LeLing9 - Dipartimento di Matematica
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Ārgomenti svolti:<br />
<strong>LeLing9</strong>: Prodotto tra matrici.<br />
Geometria Lingotto.<br />
• Prodotto tra matrici.<br />
• Dimostrazione del teorema del rango.<br />
• L’algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e’ commutativo.<br />
• Rotazioni e operazioni elementari usando il prodotto, cioe’ matrici elementari.<br />
• La trasposizione, cioe’ la matrice trasposta.<br />
Ēsercizi consigliati: Geoling 12.<br />
Prodotto tra matrici<br />
Per <strong>di</strong>re in modo semplice che la colonna B e’ combinazione lineare delle colonne<br />
A1, A2, · · · , An si usa il concetto <strong>di</strong> prodotto tra una matrice A e una colonna C . Piu’<br />
precisamente, se la colonna B e’ una combinazione lineare delle colonne A1, A2, · · · , An<br />
allora esistono c1, c2, · · · , cn tali che c1A1 + c2An + · · · + cnAn = B . Possiamo allora<br />
pensare alle colonne A1, A2, · · · , An come le colonne <strong>di</strong> una matrice A e possiamo ⎛ an- ⎞<br />
⎜<br />
che pensare i coefficienti c1, c2, · · · , cn come gli elementi <strong>di</strong> una colonna C = ⎜<br />
⎝<br />
Dunque il prodotto A.C della matrice A e la colonna C sara’ per definizione la colonna<br />
B .<br />
Definizione 0.1. Sia A = (aij) una matrice m × n, cioe’ A ha m righe e n colonne.<br />
Sia C = (ci) una colonna <strong>di</strong> n elementi. Allora il prodotto A · C e’ la combinazione<br />
lineare c1A1 + c2An + · · · + cnAn.<br />
Osservare che il prodotto A · C della matrice A e la colonna C ha senso solo quando<br />
C e’ una colonna con un numero <strong>di</strong> elementi uguale al numero <strong>di</strong> colonne della matrice<br />
A.<br />
<br />
0 1 2 −1<br />
Esempio 0.2. Il prodotto A · C della matrice A =<br />
1 5 −7 0<br />
⎛ ⎞<br />
5<br />
<br />
⎜<br />
C = ⎜ 2 ⎟<br />
0 1 2 −1 4<br />
⎝ 1 ⎠ e’ A · C = 5 + 2 + 1 + 0 =<br />
1 5 −7 0 8<br />
0<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 1 Geometria<br />
c1<br />
c2<br />
.<br />
cn<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
e la colonna<br />
<br />
.
Geometria Lingotto.<br />
Una volta che abbiamo definito il prodotto tra una matrice A e una colonna C<br />
possiamo definire il prodotto tra una matrice A e una matrice C . L’idea e’ pensare C<br />
dal punto <strong>di</strong> vista delle colonne e usare la definizione precedente.<br />
Definizione 0.3. Sia A una matrice m × k e sia C una matrice k × n. Allora il<br />
prodotto A · C e’ la matrice m × n :<br />
A · C := (A · C1 A · C2 · · · A · Cn)<br />
dove A · Cj e’ il prodotto tra la matrice A e la colonna Cj .<br />
Dunque la prima colonna del prodotto A · C e’ la combinazione lineare delle colonne<br />
<strong>di</strong> A ottenuta usando i coefficienti della prima colonna della C , la seconda colonna del<br />
prodotto A·C e’ la combinazione lineare delle colonne <strong>di</strong> A ottenuta usando i coefficienti<br />
della seconda colonna della C e cosí via. In questo modo, il prodotto A · C si pensa dal<br />
punto <strong>di</strong> vista delle colonne.<br />
⎜<br />
Pensando alla matrice A dal punto <strong>di</strong> vista delle righe, cioe’ A = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
R1<br />
R2<br />
.<br />
Rm<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ osservi-<br />
amo che il prodotto A · C tra A e una colonna C , si puo’ anche calcolare faccendo il<br />
prodotto tra le righe <strong>di</strong> A e la colonna C , cioe’:<br />
⎛<br />
⎜<br />
A · C = ⎜<br />
⎝<br />
R1 · C<br />
R2 · C<br />
.<br />
Rm · C<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Questa osservazione <strong>di</strong>mostra la seguente proposizione.<br />
