti di dipolo elementari p. La configurazione di equilibrio, 

corrispondente ad un minimo dell’energia potenziale di interazione tra il dipolo elettrico 

ed il campo esterno si ha quando p e E sono paralleli, vale a dire quando è nullo 

il momento torcente. L’allineamento in verità non è mai completo poiché l’agitazione 

termica vi si oppone. Il grado di allineamento aumenta quindi al diminuire della 

temperatura e all’aumentare dell’intensità del campo elettrico. 

Quando le molecole (o atomi) di un materiale divengono dipoli elettrici orientati 

nella direzione del campo elettrico esterno, si parla di polarizzazione. Un mezzo che può 

essere polarizzato da un campo elettrico viene chiamato un dielettrico. Un dielettrico 

introdotto tra le armature di un condensatore ne determina un aumento della capacità. 

Se il dielettrico satura lo spazio compreso tra le armature, la capacita aumenta di un 

fattore adimensionale εr > 1 che prende il nome di costante dielettrica relativa del 

materiale. 

Analizziamo in dettaglio i fenomeni microscopici che 

hanno luogo nella regione di dielettrico compresa tra 

le armature del condensatore. All’applicazione di una 

differenza di potenziale tra le armature del condensatore, 

su queste si creeranno delle distribuzioni di carica 

superficiale di densità pari (in valore assoluto) a σ. Il 

campo elettrico E0 che si genera di conseguenza determina 

l’orientazione dei dipoli elementari nella propria 

direzione. Mentre le cariche interne al materiale vengono 

a due a due bilanciate, le cariche che si affacciano 

alle superfici delle armature restano scoperte. 



Si creano quindi due ulteriori distribuzioni di carica di densità pari (in valore assoluto) 

a σP ; in particolare σP < 0 in corrispondenza dell’armatura carica positivamente 

(dove σ > 0) e σP > 0 in prossimita dell’altra armatura (dove σ < 0); si osservi che la 

carica associata a σP non è libera, nel senso che non può muoversi nel materiale ma è 

solo un effetto dell’orientazione dei dipoli elementari. 

La presenza della carica di polarizzazione determina, 

all’interno della regione compresa tra le armature, la 

creazione di un nuovo campo elettrico EP diretto come 

il campo esterno E0 ma di verso opposto. Il campo 

totale presente all’interno del materiale è quindi: 

E = E0 − EP 

Perciò risulta che il campo elettrico agente sul materiale 

dielettrico ha intensità inferiore a quella del campo 

applicato. 

Il campo esterno può essere espresso tramite la densità di carica superficiale σ, vale 

a dire E0 = σ/ε0, mentre il campo prodotto dalle cariche di polarizzazione può essere 

espresso come E0 = σP /ε0. Ne consegue che 

E = E0 − EP = 1 

(σ − σP ) (4.39) 

Il risultato dell’applicazione di un campo esterno è l’acquisizione 

da parte di ogni molecola di un momento 

medio 〈p〉 parallelo al campo esterno E0. Sia n il numero 

di molecole per unità di volume e 〈p〉 il momento 

di dipolo medio delle molecole, allora una misura del 

grado di allineamento delle molecole di un dielettrico è 

data dal vettore P definito come: 

P = n 〈p〉 . 

Tale grandezza prende il nome di vettore polarizzazione. E’ possibile stabilire l’intensità 

del vettore polarizzazione tra le armature del condensatore osservando che l’insieme 

dei dipoli allineati dal campo elettrico è assimilabile ad un unico dipolo orientato nel 

verso del campo esterno E0 , quindi il modulo del vettore polarizzazione è la risultante 

di tutti i dipoli, ovvero il prodotto della carica di polarizzazione qP per la distanza d 

diviso per il volume compreso tra le armature, cioè Sd: 

P = qP d 

Sd 

ε0 

= qP 

S = σP ; (4.40) 

Si noti che essendo σP < 0, il vettore P è diretto nel senso positivo. 

Dato che E e P sono vettori aventi la stessa direzione, si introduce un nuovo campo 

vettoriale, chiamato vettore spostamento elettrico definito da 

D = ε0 E + P . (4.41) 



D è espresso in C/m 2 e sia ˆn la normale alla superficie di un’armatura del condensatore, 

vale che 

D · ˆn = σ 

Nella maggior parte dei dielettrici risulta che P è proporzionale al campo elettrico E: 

P = ε0χe E ; (4.42) 

La quantità adimensionale χe prende il nome di suscettività dielettrica del mezzo materiale 

e fornisce un’indicazione circa la capacità che ha il mezzo di polarizzarsi sotto 

l’azione di un campo elettrico. Sostituendo la (4.41) nella (4.42) si trova: 

da cui si ricava che εr = 1 + χe , e che finalmente: 

D = ε0 E + ε0χe E = ε0(1 + χe) E ; (4.43) 

D = ε0εr E . (4.44) 


Capitolo 5 

Campi magnetici 


Un altro tipo di interazione osservata in natura è quella chiamata magnetica. Secoli 

prima di Cristo si osservò che certi minerali di ferro come la magnetite avevano la 

proprietà di attrarre piccoli pezzi di ferro. Questa proprietà è mostrata alla stato 

naturale da ferro, cobalto e manganese e da molti composti di questi metalli e non è 

apparentemente in relazione con l’interazione elettrica, perché nè palline di sughero, nè 

pezzi di carta sono attrati da questi minerali. Pertanto un nuovo nome, magnetismo 

1 , fu dato a questa proprietà fisica. 

Un corpo magnetizzato è chiamato un magnete. Nel XVII secolo, lo scienziato 

inglese W. Gilbert riusci a spiegare il comportamento della bussola, supponendo che la 

Terra fosse un grande magnete. Sperimentando con magneti si vede che tra essi agiscono 

forze attrattive e repulsive; si può quindi introdurre il concetto di polo magnetico, 

analogamente a quello della carica elettrica. Poli dello stesso tipo si respingono e poli 

di tipo opposto si attirano. I poli vengono chiamati Nord e Sud, riferendosi all’ago di 

una bussola. 

In elettrostatica il campo elettrico è stato introdotto come mediatore dell’ interazione 

tra cariche. Un approccio analogo è stato tentato anche per descrivere i fenomeni 

magnetici. Ma anche se vi sono teorie che prevedono l’esistenza del monopolo magnetico, 

di fatto non è stato ancora possibile isolare un polo magnetico e quidi questo 

approccio si rivela inadeguato. In effetti un magnete possiede sempre due poli opposti: 

spezzando una sbarretta magnetica, si riformano sempre poli opposti alle estremità. 

Le interazioni elettiche e magnetiche sono connesse molto strettamente e di fatto 

sono solo due differenti aspetti di una sola proprietà della materia, la sua carica elettrica; 

per questo motivo le due interazioni devono essere considerate insieme sotto il 

nome più generale di interazione elettromagnetica. Il magnetismo è una manifestazione 

1 Il nome magnetismo è derivato dall’antica città dell’Asia Minore chiamata Magnesia dove secondo 

la tradizione, il fenomeno fu per la prima volta notato 

89

5.2. FORZA DI LORENTZ 90 

di cariche elettriche in moto: i campi magnetici sono prodotti da cariche in moto e sono 

avvertiti solo se le cariche sono, a loro volta, in movimento. 

5.2 Forza di Lorentz 

Prescindendo per il momento dalle sorgenti del campo magnetico, valutiamo come si 

esplica l’interazione tra un campo magnetico e una particella carica. Allo scopo assumiamo 

che la particella non sia soggetta ad altri campi, al di fuori di quello magnetico 

che supponiamo sia uniforme. Sperimentalmente, si verifica che qualora la carica sia in 

quiete, su di essa non si esercita alcuna forza. Supponiamo che la particella sia dotata 

di una certa velocità; in tal caso si osservano alcuni effetti sul suo moto che non sono 

ascrivibili ad altri campi, in quanto, per ipotesi, assenti. Ciò suggerisce l’esistenza di 

una certa forma di interazione tra la particella in moto e il campo magnetico presente 

nella regione considerata. 

