Valutazione con Alberi Binomiali

Alberi Binomiali
Sezione 8
Riferimento: Capitolo 11
Hull: Opzioni, futures e altri derivati

Alberi binomiali
Tecnica per la valutazione delle opzioni
Diagramma che rappresenta le possibili
realizzazioni future del prezzo del
sottostante durante la vita dell’opzione
Principio della “valutazione neutrale verso
il rischio”

Esempio di modello binomiale
Albero binomiale per il caso di un’azione che non
paga dividendi nel periodo considerato
Il prezzo corrente dell’azione è $20
Tra 3 mesi, si avranno due possibili realizzazioni
per il prezzo: salirà a $22 oppure scenderà a $18
20
22
18

Valutazione di opzioni europee
Opzione call sull’azione:
strike price X = $21 ; scadenza T = 3 mesi
Valore in T della call pari a Max(S T – X, 0)
20
prezzo call = ???
22
1
18
0

Costruzione portafoglio privo di rischio
Si consideri un portafoglio costituito da posizione
lunga di Δ azioni e posizione corta di 1 call
???
22 · Δ –1
18 · Δ –0
Il portafoglio è privo di rischio (stesso valore in T
indipendentemente da up o down) se:
22 · Δ – 1 = 18 · Δ ⇒ Δ = 0,25

Valutazione del portafoglio
Il portafoglio privo di rischio è lungo 0,25 azioni
e corto di 1 call
Valore portafoglio tra 3 mesi (con certezza) è
22 · 0,25 − 1 = 18 · 0,25 = 4,5
In assenza di opportunità di arbitraggio, il tasso
di rendimento di un portafoglio privo di rischio
deve essere pari al tasso di interesse privo di
rischio (hp: r = 12%). Quindi:
4,5 · e −0,12 · 0,25 = 4,367

Valore di non-arbitraggio dell’opzione
Il valore di non-arbitraggio del portafoglio
(lungo 0,25 azioni e corto 1 call) è 4,367
Poiché il valore corrente di 0,25 azioni è
0,25 · 20 = 5
allora, il valore di non-arbitraggio della call è
5 − 4,367 = 0,633

Generalizzazione
Si consideri un’azione, con prezzo corrente S 0 ,
e un’opzione su questa azione, con prezzo
corrente f e scadenza al tempo T
Si ipotizzi che, da oggi alla scadenza T, il prezzo
dell’azione possa salire a S 0 ·u oppure scendere
a S 0 ·d , con u > 1 e d < 1
S 0 ; f
S 0 ·u ; f u
S 0 ·d ; f d

Il valore di un portafoglio lungo Δ azioni e
corto un derivato è pari a:
S0 ·u ·Δ – fu S0 · Δ – f
S0 ·d·Δ – fd Portafoglio privo di rischio se:
Δ
=
S
S 0 ·u ·Δ – f u = S 0 ·d·Δ – f d
0
f − f u d
⋅
u
−
S
0
⋅
⇓
d
Diff. prezzo opzione
= --------------------------
Diff. prezzo azione

In assenza di opportunità di arbitraggio, il tasso di
rendimento di un portafoglio privo di rischio deve
essere pari al tasso di interesse privo di rischio.
Quindi, il valore del portafoglio oggi è
(S 0 ·u ·Δ – f u ) ·e −rT
ovvero
(S 0 ·u ·Δ – f u ) ·e −rT = S 0 · Δ – f
⇓
f = S 0 · Δ –(S 0 ·u ·Δ – f u ) ·e −rT

Sostituendo l’espressione per Δ si ottiene:
ove:
f = [ π ·f u +(1 − π) ·f d ] ·e −rT
π
=
e rT
u
Le variabili π e (1 − π) possono essere
interpretate, rispettivamente, come la probabilità
di rialzo e la probabilità di ribasso del prezzo
dell’azione in un mondo neutrale verso il rischio
−
−
d
d

Valutazione neutrale verso il rischio
Il valore di un derivato è pari al suo payoff
atteso, calcolato con le probabilità aggiustate
per il rischio (ovvero, neutrali verso il rischio),
attualizzato in base al tasso privo di rischio
S 0
f
π
1 − π
S 0 · u
f u
S 0 · d
f d