⎛ ⎞<br />
Proposizione 0.4. Sia A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
R1<br />
R2<br />
.<br />
Rm<br />
⎟<br />
⎠ una matrice <strong>di</strong> m × k, cioe’ la riga Rj ha k<br />
elementi, e sia C = (C1 C2 · · · Cn) una matrice <strong>di</strong> k × n. Allora il prodotto A · C e’ la<br />
seguente matrice m × n:<br />
⎛<br />
⎜<br />
A · C := ⎜<br />
⎝<br />
R1 · C1 R1 · C2 · · · R1 · Cn<br />
R2 · C1 R2 · C2 · · · R2 · Cn<br />
.<br />
. · · ·<br />
Rm · C1 Rm · C2 · · · Rm · Cn<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 2 Geometria
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto.<br />
Dove Ri · Cj = k<br />
s=1 aiscsj .<br />
Dunque possiamo anche pensare al prodotto A·C del punto <strong>di</strong> vista delle righe, cioe’<br />
⎛<br />
⎜<br />
A · C = ⎜<br />
⎝<br />
R1 · C<br />
R2 · C<br />
.<br />
Rm · C<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Detto a parole: la prima riga della matrice A · C e’ la combinazione lineare delle<br />
righe della matrice C usando i coefficenti della prima riga <strong>di</strong> A, la seconda riga della<br />
matrice A · C e’ la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti<br />
della seconda riga <strong>di</strong> A e cosí via. Ecco un modo pratico <strong>di</strong> fare il prodotto A · B :<br />
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango<br />
Questa possibilitá <strong>di</strong> pensare il prodotto tra matrici dal punto <strong>di</strong> vista delle colonne<br />
oppure delle righe ci permette <strong>di</strong>mostrare molto semplicemente il Teorema del rango che<br />
afferma che il rango righe ρR(A) e’ uguale al rango colonne ρC(A) per qualsiasi matrice<br />
A. Ricordare che questo permette definire il rango ρ(A) <strong>di</strong> una matrice A come<br />
ρ(A) = ρR(A) = ρC(A).<br />
Dimostrazione del Teorema del rango. Sia A una matrice n × m e sia c = ρC(A) il<br />
rango colonne. Allora le colonne della matrice A sono combinazione lineare <strong>di</strong> c colonne<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 3 Geometria
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto.<br />
C1, C2, · · · Cc . Sia C la matrice le cui colonne sono le C1, C2, · · · , Cc . Interprentando<br />
il prodotto dal punto <strong>di</strong> vista delle colonne segue che esiste una matrice M tale che<br />
A = C · M , cioe’ la prima colonna <strong>di</strong> A e’ la combinazione lineare delle colonne <strong>di</strong> C<br />
usando i coeficienti della prima colonna <strong>di</strong> M , etc. Osservare che la matrice C e’ n × c<br />
e la matrice M e’ c × m. Adesso e’ il momento d’interpretare il prodotto A = C · M<br />
dal punto <strong>di</strong> vista delle righe. Dunque le righe <strong>di</strong> A sono combinazioni lineari delle righe<br />
<strong>di</strong> M . Questo implica che lo spazio righe <strong>di</strong> A, RA e’ un sottospazio dello spazio righe<br />
RM <strong>di</strong> M e’ quin<strong>di</strong> risulta ρR(A) = <strong>di</strong>m(RA) ≤ <strong>di</strong>m(RM) = ρR(M). Ma M ha c righe<br />
dunque:<br />
ρR(A) = <strong>di</strong>m(RA) ≤ <strong>di</strong>m(RM) = ρR(M) ≤ c = ρC(A)<br />
da cui ρR(A) ≤ ρC(A). In modo analogo, cioe’ pensando inizialmente A dal punto<br />
<strong>di</strong> vista delle righe risulta la desiguaglianza ρC(A) ≤ ρR(A). Dunque ρC(A) = ρR(A).<br />
✷<br />
L’algebra delle matrici quadrate n × n<br />
Sia M n,n l’insieme <strong>di</strong> matrici quadrate n×n. Sappiamo che M n,n e’ uno spazio vettoriale.<br />
Ma sappiamo anche che il prodotto A·B tra due matrici in M n,n e’ pure una matrice<br />