Sperimentalmente, se B è il vettore associato al 

campo magnetico, q e v sono, rispettivamente, la carica 

e la velocità della particella, la forza F agente 

sulla particella vale: 

F = qv × B . (5.1) 

Si noti che la relazione (5.1) rende impossibile la determinazione 

del vettore 

Figura 5.1: Forza di Lorentz 

B attraverso una singola misura; 

infatti, mentre in elettrostatica, misurando q E 

si può risalire sia all’intensità che all’orien-tazione di 

E, nel caso del magnetismo, la forza è sempre perpendicolare al piano definito dai vettori 

v e B, indipendentemente dall’angolo θ compreso tra v e B, perciò l’orientazione di 

B non può essere stabilita. A tale scopo si puo ricercare l’angolo in corrispondenza del 

quale la forza espressa dalla (5.1) si annulla, per poi stabilire, con una seconda misura, 

l’intensita di B. 

L’unità di misura del campo magnetico è il Tesla (T) 1 . Dall’espressione (5.1) segue 

che una carica di 1 C che si muove in un campo magnetico di 1 T con la velocità di 

1 m/s perpendicolarmente al campo, è soggetta ad una forza di 1 N, cosi: 

[B] = T = N 

A × m 

Va ricordato che è ancora molto diffusa l’unità di misura denominata Gauss (G), 

definita da: 

1 G = 10 −4 T . 

Se agiscono contemporaneamente un campo elettrico E ed un campo magnetico B su 

una particella di carica q in moto con velocità v , la forza totale agente sulla particella 

1 in onore dell’ingegnere americano di origine jugoslava Nicholas Tesla (1856-1943) 


5.3. MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO MAGNETICO 91 

è data da: 

F = q E + qv × B (5.2) 

F è detta forza di Lorentz e rappresenta la somma della forza elettrica e magnetica 

cui può essere, in generale, sottoposta una particella carica. 

5.3 Moto di una carica in un campo magnetico 

Consideriamo dapprima una particella di massa m e carica q immersa ad un campo 

magnetico uniforme B, con velocità iniziale v0 giacente su di un piano perpendicolare 

alla direzione di B. In queste condizioni l’unica forza che agisce è la forza di Lorentz. 

Quindi, nel suo moto, la particella è sottoposta 

ad una forza di modulo costante, normale 

alla velocita, e pertanto possiamo concludere che 

la particella compie un moto circolare uniforme. 

L’equazione di Newton fornisce quindi: 

ossia 

R = mv 

qB 

m v2 0 

R 

= qv0B 

La velocità angolare è data da: 

ω = v 

R 

q 

= B . 

m 

Figura 5.2: Moto con forza di 

Lorentz 

Il fatto che ω dipenda solo dal rapporto carica/massa e dal campo B può essere sfruttato 

per misurare le masse di ioni distinguendo i vari isotopi. 

Supponiamo ora che la velocita v0 formi un angolo θ con la direzione del campo 

magnetico B. Decomponendo il vettore v0 lungo le direzioni parallela e perpendicolare 

a B si hanno, rispettivamente i vettori v0⊥ e v0, tali che v0⊥ = v0 sin θ e v0 = 

v0 cos θ, e usando la legge di Lorentz, si ottiene che il moto della particella lungo 

la direzione parallela a B è rettilineo uniforme con velocita pari a v0 cos θ, mentre 

ortogonalmente a B il moto è circolare uniforme, con raggio di curvatura R e periodo 

T dati, rispettivamente, dalle relazioni: 


5.4. L’EFFETTO HALL 92 

R = mv0⊥ 

qB 

= mv sin θ 

qB 

, T = 2πm 

qB 

(5.3) 

Pertanto, la traiettoria descritta dalla particella 

è un’elica cilindrica (vedi figura a fianco) il cui 

passo p vale: 

p = v0T = 2πmv0 cos θ 

qB 

5.4 L’effetto Hall 

Nel 1879, il fisico americano E.C Hall (1855-1929) scopri che quando una lastra metallica 

lungo la quale passa una corrente I è posta in un campo magnetico perpendicolare 

alla lastra, appare una differenza di potenziale tra i punti opposti sui bordi della piastra. 

Figura 5.3: L’effetto Hall 

Questo fenomeno, detto appunto effetto Hall, è una tipica applicazione della forza 

di Lorentz. Supponiamo dapprima che i portatori della corrente elettrica nella lastra 

metallica siano elettroni, aventi una carica negativa q = −e. Con l’asse Z parallelo 

alla corrente I, il moto effettivo è nella direzione −Z con velocità v− (5.4a). Se il 

campo B è applicato perpendicolarmente alla lastra, nella direzione X, gli elettroni 

sono soggetti alla forza F = −ev− × B che è diretta lungo l’asse +Y . Pertanto, gli 

elettroni vengono trasportati verso il lato destro della lastra, che diviene cosi carico 

negativamente. Il lato sinistro di conseguenza si carica positivamente e si produce un 

campo elettrico E parallelo all’asse Y . Quando la forza (−e) E sugli elettroni diretta 


5.5. FORZA MAGNETICA SU UNA CORRENTE ELETTRICA 93 

verso sinistra bilancia la forza magnetica verso destra, ne risulta l’equilibrio. Si produce 

quindi una differenza di potenziale tra bordi opposti, con il lato sinistro al potenziale 

più alto. Questo è l’effetto Hall normale o negativo, mostrato nella maggior parte dei 

metalli, come oro, argento, platino, rame, ecc. Ma con alcuni metalli, come cobalto, 

zinco, ferro e altri materiali, come i semiconduttori, si produce un effetto Hall opposto, 

o positivo. Per spiegare la differenza, supponiamo che i portatori di corrente siano 

particelle cariche positivamente con q = +e. La loro velocità sarà nella direzione della 

corrente, cioè lungo l’asse Z, come in Fig.(5.4b). La forza magnetica è diretta verso 

l’asse +Y , ma poiché le cariche sono positive, il lato destro si carica positivamente e il 

campo elettrico risultante è nella direzione −Y e la differenza di potenziale è opposta 

a quella dell’effetto Hall normale. 

Questo effetto in origine appariva in contraddizione con la convinzione che gli unici 

portatori della corrente in un conduttore fossero elettroni. Tuttavia nei materiali sopra 

citati, a causa di qualche difetto nella struttura cristallina, vi sono posti in cui vi è la 

mancanza di un elettrone, una cosiddetta lacuna elettronica. Quando un elettrone si 

muove e riempie una lacuna, si produce una lacuna nella posizione originaria, per cui 

le lacune si muovono nella direzione opposta a quella degli elettroni sotto l’azione del 

campo elettrico applicato. Per questo motivo, l’effetto Hall fornisce un metodo assai 

utile per determinare il segno dei portatori della corrente elettrica in un conduttore. 

Da notare che nel caso dei metalli, l’effetto Hall produce tensioni generalmente molto 

piccole, dell’ordine dei µV . 

5.5 Forza magnetica su una corrente elettrica 

Come noto, la corrente elettrica è un flusso di cariche elettriche in moto. L’intensità 

della corrente è definita come la carica passante nell’unità di tempo attraverso una 

sezione del conduttore. Consideriamo una sezione di un conduttore attraverso il quale 

sono in moto con velocità v particelle con carica q. Se ci sono n particelle per unità 

di volume, il numero totale di particelle passanti attraverso l’unità di area per tempo 

è nv, e la densità di corrente, definita come la carica passante per l’unità di area per 

unità di tempo è il vettore: 

j = nqv (5.4) 

Se S è l’area in sezione del conduttore, orientata perpendicolarmente a j, la corrente è 

lo scalare 

I = jS = nqvS . (5.5) 

Se il conduttore viene immerso in un campo magnetico B, la forza per unità di volume 

sarà: 

f = nqv × B = j × B . (5.6) 


5.6. COPPIA MAGNETICA SU UNA CORRENTE ELETTRICA 94 

La forza totale su un elemento infinitesimo di volume dV sarà d F = fdV = j × 

BdV , e la forza totale su un volume finito si ottiene integrando su tutto il volume: 

 

F = j × BdV . (5.7) 

V 

Se si considera il caso in cui la corrente scorre lungo un filo, dV = Sdl e pertanto 

 

F = j × BSdl . (5.8) 

L 

Ora j = juT , dove uT è il versore tangente all’asse del filamento e dato che la corrente 

I = jS è la stessa in tutti i punti del conduttore, si ottiene per la forza su un conduttore 

percorso da una corrente elettrica che: 

 

F = (juT )× 

L 

 

BSdl = (jS)uT × 

L 

 

Bdl = I uT × 

L 

Bdl 

(5.9) 

Nel caso di un conduttore rettilineo di lunghezza 

L in un campo magnetico uniforme, dato 

che 

dl = L, si ottiene 

L 

F = ILuT × B (5.10) 

Il conduttore è perciò soggetto a una forza perpendicolare 

al suo asse e al campo magnetico. 