Se π è la probabilità che si verifichi un rialzo del
prezzo dell’azione, allora:
E(S T ) = π · (S 0 · u) + (1 − π) · (S 0 · d) = S 0 · e rT
Ciò equivale a dire che il tasso di rendimento atteso
dell’azione è uguale al tasso privo di rischio r e gli
investitori non richiedono alcun extra-rendimento:
neutralità verso il rischio
⇓
Opzione valutata come se vi fosse
neutralità verso il rischio

π =
e rT
u
S 0
f
− d
− d
=
Esempio
e
π
1 − π
0 , 12
⋅0
1,
1
, 25
−
−
0,
9
f = [ π ·f u +(1 − π) ·f d ] ·e −rT
0,
9
=
S 0 · u = 22
f u = 1
S 0 · d = 18
f d = 0
0,
6523
= [ 0,6523 · 1 + 0,3477 · 0 ] ·e −0,12·0,25 = 0,633

Alberi binomiali a due stadi
Azione con prezzo S 0 e opzione su azione con
prezzo f e scadenza al tempo T
Si ipotizzi che, nell’intervallo T/2, il prezzo
dell’azione possa aumentare di (u – 1)% oppure
scendere di (1 – d)%, ove u > 1 e d < 1
π
S 0 ·u ; f u
S 0 ·u 2 ; f uu
S 0 ; f S 0 ·u ·d ; f ud
1 − π
S 0 ·d ; f d
π
1 − π
π
1 − π
S 0 ·d 2 ; f dd

Valutazione dell’opzione effettuata procedendo a
ritroso lungo i nodi dell’albero
f u = [ π ·f uu +(1 − π) · f ud ] ·e −r(T/2)
f d = [ π ·f ud +(1 − π) · f dd ] ·e −r(T/2)
f = [ π ·f u +(1 − π) ·f d ] ·e −r(T/2)
con:
Valutazione di opzioni europee
= [ π 2 ·f uu + 2 π (1 − π) · f ud +(1 − π) 2 ·f dd ] ·e −2r(T/2)
π =
e T r (
u
/ 2)
−
−
d
d

Esempio
Il prezzo corrente di un’azione è $20 e in ciascuno
dei due intervalli di tempo può salire o scendere
del 10% (u = 1,1 ; d = 0,9)
Ogni intervallo è di 3 mesi (T/2 = 0,25)
24,2
22
20 19,8
18
16,2

Valutazione di un’opzione
Azione che non paga dividendi tra 0 e T
Opzione call sull’azione:
strike price X = $21; scadenza T = 6 mesi; r = 12%
Valore in T della call pari a Max(ST –X, 0)
B
A
20 ; ???
22 ; ???
24,2 ; 3,2
E
19,8 ; 0
18 ; ???
F
16,2 ; 0
C
D

π =
(
e T r
u
/ 2)
−
−
d
d
=
e
0,
12
⋅
1,
1
0,
25
−
−
0,
9
0,
9
=
0,
6523
Procedendo a ritroso lungo i nodi dell’albero ...
Valore al nodo B
f u = [ 0,6523 · 3,2 + 0,3477 · 0 ] ·e −0,12·0,25 = 2,0257
Valore al nodo C
f d = [ 0,6523 · 0 + 0,3477 · 0 ] ·e −0,12·0,25 = 0
Valore al nodo A
f = [0,6523 · 2,0257 + 0,3477 · 0] ·e −0,12·0,25 = 1,2823

Valutazione di opzioni americane
Il valore di un’opzione americana:
ai nodi finali è
uguale al valore dell’europea
ai nodi intermedi è
uguale al valore massimo tra valore
dell’europea e valore risultante
dall’esercizio anticipato

Esempio
Azione con prezzo corrente $50
Opzione put americana sull’azione:
strike price X = $52; scadenza T = 2; r = 5%
Si ipotizzi che, nell’intervallo T/2 = 1 anno, il
prezzo dell’azione possa salire del 20% (u = 1,2)
oppure scendere del 20% (d = 0,8)
Valore in T della put pari a Max(X – S T , 0)
Valore in (T/2) della put pari a Max(X – S (T/2) , 0)
Poiché la put è americana, si deve verificare ad ogni
nodo se è conveniente l’esercizio anticipato

72 ; 0
60 ; ???
50 ; ??? 48 ; 4
40 ; ???
32 ; 20
No-esercizio anticipato Esercizio anticipato
f u = 1,4147 f u = 0
f d = 9,4636 f d = 12
f = [0,6282 · 1,4147 + 0,3718 · 12] ·e −0,05·1 = 5,0894