quadrata n × n. Questo permette <strong>di</strong> parlare <strong>di</strong> algebra delle matrici quadrate, poiche’<br />
in matematica un’algebra e’ uno spazio vettoriale dove si possono moltiplicare i vettori<br />
in modo che le regole usuali tra i numeri vengano sod<strong>di</strong>sfatte, cioe’ la associativita’ e la<br />
<strong>di</strong>stributivita’.<br />
Proposizione 0.5. Siano A, B, C tre matrici. Allora le seguente regole usuali <strong>di</strong> calcolo<br />
sono vere:<br />
(i) (A · B) · C = A · (B · C), cioe’ la proprieta’ associativita,<br />
(ii)<br />
(A + B) · C = A · C + B · C<br />
A · (B + C) = A · B + A · C<br />
, cioe’ la proprieta’ <strong>di</strong>stributiva.<br />
E’ importante notare la ragione per cui si enuncia due volte la proprieta’ <strong>di</strong>stributiva;<br />
essa e’ dovuta al fatto che a <strong>di</strong>fferenza del prodotto tra i numeri il prodotto tra matrici<br />
non e’ commutativo.<br />
Esempio 0.6. Ecco un esempio <strong>di</strong> due matrici A, B il cui prodotto A · B non e’ uguale<br />
0 1<br />
0 0<br />
al prodotto B · A. Sia A = e sia B = . Dunque<br />
0 0<br />
1 0<br />
<br />
1 0<br />
A · B = ,<br />
0 0<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 4 Geometria
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.<br />
invece<br />
B · A =<br />
0 0<br />
0 1<br />
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B<br />
Abbiamo visto che la prima riga del prodotto A · B e’ la combinazione lineare delle<br />
righe della matrice B usando i coefficenti della prima riga della matrice A. Ad esempio,<br />
moltiplicare la prima riga della matrice B con il numero r e’ il risultato della seguente<br />
moltiplicazione:<br />
<br />
⎛<br />
r<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
.<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
. ⎟ · B<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 · · · 1<br />
L’operazione elementare rRi <strong>di</strong> moltiplicare la riga Ri per un numero r si puo’ fare<br />
tramite il prodotto matriciale. Semplicemente si cambia l’uno della posizione i i della<br />
matrice identica per il numero r. Ad esempio se B e’ una matrice 4 × 3 la operazione<br />
7R3 e’ il risultato del prodotto A · B dove la matrice A e’ :<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 1 0 0<br />
0 0 7 0<br />
0 0 0 1<br />
Per motivi ovvi questa matrice si chiama rRi invece <strong>di</strong> A, cioe’ scrivendo rRi · B si<br />
capisce subito che il risultato e’ quello <strong>di</strong> fare una operazione elementare sulle righe <strong>di</strong> B .<br />
La operazione elementare <strong>di</strong> scambio <strong>di</strong> due righe si puo’ fare anche usando il prodotto.<br />
Ad esempio se vogliamo scambiare la prima e la seconda riga della matrice B basta calcolare<br />
A · B dove A e’:<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 1 0 · · · 0<br />
1 0 0 · · · 0<br />
0<br />
.<br />
0<br />
.<br />
1<br />
.<br />
· · ·<br />
. ..<br />
0<br />
.<br />
0 0 0 · · · 1<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 5 Geometria<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.<br />
Per questa ragione invece <strong>di</strong> usare la lettera A si usa il simbolo R1⇔2 per denotare<br />
questa matrice. Quin<strong>di</strong> la matrice R1⇔2 · B e’ la matrice che risulta scambiando la<br />
prima riga con la seconda della matrice B . Secondo la stessa idea possiamo scambiare<br />
qualsiasi coppia <strong>di</strong> righe i, j moltiplicando per un matrice Ri⇔j . Ad esempio, se vogliamo<br />
scambiare la seconda riga con la quinta <strong>di</strong> una matrice B 5 × 6 basta calcolare R2⇔5 · B<br />