Questo è il principio sul quale funzionano i motori 

elettrici. 

5.6 Coppia magnetica su una 

corrente elettrica 

Figura 5.4: Forza su un filo 

conduttore 

Possiamo applicare l’eq.(5.10) per calcolare la coppia dovuta alla forza che un campo 

magnetico produce su un circuito elettrico. Per semplicità consideriamo una spira 

rettangolare percorsa da una corrente I e immersa in un campo magnetico uniforme 

B, diretto normalmente ad una coppia dei suoi lati. 

Trascuriamo il campo magnetico prodotto dalla spira stessa e supponiamo quindi 

che tale spira sia vincolata ad un asse passante per il punto medio di una coppia dei 

suoi lati, in modo da poter ruotare attorno a questo asse (si veda la figura 5.6) 1 . 

Analizziamo le singole forze agenti su ciascun tratto della spira. Le forze F ′ agenti 

sui lati inferiore e superiore di lunghezza L ′ hanno lo stesso modulo ma verso opposto. 

Esse tendono a deformare il circuito ma non producono nessun momento. 

nulla 

1 L’azione del campo magnetico uniforme sulla spira non vincolata determina una forza risultante 


5.6. COPPIA MAGNETICA SU UNA CORRENTE ELETTRICA 95 

Figura 5.5: Spira rettangolare immersa in un campo magnetico 

L’intensità delle forze agenti sui lati verticali della spira è in modulo F = IBL e 

anche in questo caso le due forze hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, con verso 

opposto; tuttavia tali forze non condividono la medesima retta di applicazione. Per la 

coppia di forze F il momento torcente τ risulta quindi diverso da zero; per la singola 

forza questo momento ha intensità pari a: 

τF = F L′ 

2 

sin θ , (5.11) 

dove θ è l’angolo tra la normale n alla spira e B. Dato che entrambi i momenti hanno 

uguali intensità , direzioni e versi, il momento totale τ sarà il doppio di τF , perciò 

abbiamo: 

τ = 2τF = 2F L′ 

2 sin θ = IBLL′ sin θ (5.12) 

D’altra parte, il prodotto LL ′ rappresenta l’area S della spira, cosi, introducendo il 

vettore 

m = ISˆn , (5.13) 

la relazione (5.12) diventa 

che in notazione vettoriale diventa 

τ = mB sin θ 

τ = m × B (5.14) 

Perciò il sistema raggiunge l’equilibrio meccanico quando τ = 0, ovvero per θ = 0, cioè 

quando la spira si dispone perpendicolarmente al campo magnetico e i vettori B e m 

risultano allineati. 

Il vettore m definito nella relazione (5.13) dell’esempio precedente prende il nome di 

momento di dipolo magnetico; il suo verso segue la regola della mano destra, nel senso 


5.7. LA LEGGE DI BIOT SAVART 96 

che, se si associa il verso della corrente nella spira a quello delle dita della mano destra 

che si chiudono sul palmo della mano, il verso di m punta nella direzione indicata dal 

pollice nella Fig.(5.6). 

Figura 5.6: Momento di dipolo magnetico 

5.7 La legge di Biot Savart 

Nel 1820, il fisico danese H.C. Oersted (1777-1851) notando la deviazione dell’ago di 

una bussola posta vicino a un conduttore attraverso cui passava corrente, fu il primo 

a osservare che una corrente elettrica produce un campo magnetico nello spazio che la 

circonda. 

Dopo molti esperimenti, è stata ottenuta un’espressione 

generale per calcolare il campo magnetico prodotto 

da una corrente chiusa di forma qualsiasi. Questa 

espressione, chiamata legge di Biot-Savart, è: 

d B = µ0 IuT × ur 

4π r2 dl , (5.15) 

dove il significato dei simboli è indicato nella Fig.(5.7). 

Considerando la sovrapposizione dei contributi di tutti 

gli elementi d l che compongono il conduttore L, si 

ottiene 

B = µ0I 

4π 

 

L 

Figura 5.7: Campo magnetico 

di una corrente 

elettrica 

uT × ur 

r 2 dl , (5.16) 

Occorre notare le somiglianze tra l’espressione della legge di Biot-Savart relativa al 

magnetismo e l’espressione della legge di Coloumb dell’elettrostatica. Mentre una carica 

puntiforme determina un campo elettrico, un elemento di corrente Id l produce un 

campo magnetico; inoltre, nello stesso modo in cui il campo elettrico prodotto da 

una carica puntiforme dipende dalla distanza r, cosi l’intensità del campo magnetico 

dipende dall’inverso del quadrato della distanza dall’elemento di corrente. Tuttavia le 

direzioni dei due campi risultano completamente differenti. Il campo elettrico generato 

da una carica puntiforme è radiale mentre il campo magnetico prodotto da un elemento 

di corrente è perpendicolare sia all’elemento di corrente che al raggio vettore r. 


5.8. APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI BIOT-SAVART 97 

5.8 Applicazioni della legge di Biot-Savart 

5.8.1 Campo magnetico di una corrente rettilinea 

Come prima applicazione della formula (5.16), stabiliamo il campo magnetico presente 

in un punto P posto a distanza R da un filo conduttore rettilineo percorso da una 

corrente stazionaria I. 

Figura 5.8: Campo magnetico prodotto da una corrente rettilinea e linee di campo 

corrispondenti 

Riferendosi alla Fig.(5.8), per ogni punto P e ogni elemento dl della corrente, la 

direzione del vettore uT × ur è quella del versore uθ. Il campo magnetico in P è quindi 

tangente al cerchio di raggio R che passa attraverso P . Perciò è necessario trovare 

solamente il modulo di B. Il modulo di uT × ur è sin θ, poiché uT e ur sono versori. 

Quindi per una corrente rettilinea, possiamo scrivere l’Eq.(5.16) in modulo come 

B = µ0I 

4π 

∞ 

−∞ 

sin θ 

dl (5.17) 

r2 Dalla Fig.(5.8) si deduce che r = R/ sin θ e l = −R/ tan θ, da cui segue che dl = 

(R/ sin 2 θ)dθ. Sostituendo in (5.17), si trova 

B = µ0I 

4π 

π 

0 

sin θ sin2 θ 

R 2 

R 

sin2 π 

µ0I 

dθ = sin θ dθ , (5.18) 

θ 4πR 0 

dove l = −∞ corrisponde a θ = 0 e l = +∞ a θ = π. Quindi, si ottiene 

B = µ0I 

2πR 

(5.19) 

Le linee di forza sono cerchi concentrici alla corrente e nella Fig.(5.8) è indicata la 

regola della mano destra per determinare la direzione del campo magnetico relativo 

alla direzione della corrente. 



Per un filo di lunghezza finita, basta modificare i limiti di integrazione nell Eq.(5.18) 

usando gli angoli θ1 e θ2 sottesi dagli estremi del filo e il punto P . Si ottiene: 

5.8.2 Forze tra correnti 

θ2 µ0I 

sin θ dθ = 

4πR θ1 

µ0I 

4πR (cos θ1 − cos θ2) (5.20) 

Si può applicare la formula (5.19) combinata con l’Eq.(5.9) per calcolare l’interazione 

fra due correnti elettriche. Consideriamo per semplicità due correnti parallele I e I ′ 

nello stesso verso separate da una distanza R (vedi Fig.5.9). 

Figura 5.9: Campo magnetico prodotto da una corrente rettilinea e linee di campo 

corrispondenti 

La forza F ′ su I ′ prodotta da I sarà 

F ′ = I ′ 

 

u ′ T × Bdl ′ . (5.21) 

Dato che u ′ T × B = −uR B, usando l’Eq.(5.19) per B, abbiamo 

F ′ = I ′ 

 

µ0I 

uR 

2πR dl′ µ0II 

= −uR 

′ 

2πR L′ . (5.22) 

Questo risultato indica che la corrente I attira I ′ . Lo stesso risultato si ottiene 

per la forza su I prodotta da I ′ . Quindi due correnti parallele nello stesso verso si 

attraggono con la stessa forza. Si può facilmente verificare che se le correnti hanno 

verso opposto, esse si respingono. Questo risultato può essere esteso a correnti di 

qualsiasi configurazione. 