Calcolo dei parametri u e d
I parametri u e d determinano l’ampiezza dei
movimenti del prezzo dell’azione: devono quindi
essere coerenti con la volatilità dei rendimenti
dell’azione nell’intervallo di tempo considerato
Δt (Δt = T/2 se albero a due stadi)
u
=
e
σ
Δt
⇓
La volatilità dell’azione σ è in termini annui
d
=
1
u
=
e
−σ
Δt

Alberi binomiali ricombinanti
La struttura dei parametri u e d implica che nei
nodi centrali l’albero si ricombina
π
S 0 ·u ; f u
S 0 ·u 2 ; f uu
S0 ; f S0 ; fud S0 ·d ; fd S0 ·d2 ; fdd 1 − π
S ⋅u⋅
d =
0
S
0
π
1 − π
π
1 − π

Delta
Il Delta (Δ) è il rapporto tra la variazione del
prezzo dell’opzione e la variazione del prezzo
dell’azione sottostante
Δ
=
S
f u − d
Il valore del Δ varia da nodo a nodo
0
⋅
u
⇓
Parametro fondamentale per le strategie di
hedging mediante opzioni
−
f
S
0
⋅
d

Opzioni su indici azionari e valute
Per la valutazione di opzioni su indici azionari e
opzioni su valute si utilizza la stessa procedura
vista per azioni che non pagano dividendi
L’unica differenza riguarda il calcolo della
probabilità aggiustata per il rischio π
π =
e
( r −q Δ
u
) t
− d
− d
q indica il tasso di dividendo medio atteso sulle
azioni che compongono l’indice (opzioni su
indice) oppure il tasso di interesse estero privo
di rischio (opzioni su valute)

Alberi binomiali a n stadi
…….
S0 ·u3 ; fuuu S0 ·u2 ; fuu …….
S0 ·u ; fu S0 ·u2 ·d ; fuud S0 ;f S0 ·u ·d ; fud …….
S0 ·d ; fd S0 ·d2 ·u ; fddu S0 ·d2 ; fdd …….
S0 ·d3 ; fddd …….

Per un numero di stadi n qualsiasi, il prezzo
dell’opzione con scadenza al tempo T è dato da:
f
Valutazione di opzioni con n stadi
⎛ n ⎛
= ⎜
∑⎜
⎝ j=
0⎝
n
j!
( n−
⎞
! j n−
j
−n⋅r⋅(
T / n)
⎟⋅π
⋅(
1−π
) ⋅ f ⎟
j⋅u,
( n−
j)
⋅d
⋅e
j)!
⎠
dove j, 0 ≤ j ≤ n, è il numero di rialzi tra 0 e T
j n−
j
Valore call in T : f = Max u ⋅ d ⋅ S − X )
Valore put in T :
f
j⋅u
, ( n−
j)
⋅d
j⋅u
, ( n−
j ) ⋅d
=
Max
⎞
⎟
⎠
( 0
j n−
j
( X − u ⋅ d ⋅ S0
)

Da alberi a n stadi a Black-Scholes
Per n che tende a infinito, il valore dell’opzione
fornito dall’albero binomiale converge al valore
analitico della formula di Black & Scholes
p
c
=
=
=
=
lim
n→
∞
X
lim
n→∞
S
0
⋅ e
f
f
− r⋅T
s.v.
1
s.v.
f
f
T
T
=
⋅ N ( −d
=
⋅ N(
d ) − X ⋅e
2
Max
)
Max
−r⋅T
( j n−
j
X − u d S , 0)
2
ln( S0
/ X ) + ( r + σ / 2)
T
d1 = , d2
= d1
−σ
σ T
−
S
( j n−
j
u d S − X , 0)
⋅ N(
d
0
2
)
0
⋅ N ( −d
1
)
0
T

N(•) : funzione di distribuzione cumulata di una
variabile Normale con media 0 e varianza 1
N(y) : probabilità che la variabile casuale assuma
un valore inferiore a y
Per T → 0, se ST > X, d1 e d2 tendono a +∞
N(d1 ) = N(d2 ) = 1 N(–d1 ) = N(–d2 ) = 0
⇒ c = S T – X ; p = 0
Per T → 0, se ST < X, d1 e d2 tendono a –∞
N(d1 ) = N(d2 ) = 0 N(–d1 ) = N(–d2 ) = 1
⇒ p = X – S T ; c = 0