La forza agente tra fili conduttori paralleli percorsi da corrente è usata per definire 

l’Ampère nella maniera seguente: se due fili paralleli di lunghezza indefinita, posti alla 

distanza di 1 m e percorsi dalla stessa corrente, interagiscono con una forza per unita 

di lunghezza di 2 × 10 −7 N/m, allora la corrente che li attraversa e, per definizione, di 



1 A. Di fatto, tale definizione, fissa il valore della permeabilita magnetica del vuoto µ0, 

che vale cosi 4 × 10 −7 (T × m)/A. 

5.8.3 Campo magnetico di una corrente circolare 

Consideriamo una spira circolare di raggio 

a percorsa da una corrente I. Stabiliamo 

l’intensità del campo elettrico in 

corrispondenza del punto P posto sull’asse 

Z della spira a una distanza R. 

Il contributo al campo magnetico da 

parte di un elemento dl di corrente è 

dato dalla relazione (5.15). Il campo 

d 

Figura 5.10: Campo magnetico sull’asse di 

una corrente circolare 

B prodotto in P dall’ elemento dl ha 

modulo 

dB = µ0 Idl 

, (5.23) 

4π r2 ed è perpendicolare al piano P AA ′ definito da ur e ur; quando si considerano i contributi 

dB di tutti gli elementi dl che formano la spira, si osserva che le componenti parallele 

all’asse Z si sommano, mentre quelle perpendicolari si elidono a due a due, per la 

simmetria del problema. 

Nei punti dell’asse della spira il campo magnetico è dunque parallelo all’asse stesso 

e concorde a questo se l’orientazione corrisponde a quella della corrente secondo la 

regola della mano destra. Il contributo al campo da parte della componente diretta 

lungo l’asse Z è: 

dBZ = dB cos α = µ0 Idl 

cos α , (5.24) 

4π r2 dove cos α = a/r. Integrando lungo tutta la spira, si ha: 

 

dB = 

Infine poiché r 2 = a 2 + R 2 , si ha: 

dBZ = µ0Ia 

4πr3 

B = 

dl = 

µ0Ia 2 

2(a 2 + R 2 ) 3/2 

µ0Ia 2 

2r 3 , (5.25) 

(5.26) 

Al centro della spira, per Z pari a 0, il campo assume la massima intensità Bmax e 

risulta: 

Bmax = µ0I 

2a 

(5.27) 




Capitolo 6 

Induzione elettromagnetica 


La generazione di forze elettromotrici e quindi di correnti in circuiti da parte di campi 

magnetici variabili può essere verificata attraverso dei semplici esperimenti. Avvicinando 

un magnete ad una spira connessa ad un galvanometro è possibile rilevare la 

deviazione dell’ago dello strumento, mentre, allontanando il magnete, si osserva la deviazione 

dell’ago nella direzione opposta. La stessa fenomenologia può essere osservata 

quando il magnete è fermo mentre è la spira ad essere posta in moto. Invece, in assenza 

di moto relativo del magnete rispetto alla spira non si nota alcuna deviazione dell’ago 

del galvanometro. Inoltre, più l’avvicinamento è veloce e più la corrente è intensa, e 

un’inversione dei poli del magnete porta all’inversione del senso della corrente. Questi 

Figura 6.1: Primo esperimento di Faraday 

risultati portano a concludere che è possibile generare una corrente in un circuito, detta 

corrente indotta, in assenza di una batteria. In tale circostanza si dirà che la corrente 

nel circuito in tali condizioni è prodotta da una forza elettromotrice indotta. 

101

6.2. LA LEGGE DI FARADAY-HENRY 102 

6.2 La legge di Faraday-Henry 

Attorno al 1830, Michael Faraday e Joseph Henry intuirono dai risultati sperimentali 

citati che l’induzione di una corrente in un circuito avviene per effetto di un campo 

magnetico variabile. 

Abbiamo visto che il flusso di una corrente tra due punti in un circuito è determinato 

dalla presenza di una differenza di potenziale non nulla tra questi punti. Indicando con 

A e B tali punti, la differenza di potenziale si esprime come: 

VA − VB = 

B 

A 

E · d l 

Se si fa riferimento ad un percorso chiuso C, come per una spira, si ha che: 

 

VE = E · dl Nel caso elettrostatico, il campo elettrico è conservativo, per cui VE è nullo; affinché 

scorra una corrente in un circuito è necessaria quindi la presenza di un campo di natura 

non elettrostatica, come quello prodotto, ad esempio, da una batteria; tale campo è 

denominato campo elettromotore. Faraday verificò che questa forza elettromotrice è 

proporzionale alla rapidità di variazione nel tempo del flusso del campo magnetico 

attraverso la superficie sottesa dal circuito in esame. 

L’intensità della forza elettromotrice indotta VL in un circuito di superficie S, per 

effetto del campo magnetico B è data dalla seguente legge di Faraday-Henry: 

C 

VL = − dΦB 

dt 

La variazione del flusso si può ottenere in differenti modi: 

a) con la variazione della campo magnetico che attraversa il circuito; 

b) per una modifica della superficie attraverso la quale si calcola il flusso; 

(6.1) 

c) con una variazione dell’angolo compreso tra la direzione del campo magnetico e la 

direzione normale alla superficie considerata. 

6.3 La legge di Lenz 

La polarità della forza elettromotrice indotta può essere stabilita a partire dalla corretta 

applicazione della convenzione relativa all’orientamento della superficie attraverso 

la quale si determina il flusso, rispetto al verso di percorrenza del contorno di tale 

superficie. Tuttavia questa polarità si può ricavare su basi prettamente fenomenologiche, 

dalla applicazione della legge di Lenz, la quale afferma che la polarità della forza 

elettromotrice indotta in un circuito e tale da produrre una corrente che genera una 


6.4. INDUZIONE DI MOVIMENTO 103 

campo magnetico B1 che si oppone alla variazione del flusso attraverso il circuito. In 

altri termini, la corrente indotta tende a mantenere costante l’originario valore del 

campo magnetico. 

Nella figura (6.2), il circuito è immerso in un campo magnetico B e per effetto della 

variazione del flusso di B attraverso il circuito, questo sarà sede di una forza elettromotrice. 

La legge di Lenz afferma che tale forza elettromotrice determinerà una corrente 

che percorrerà il circuito, in maniera da generare un campo magnetico B tale da opporsi 

all’aumento dell’intensità del campo B e nella figura, sono illustrati i quattro casi 

possibili . Esiste una giustificazione di carattere energetico a tale fenomeno; supponiamo, 

per assurdo, che la forza elettromotrice indotta sia tale da produrre una corrente 

il cui verso determina un campo magnetico che si somma col campo originale anziché 

sottrarsi. In questo caso, ad un aumento di B corrisponderebbe un ulteriore aumento 

del campo magnetico totale, col conseguente aumento dell’intensità della corrente 

indotta. Ciò innescherebbe un processo che determinerebbe la crescita indefinita della 

corrente in seno al circuito; d’altra parte, poiché al passaggio di corrente è associata 

una dissipazione di energia, vuol dire che in tale circostanza si avrebbe la generazione 

progressiva di energia a spese di un campo magnetico iniziale di intensità finita. Ciò è 

un palese assurdo derivante dalla scorretta scelta del verso della corrente indotta. 

Figura 6.2: Campo magnetico Bi creato dalla corrente indotta per flussi crescenti (a, c) 

e decrescenti (b, d) 

6.4 Induzione di movimento 

Consideriamo un circuito C immerso in un campo magnetico B. La variazione del 

flusso del campo magnetico concatenato col circuito può ottenersi in varie maniere che 

di solito possono ricondursi a due casi: il flusso di B varia perché B varia nel tempo 

mentre il circuito C resta fermo; oppure il flusso di B varia siccome cambia col tempo 

la configurazione del circuito C in un campo magnetico stazionario. Questo secondo 

caso è detto induzione di movimento. Consideriamo a questo proposito due semplici 

casi. 


6.4. INDUZIONE DI MOVIMENTO 104 

Consideriamo dei conduttori disposti come in Fig.(6.3), ove il conduttore P Q può 

muoversi parallelamente con velocità v mantenendosi in contatto con i conduttori RT 

e SU. Il sistema P QRS forma un circuito chiuso. Supponiamo ora che che esista un 

campo magnetico uniforme B perpendicolare al piano del conduttore. 

Figura 6.3: Fem introdotta in un conduttore in moto con B uniforme 

Ciascuna carica q nel conduttore P Q in moto è soggetta alla forza di Lorentz qv× B 

agente lungo QP . Questa si può supporre dovuta a un campo elettrico equivalente dato 

da 

Eeq = v × B 

Se P Q = l, esiste una differenza di potenziale tra P e Q data da VE = Eeq l = Bvl, 

dato che v e B sono perpendicolari. 

D’altra parte, se indichiamo con x la lunghezza del tratto SP , l’area del circuito 

P QRS è pari a lx e il flusso del campo magnetico diventa 

φB = Blx 

per cui tenendo conto del fatto che dx/dt = v, si ottiene: 

VL = − dΦB 

dt 

d 

= − (Blx) = −Bldx 

dt dt 

= −Blv 

che corrisponde al risultato ottenuto in precedenza. 

Come secondo esempio, consideriamo un circuito rettangolare ruotante con frequenza 

angolare ω immerso in un campo magnetico uniforme B. Quando la normale n al 

circuito è inclinata di un angolo ϑ = ωt rispetto al campo magnetico, tutti i punti di 

P Q si muovono con velocità v tale che il campo elettrico equivalente Eeq = v × B è rivolto 

da Q a P e ha modulo Eeq = vB sin ϑ. Ragionamento analogo vale per il lato RS, 


6.5. L’AUTOINDUZIONE 105 

Figura 6.4: Spira rotante in un campo magnetico 

mentre non vi è differenza di potenziale sui lati QR e SP . Ponendo che P Q = RS = l, 

si ottiene 

 

VL = Eeq dl = 2lvB sin ϑ 

L 

Dato che v = ω(x/2) e che lx = S è l’area del circuito, si ottiene finalmente 

VL = 2lvB sin ϑ = 2l(ωx/2)B sin ωt = ωSB sin ωt 

D’altra parte, il flusso magnetico attraverso il circuito è dato da: 

Perciò, si ottiene che 

φB = B · nS = BS cos ϑ = BS cos ωt 

VL = − dΦB 

dt 

6.5 L’autoinduzione 

d 

= −SB (cos ωt) = ωSB sin ωt 

dt 

Per avere una forza elettromotrice indotta in un circuito, non è strettamente necessario 

che questo risulti immerso in un campo magnetico esterno variabile; infatti, se il 

circuito è percorso da una corrente variabile, tale corrente produrrà un campo magnetico 

variabile che si concatenerà con lo stesso circuito determinando un flusso variabile; 

questa variazione provocherà di conseguenza la generazione di una forza elettromotrice 

che, in tale circostanza, è detta autoindotta. Per tale motivo il fenomeno descritto 


6.6. CIRCUITI RL 106 

prende il nome di autoinduzione. Sperimentalmente si verifica che la corrente I che attraversa 

il circuito è legata al flusso φI(B) del campo magnetico prodotto dalla corrente 

I attraverso il circuito considerato, dalla relazione: 

φI(B) = LI (6.2) 

Il coefficiente L dipende dalla forma del conduttore ed è chiamato autoinduttanza del 

circuito. L’unità di misura dell’autoinduttanza è denominata henry (H) e si ha che 

[H] = T m 2 /A. 

Combinando le equazioni (6.1) e (6.2), abbiamo per la fem autoindotta, 

VL = − dΦI 

dt 

= −LdI 

dt 

, (6.3) 

supponendo che la forma del circuito rimanga invariata. Quindi VL agisce sempre in 

modo da opporsi al cambiamento della corrente. L’effetto di un’induttanza in seno ad 

un circuito è quello di impedire alla corrente di aumentare o decrescere istantaneamente. 

Tipicamente è possibile assumere che in un circuito l’induttanza sia concentrata in 

particolari dispositivi, come le bobine, detti induttori. 

6.6 Circuiti RL 

Abbiamo visto che se si introduce improvvisamente una fem VE in un circuito RC, la 

carica tende esponenzialmente al suo valore finale di equilibrio CVE con una costante 

di tempo capacitiva τC = RC. Se si rimuove la fem, la carica si annulla sempre in 

modo esponenziale secondo la legge Q = Q0e −t/τC . Una crescita (o diminuzione) simile 

di corrente avviene in un circuito RL costituito cioè da una sola maglia contenente una 

resistenza R e un’induttanza L. 

Figura 6.5: a) circuito LR b) legge di Lenz 

Con riferimento alla figura (6.5), la bobina L impedisce che alla chiusura dell’inter– 

ruttore nella posizione 1, la corrente diventi istantaneamente uguale a VE/R. Infatti, 

al crescere della corrente nel tempo, aumenta anche il flusso magnetico concatenato col 

circuito e, in particolare, con la bobina. Tale aumento induce ai capi della bobina una 

forza elettromotrice che per la legge di Lenz, si oppone alla variazione di flusso. La 


6.7. ENERGIA IMMAGAZZINATA IN UNA BOBINA 107 

forza elettromotrice deve determinare, quindi, una corrente opposta a quella originaria 

che rallenterà l’aumento complessivo della corrente. In pratica la bobina agisce in seno 

al circuito come un generatore di forza elettromotrice con polarità opposta rispetto alla 

batteria che alimenta il circuito. La legge di Ohm diventa quindi: 

RI = VE + VL ossia RI = VE − L dI 

dt 

che corrisponde all’equazione differenziale lineare: 

dI 

dt 

R VE 

+ I = 

L L 

, (6.4) 

. (6.5) 

La soluzione dell’equazione (6.5), con la condizione iniziale I(0) = 0 è data da: 

I(t) = VE 

R (1 − e−t/τL ) con τL = L 

R 

. (6.6) 

Se si stacca la batteria del circuito (interruttore su posizione 2), l’equazione differenziale 

che regola la diminuzione della corrente si ottiene ponendo VE = 0 in (6.5), per cui: 

La soluzione con la condizione iniziale I(0) = I0 = VE/R è: 

dI 

dt 

R 

+ I = 0 . (6.7) 

L 

I(t) = VE 

−t/τL 

= I0e 

e 

−t/τL (6.8) 

Quindi più elevata è la resistenza R o piccola è l’induttanza L, più rapida è la decrescita 

della corrente. 

6.7 Energia immagazzinata in una bobina 

Moltiplicando per I l’equazione (6.4), si ottiene 

VEI = RI 2 + LI dI 

dt 

. (6.9) 

Questa espressione rappresenta il bilancio energetico del circuito. Il primo membro è 

la potenza spesa dal generatore per mantenere la corrente I nel circuito; il secondo 

membro è somma di due termini: il primo è la potenza dissipata nella resistenza R per 

effetto Joule, mentre il secondo indica la rapidità con cui viene immagazzinata l’energia 

nella bobina L. In particolare, indicando con UL l’energia immagazzinata, in un certo 

istante nella bobina, allora: 

dUL dI 

= LI . (6.10) 

dt dt 

Per ricavare l’energia magnetica necessaria per incrementare la corrente da zero a I, si 

integrano ambo i membri dell’espressione dUm = LIdI e si ottiene: 

UL = 

UL 

0 

dUL = 

I 

0 

LIdI = 1 

2 LI2 

(6.11) 


6.8. OSCILLAZIONI ELETTRICHE: CIRCUITI RCL 108 

Si può notare l’analogia di questa relazione con l’espressione dell’energia UC immagazzinata 

in un condensatore C caricato con una carica Q, vale a dire: 

UC = Q2 

2C 

6.8 Oscillazioni elettriche: circuiti RCL 

(6.12) 

Esistono quindi tre parametri che caratterizzano il flusso di elettricità in un circuito 

elettrico: la capacità C, la resistenza R e l’autoinduttanza L. 

Figura 6.6: Circuiti RCL senza e con fem esterna 

Analizziamo il caso in cui agiscano solo le fem VL e VC. Applicando la legge di 

Ohm, abbiamo: 

RI = VL + VC = −L dI Q 

− . (6.13) 

dt C 

Derivando rispetto a t e riordinando i termini, si ottiene: 

L d2 I 

dt 

+ RdI 

dt 

La soluzione di questa equazione differenziale è data da: 

con 

1 

+ I = 0 . (6.14) 

C 

I(t) = I0e −γt sin(ωt + α) (6.15) 

γ = R/2L , ω = 1/LC − R 2 /4L 2 . (6.16) 

Si stabilisce quindi una corrente oscillante la cui ampiezza diminuisce con il tempo. Se il 

rapporto R/L è molto piccolo, possiamo trascurare sia γ che il secondo termine sotto la 

radice di ω, ottenendo oscillazioni elettriche non smorzate con pulsazione ω = 1/LC, 

che è la pulsazione caratteristica di un circuito LC. Si noti che lo morzamento in un 


6.9. CIRCUITI ACCOPPIATI: MUTUA INDUZIONE 109 

circuito elettrico è dovuto alla dissipazione di energia nella resistenza. Se la resistenza 

R è sufficientemente grande, in modo che R 2 > 4L/C, ω diventa immaginaria e la 

corrente diminuisce gradualmente senza oscillare. 

Le oscillazioni nelle quali non è applicata alcuna fem esterna sono chiamate oscillazioni 

libere del circuito. Se si aggiunge una fem esterna, si parla di oscillazioni 

forzate. 

6.9 Circuiti accoppiati: mutua induzione 

L’induzione di una forza elettromotrice in seno ad un circuito può avvenire a causa del 

passaggio di una corrente variabile nel circuito stesso, ma può anche prodursi in corrispondenza 

delle variazioni di corrente in circuiti posti nelle vicinanze. Tale fenomeno 

prende il nome di mutua induzione. 

Figura 6.7: La mutua induzione 

Consideriamo due spire prossime una all’altra (vedi figura 6.7); supponiamo che 

una delle due sia percorsa da una corrente I1. Tale corrente produrrà nell’intorno della 

spira un campo magnetico B1 che concatenandosi con la seconda spira, determinerà 

un flusso φ2 non nullo. Sperimentalmente si verifica che tale flusso è proporzionale alla 

corrente I1 che ha prodotto il campo: 

φ2 = M21I1 . (6.17) 

Analogamente, se è la seconda spira ad essere percorsa da una corrente I2, il flusso del 

campo B2 prodotto, attraverso la prima spira sarà pari a: 

φ1 = M12I2 . (6.18) 

E’ possibile provare che i due coefficienti di proporzionalità M12 e M21 sono uguali; 

poniamo quindi M = M12 = M21. Il termine M prende il nome di coefficiente di 


6.9. CIRCUITI ACCOPPIATI: MUTUA INDUZIONE 110 

mutua induttanza e dipende dalla forma dei circuiti e dal loro mutuo orientamento. 

Anche M è misurato in henry. 

Noto M è possibile, quindi, stabilire l’entità della forza elettromotrice indotta in 

un circuito per effetto della variazione della corrente in un altro. Se la corrente I1 è 

variabile, il flusso φ2 attraverso il circuito 2 cambia e nel circuito viene indotta una fem 

VM2 data da: 

VM2 = −M dI1 

. (6.19) 

dt 

Naturalmente esisterà un’analoga espressione per la forza elettromotrice VM1 indotta 

nel primo circuito quando il secondo è percorso da una corrente I2 variabile, vale a 

dire: 

VM1 = −M dI2 

. (6.20) 

dt 

Come influenza l’effetto mutuo fra due circuiti l’andamento della corrente nei circuiti 

stessi? Riscriviamo l’equazione (6.14) per i due circuiti, aggiungendo le fem indotte 

VM1 e VM2: Per il circuito 1, si ha: 

Per il circuito 2, analogamente: 

d 

L1 

2I1 1 

+ RdI1 + 

dt dt C I1 = −M d2I2 . (6.21) 

dt2 d 

L2 

2I2 1 

+ RdI2 + 

dt dt C I2 = −M d2I1 . (6.22) 

dt2 Le due equazioni precedenti costituiscono un insieme di equazioni differenziali accoppiate. 

Senza esplicitare la soluzione, si può affermare che si verifica uno scambio di 

energia tra i circuiti. Applicazioni pratiche di questo processo sono i trasformatori e i 

generatori ad induzione. L’aspetto più importante e fondamentale della mutua induzione 

è quindi il fatto che l’energia può essere scambiata tra due circuiti mediante il 

campo elettromagnetico, il quale agisce come un veicolo per il trasferimento dell’energia 

nello spazio. 


Capitolo 7 

Problemi 

Serie 1: Ottica geometrica 

Serie 2: Onde 

Serie 3: Densità 

Serie 4: Campi elettrici 

Serie 5: Campi magnetici e induzione 

111

SERIE 1: OTTICA GEOMETRICA 

112 

1. Quanto deve essere alto uno specchio verticale affinché una persona alta 1.80 

possa vedere riflessa la sua immagine completa? [la metà ] 

2. Un raggio di luce che si propaga in aria entra in acqua con un angolo di incidenza 

di 45 o . Se l’indice di rifrazione dell’acqua è n = 1.33, quanto vale l’angolo di 

rifrazione? [32 o ] 

3. Un vetro ha l’indice di rifrazione pari a n = 1.50. Quanto vale l’angolo limite per 

la riflessione totale della luce che esce dal vetro ed entra in aria, dove n = 1.0? 

[42 o ] 

4. Un oggetto alto 1.5 cm si trova a 20 cm davanti a uno specchio concavo avente 

raggio di curvatura pari a 30 cm. Determinare la posizione dell’immagine e le 

sue dimensioni. Costruisci graficamente l’immagine. [q = 60 cm; h ′ = −4.5 cm, 

immagine reale capovolta davanti allo specchio] 

5. Un oggetto alto 1 cm si trova a 10 cm da uno specchio concavo che ha il raggio 

di curvatura di 30 cm. Si localizzi l’immagine e si determini l’ingrandimento. 

Costruisci graficamente l’immagine. [q = −30 cm; G = 3, immagine virtuale 

diritta dietro lo specchio] 

6. Uno specchietto retrovisore convesso ha raggio di curvatura R = 40 cm. Si 

localizzi l’immagine e si determini l’ingrandimento di un oggetto distante 10 m. 

[q = −19.6 cm; G = 1/51 cm, immagine virtuale dietro lo specchio] 

7. L’altezza dell’immagine reale di un oggetto formata da un lente convergente è il 

doppio di quella dell’oggetto. Se l’immagine dell’oggetto si trova a 20 cm dalla 

lente, calcola la distanza dell’oggetto e la distanza focale della lente [p = 10 

cm,f = 6.67 cm] 

8. Un oggetto si trova a una distanza di 30 cm da una lente convergente di lunghezza 

focale pari a 40 cm. Calcola la distanza dell’immagine dell’oggetto dalla lente 

[q = −120 cm] 


113 

9. Un segmento luminoso lungo 1 cm è posto dinanzi a una lente convergente perpendicolarmente 

all’asse ottico della lente, a una distanza di 30 cm dal suo centro 

ottico. L’immagine virtuale è alta 10 cm. 

Qual è la lunghezza focale della lente? [f = 33.3 cm] 

10. Devi produrre su uno schermo l’immagine ingrandita due volte di un oggetto 

luminoso che si trova a 90 cm dallo schermo. Di che lente hai bisogno (tipo e 

distanza focale)? 

[convergente,f = 20 cm] 

11. Un oggetto è posto davanti a una lente divergente a una distanza di 30 cm. La 

sua immagine è virtuale e si forma a una distanza di 18 cm dalla lente. Calcola 

la lunghezza focale della lente. [f = −45 cm] 

12. Una lente biconvessa sottile realizzata con vetro di indice di rifrazione n = 1.5 ha 

raggi di curvatura (in valore assoluto) di 10 cm (a destra) e 15 cm (a sinistra). 

a) Se ne trovi la distanza focale. [f = 12 cm] 

b) Verifica che essa non cambia se si inverte la direzione della luce incidente 

13. Un’ape si posa davanti a uno specchio sferico con | f |= 40 cm. L’immagine 

prodotta dallo specchio ha lo stesso orientamento dell’ape e la sua altezza si 

riduce di un fattore 5. 

a) L’immagine è reale o virtuale? Si trova dalla stessa parte dell’ape o dalla 

parte opposta? 

b) Lo specchio è concavo o convesso? Qual è la sua distanza focale corredata di 

segno? 

14. Un pesce si trova in un recipiente sferico di vetro pieno di acqua, con in dice di 

rifrazione n = 1.33. Il raggio del recipiente è di 15 cm. Il pesce guarda attraverso 

il recipiente e vede un gatto sul naso a 10 cm dal recipiente. 

a) Dove è l’immagine del naso del gatto?[q = −17.1 cm, virtuale davanti] 

b) Risulta ingrandito o rimpicciolito? 


15. Una lente biconcava ha indice di rifrazione pari a 1.5. I raggi di curvatura hanno 

i valori assoluti di 10 cm e 15 cm. Trovare la distanza focale. [f = −12 cm] 

16. Una formica si trova lungo l’asse ottico di una lente sottile a facce simmetriche, a 

20 cm dalla lente. L’ingrandimento trasversale della formica prodotto dalla lente 

è G = −1/4, e l’indice di rifrazione della lente è 1.65. Si determini il tipo di 

immagine prodotta, il tipo di lente e il raggio di curvatura della lente. [R = 5.2 

cm] 

17. Un oggetto si trova davanti a due lenti coassiali sottili con distanza focale f1 = 

+24 cm e f2 = +9 cm che sono separate di 10 cm. L’oggetto si trova a 6.0 cm 

dalla lente 1. Dove si trova la sua immagine finale? [q2 = 18 cm] 

18. Il rifrattometro è uno strumento per la determinazione dell’indice di rifrazione 

delle sostanze. Il principio di funzionamento è basato sulla misura dell’angolo 

limite. 

114 

Nel rifrattometro di Pulfrich un fascio di luce convergente colpisce la superficie 

di separazione tra un campione di indice di rifrazione incognito n e un prisma 

di indice di rifrazione noto n ′ (con n ′ > n) per poi riemergere dall’altro lato 

del prisma, come indicato in figura. Determinare l’indice di rifrazione incognito. 

[n = 1.4] 

Dati: n ′ = 1.5; naria = 1.0; Ê = 30o 


SERIE 2: ONDE 

115 

1. Un’onda armonica si sta propagando su una fune costituita da tratti in densità 

lineare µ1 e µ2, rispettivamente. La lunghezza d’onda nel tratto λ = 1 m e nel 

tratto 2 vale √ 2 m. Quale delle seguenti relazioni è corretta? 

A µ1 = µ2 

B µ1 = √ 2µ2 

C µ2 = √ 2µ1 

D µ1 = 2µ2 

E µ2 = 2µ1 

2. Costruisci la scala diatonica di Mi maggiore (E major) determinando le frequenze 

delle note che compongono la scala, usando come riferimento il La4 a 440 Hz. 

3. Una corda di violino è tesa con la forza F = 100 N. La sua densità lineare vale 

µ = 20 g/m. Determinare: 

a) la velocità di propagazione delle onde nella corda; 

b) la corrispondente lunghezza d’onda sapendo che esse hanno la frequenza di 

500 Hz. 

[v = 70.7 m/s, λ = 0.14 m] 

4. Una lunga corda orizzontale viene messa in oscillazione dall’azione prodotta ad 

un suo estremo da una sbarretta oscillante trasversalmente con frequenza ν = 2 

Hertz ed ampiezza 5 cm. La fune ha una densità lineare µ = 0.1kg/m ed ha una 

tensione T = 10N. Calcolare: 

a) velocità e lunghezza d’onda del moto ondulatorio [10 cm/s, 5 m] 

b) Scrivere anche l’equazione dell’onda supponendo che si muova da sinistra 

verso destra e che, in t = 0, l’estremità che si trova in x = 0 si trovi nella 

posizione di equilibrio y = 0. 

5. In un esperimento su onde stazionarie, una corda lunga 90 cm è attaccata al 

dente di un diapason che oscilla perpendicolarmente alla lunghezza della corda 

a una frequenza di 60 Hz. A quale tensione deve essere sottoposta la corda (ad 

esempio con dei pesi all’altra estremità ) se essa vibra con 5 nodi (comprese le 

estremità , vale a dire 4 occhielli) [35.7 N ] 


6. a) Trova la velocità delle onde su una corda di violino di 800 mg lunga 22 cm 

se la frequenza fondamentale è di 920 Hz. 

b) Quanto è la tensione della corda? 

c) Per l’onda fondamentale, qual è la lunghezza d’onda delle onde sulla corda e 

delle onde sonore emesse dalla corda? 

116 

[405 m/s; 596 N, 0.44 m, 0.373 m] 

7. Una fune di densità lineare µ = 100 g/m lunga 100 metri pende da un chiodo di 

una parete rocciosa. Il suo estremo libero viene fatto oscillare con moto armonico 

a frequenza costante f = 2 Hz. Determinare la velocità di propagazione delle onde 

a 90 m e a 10 m dal chiodo e la lunghezza d’onda in prossimità di quelle quote. 

[v(90) = 9.9 m/s, λ(90) = 4.95 m, v(10) = 29.7 m/s, λ(10) = 14.85 m] 

8. In una sala di registrazione, un microfono è sospeso per il filo a un supporto e 

pende in posizione verticale davanti a un flautista. Questi esegue un La (440Hz), 

stando fermo davanti al microfono. Allorché si ascolta la registrazione, si nota che 

la frequenza varia con un periodo di 1,2 s, aumentando e diminuendo di altezza 

fino a un massimo di 0,85 Hz in più e in meno. Con quale ampiezza il microfono 

oscillava avanti e indietro verso il flautista? (Assumi il valore di 344 m/s per la 

velocità del suono.) 

9. Vuoi misurare con un apparecchio la frequenza di un suono emesso da un ambulanza. 

Se l’ambulanza si avvicina a te a 72 km/h, la frequenza misurata è di 700 

Hz mentre se tu ti avvicini all’ambulanza ferma a 18 km/h, la frequenza misurata 

è di 668.6 Hz 

a) Qual è la velocità del suono e quale frequenza propria possiede il suono emesso 

dall’ambulanza? 

b) A che nota nella scala ben temperata corrisponde la frequenza propria emessa, 

fissando il La4 a 440 Hz? 

10. Un’onda trasversale con un’ampiezza di 40 cm, si propaga a una velocità di 5 

m/s e possiede una lunghezza d’onda di 2 metri. Per x = 0 e t = 0, l’ampiezza è 

nulla. 

a) Quanto vale il periodo? 

b) Che ampiezza possiede nel punto x = 7.6 m all’istante t = 1.45 sec? 

c) Che velocità verticale possiede il punto x = 5.2 nell’istante t = 3.1 sec? 


SERIE 3: DENSITA’ 

1. Di una sbarra lunga due metri, è nota la densità ρ(x) = sin xe −x , 0 ≤ x ≤ 2 

a) Trova la massa della sbarra 

b) Quanta percentuale di massa è contenuta tra 80 e 120 cm? 

117 

2. Tre cariche puntiformi di +2, +3 e +4µC sono poste rispettivamente sui vertici 

A, B e C di un triangolo equilatero (con base AB) di 10 cm di lato. Calcola la 

forza risultante che agisce sulla carica di 4 µC posta in C. 

[R: 15.69 N, in direzione N 6.59 o O] 

3. Una piccola sfera di massa 0, 2 g è appesa ad un filo tra due piastre verticali 

distanti 5 cm. La carica della sfera è di 6 · 10 −9 C e il filo si dispone in modo da 

formare un angolo di 10 o con la verticale. Qual è la densità di carica superficiale 

delle piastre e la loro differenza di potenziale? 

[R: σ = 5 · 10 −7 C/m 2 ; ∆V = 2882 V] 

4. Visto in modo più quantistico, un elettrone dell’atomo di idrogeno può ritenersi 

distribuito in tutto lo spazio con una densità di carica pari a ρ(r) = C e −2r/r0 

(r0 = 5.3 · 10 −11 m come nell’esercizio 1). 

a) Trova la costante C in modo che la carica totale nello spazio sia effettivamente 

−e. 

b) Calcola il campo elettrico in funzione di r. 

[R: C = −e/πr 3 0] 

[R: E(r) = e/(4πε0r 2 )[(2(r/r0) 2 + 2(r/r0) + 1)e −2r/r0 − 1]] 

5. Un filo di lunghezza L ha una densità lineare di carica λ ed è posto sull’asse x 

fra l’origine e il punto (0, L). Partendo dal potenziale elettrico, dimostra che il 

campo elettrico creato dal filo in un punto P (x, y) del piano è dato da: 

dove θ1 = ∠(P OL) and θ2 = ∠(P LO). 

Ex = − λ 

4πε0y (sin θ2 − sin θ1) 

Ey = 

λ 

4πε0y (cos θ2 + cos θ1) 


SERIE 4: CAMPI ELETTRICI 

1. Abbiamo visto che le linee di forza di un campo elettrico non possono mai 

intersecarsi. Spiega perché. 

118 

2. L’atomo di idrogeno consiste in un nucleo formato da un protone e un elettrone 

orbitale (q = ±1.6 · 10 −19 C). Se si assume che l’orbita dell’elettrone sia circolare 

e che la distanza fra le due particelle sia pari a 5.3 · 10 −11 m, trovare 

a) la forza elettrica attrattiva fra le e particelle 

b) la velocità orbitale dell’elettrone attorno al protone (me = 9.11 · 10 −31 kg) 

[R: 8.2 · 10 −8 N; 2.2 · 10 6 m/s] 

3. Tre cariche puntiformi di +2, +3 e +4µC sono poste rispettivamente sui vertici 

A, B e C di un triangolo equilatero (con base AB) di 10 cm di lato. Calcola la 

forza risultante che agisce sulla carica di 4 µC posta in C. 

[R: 15.69 N, in direzione N 6.59 o O] 

4. Trovare nel punto P (0, 0, 5)m il campo elettrico dovuto a Q1 = 0.35µC posta in 

P1(0, 4, 0)m e a Q2 = −0.55µC posta in P2(3, 0, 0)m. [ E = 

(74.9; −48.0; −64.9)N/C] 

5. Un filo lungo 10 metri è posto lungo l’asse z e possiede una densità lineare ρ = 

2 · 10 −8 C/m. Trovare il campo elettrico in un punto a due metri dal filo posto 

su un piano perpendicolare al filo passante per il punto medio. [E = 167N/C in 

direzione radiale] 

6. Una bacchetta piegata ad arco che sottende un arco di 120 o con raggio R = 65 

cm possiede una carica Q = 4 · 10 −2 µC distribuita uniformemente. 

a) Calcolare il campo elettrico nel centro del cerchio a cui appartiene l’arco. 

[E = 703.7 N/C] 

b) Quale carica deve possedere una carica puntiforme posta alla distanza R 

dal centro opposta al centro dell’arco, per fornire lo stesso campo elettrico? 

[−3.31 · 10 −2 µC] 


7. Un filo lungo 4 metri con carica Q = 8µC è posto sull’asse delle ascisse fra x = −2 

e x = 2. La densità di carica lineare è data 

λ(x) = C | x | , −2 ≤ x ≤ 2 

Calcola la costante C. Che unità di misura ha? [R: C = 2 µC/m 2 ] 

119 

8. Trovare il lavoro compiuto spostando una carica puntiforme Q = −20µC dall’origine 

al punto (4, 0) m e in seguito al punto (4, 2) m., se il campo elettrico 

presente è dato da: 

E = ( x 

2 + 2y)ex + 2xey 

[ L= 80µJ e 320µJ] 

9. Una carica puntiforme Q1 = +6e viene tenuta fissa nell’origine degli assi cartesiani. 

Una seconda carica Q2 = −10e viene fissata in x0 = 9.0nm e y = 0. Il 

luogo di punti nel piano xy in cui V = 0 è una circonferenza centrata sull’asse x. 

a) Trova la posizione xc del centro della circonferenza [ xc = −5.06 nm] 

b) Trova il raggio R della circonferenza [ R=8.44 nm] 

10. E’ dato il potenziale elettrico 

V (x, y, z) = πx 2 sin(z)/y 

Trova il campo elettrico nel punto P (2, −2, π/6). [ E = (π, π/2, (3)π) N/C] 

11. Una carica di 30 nC è uniformemente distribuita su un disco circolare di raggio 

R = 2 m. Trovare il potenziale in un punto sull’asse del disco che si trova a 5 

metri d’altezza rispetto al centro. [ V=52 V] 

12. Trova il campo elettrico prodotto da una sfera di raggio R con una carica Q 

distribuita uniformemente in tutto il volume 

a) all’esterno della sfera (r ≥ R) 

b) all’interno della sfera per r < R 


13. Un guscio sferico isolante di raggio interno a ed esterno b ha una densità di carica 

volumetrica pari a ρ = K/r, dove K è una costante e r è la distanza dal centro 

della sfera che definisce il guscio. 

a) Usando il teorema di Gauss, trova il campo elettrico nelle tre zone r < a, a ≤ 

r ≤ b, r > b 

120 

b) Al centro del guscio, è posta una carica puntiforme q. Quale dovrebbe essere 

il valore di K affinché il campo elettrico nel guscio (a ≤ r ≤ b) sia costante? 

[ K = q/2πa 2 ] 

c) Quanto vale il campo elettrico in quel caso? [ E = −q/4πε0a 2 ] 

14. Visto in modo più quantistico, un elettrone dell’atomo di idrogeno può ritenersi 

distribuito in tutto lo spazio con una densità di carica pari a ρ(r) = C e −2r/r0 

(r0 = 5.3 · 10 −11 m come nell’esercizio 2). 

a) Trova la costante C in modo che la carica totale nello spazio sia effettivamente 

−e. 

b) Calcola il campo elettrico in funzione di r. 

[R: C = −e/πr 3 0] 

[R: E(r) = e/(4πε0r 2 ) (2(r/r0) 2 + 2(r/r0) + 1)e −2r/r0 − 1 ] 


SERIE 5: CAMPI MAGNETICI E INDUZIONE 

1. La figura mostra uno spettrometro di massa 

per misurare la massa di ioni. Supponendo 

che in un esperimento, abbiamo B = 

80 mT , V = 1000 V e la carica degli ioni è 

di −e. Si constata che x = 1.625 m. Qual 

è la massa dei singoli ioni in unità di massa 

atomica (1u = 1.66 · 10 −27 ) 

[ m = 203.9 u] 

2. Nella figura a fianco, sia l = 1.5 m, B = 0.5 T e 

v = 4 m/s. 

a) Qual è la differenza di potenziale tra i capi del 

conduttore? [R: 3V] 

b) Quale terminale è a potenziale più alto?[R:(a)] 

3. Il campo magnetico B in tutti i punti interni alla 

circonferenza tratteggiata in figura è uguale a 0.5 

T e decresce alla velocità di 0.1 T/s. 

a) Qual è la forma delle linee di forza del campo 

elettrico indotto? [R: cerchio orientati in 

direzione oraria] 

b) Qual è il valore di questo campo e la fem. nell’anello? 

[R: 

5 · 10 −3 , π · 10 −3 ] 

121 

4. Un disco metallico di raggio R ruota con velocità angolare ω in presenza di un 

campo magnetico uniforme B parallelo all’asse di rotazione. Trova la differenza 

di potenziale tra il centro e il bordo del disco. [R: ωR 2 B/2] 


5. Una spira rettangolare viene mossa in una regione 

dello spazio nella quale il campo magnetico è dato 

da B = (6 − y, 0, 0) T . Ponendo che per t = 0, 

la spira si trovi nella posizione indicata, trovare la 

fem nella spira in funzione di t se v = 2 m/s. [R: 

0, 2 V] 

6. Nella figura a fianco, il lato del quadrato è di 2.0 cm. 

Nella regione vi è un campo magnetico, in direzione 

normale e uscente dal foglio, la cui intensità è pari 

a B = 4.0t 2 y T. 

Si determini la f.e.m. indotta lungo il quadrato a 

t = 2.5 sec. e il suo verso [R: 8 · 10 −5 V, senso 

orario]. 

7. Nella figura a fianco, è rappresentata una bacchetta 

conduttrice di massa m e di lunghezza L che può 

scivolare senza attrito. Il generatore G fa circolare 

nel circuito una corrente costante I. 

122 

a) Si determini la velocità della bacchetta in funzione del tempo, supponendo 

che la bacchetta sia ferma a t = 0. [R: v = IBLt/m] 

b) Si sostituisca al generatore una batteria che fornisce una f.e.m costante Σ. 

Si dimostri che la velocità tende a un valore costante e si determini il suo 

valore. [R: v∞ = Σ/BL] 

c) Quanto vale la corrente nella bacchetta in questo limite? I = 0 

d) Trova la corrente in funzione del tempo

Corso di Fisica 3 ONDE E ELETTROMAGNETISMO - Matematica e ...

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