dove R2↔5 e’:<br />
⎛<br />
⎜<br />
R2⇔5 = ⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 1<br />
0 0 1 0 0<br />
0 0 0 1 0<br />
0 1 0 0 0<br />
Anche l’ultima operazione elementare Ri + rRj , cioe’ sommare alla i-esima riga la<br />
riga j -esima moltiplicata per r, si puo’ fare tramite il prodotto matriciale. Questa<br />
matrice verra’ denotata con Ri+r.j . Se B e’ una matrice 5 × 6 ecco la R2+17.4 , cioe’<br />
l’operazione <strong>di</strong> sommare alla seconda riga <strong>di</strong> B la quarta riga <strong>di</strong> B moltiplicata per 17:<br />
⎛<br />
⎜<br />
R2+17.4 = ⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0 0<br />
0 1 0 17 0<br />
0 0 1 0 0<br />
0 0 0 1 0<br />
0 0 0 0 1<br />
Possiamo riassumere quanto detto nel seguente teorema.<br />
Teorema 0.7. Sia A una matrice e sia E la matrice echelon che si ottiene da A usando<br />
il metodo <strong>di</strong> Gauss-Jordan. Allora esiste una matrice M tale che M · A = E , dove M<br />
si ottiene moltiplicando tra <strong>di</strong> loro matrici del tipo Ri+r.j , Ri⇔j e rRi.<br />
Le matrici del tipo Ri+r.j , Ri⇔j e rRi si chiamano matrici elementari.<br />
La matrice trasposta<br />
Abbiamo visto che una matrice si puo’ pensare facendo particolare attenzione alle righe<br />
oppure mettendo in maggior rilievo le colonne, cioe’ possiamo pensare la matrice dal<br />
punto <strong>di</strong> vista delle righe o dal punto <strong>di</strong> vista delle colonne. Se A e’ una matrice allora<br />
la matrice traposta A t e’ la matrice che si ottiene <strong>di</strong> A facendo <strong>di</strong>ventare la riga Ri una<br />
colonna Ci, cioe’ la colonna Ci della A t ha gli elementi della riga Ri della A. E’ facile<br />
vedere che se A = (aij) allora A t = aji, cioe’ si scambiano i sottoin<strong>di</strong>ci, poiche’ le righe<br />
<strong>di</strong>ventano colonne e viceversa.<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 6 Geometria<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.<br />
Esempio 0.8. Se A =<br />
1 2 3 4 5<br />
6 7 8 9 0<br />
<br />
⎛<br />
allora At ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1 6<br />
2 7<br />
3 8<br />
4 9<br />
5 0<br />
Osservare che se A e’ n×m allora A t e’ m×n. Ovviamente (A t ) t = A. Una matrice<br />
si chiama simmetrica se A t = A e anti-simmetrica se A t = −A. Notare che gli elementi<br />
<strong>di</strong>agonali <strong>di</strong> una matrice anti-simmetrica sono zeri.<br />
Ecco le proprieta’ piu’ importanti della trasposizione.<br />
Proposizione 0.9. Se A, B sono matrici allora:<br />
• (A + B) t = A t + B t ,<br />
• (rA) t = rA t ,<br />
• (A · B) t = B t · A t .<br />
Osservare che le due prime propieta’ ci assicurano che la trasposta <strong>di</strong> una combinazione<br />
lineare e’ la combinazione linerare delle trasposte, cioe’ (c1A1 + · · · + cnAn) t =<br />
c1A t 1 + · · · + cnA t n. Invece l’ultima ci <strong>di</strong>ce che l’or<strong>di</strong>ne del prodotto cambia dopo la<br />
trasposizione.<br />
Ecco un corollario del teorema del rango.<br />
Proposizione 0.10. Il rango <strong>di</strong> A e’ uguale a quello <strong>di</strong> A t . Simbolicamente ρ(A) =<br />
ρ(A t ).<br />
Abbiamo visto che M n,m , cioe’ l’insieme <strong>di</strong> matrici n×m, e’ uno spazio vettoriale <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensione n.m poiche’ le matrici Eij che hanno tutti zeri tranne al posto (i, j), dove<br />
c’e’ 1, sono n.m matrici independenti che generano M n,m .<br />
Sia A una colonna <strong>di</strong> n elementi e sia B una colonna <strong>di</strong> m elementi. Allora A · B t ∈<br />
M n,m e A · B = (aibj). Osservare che i prodotti ei · (ej) t , dove (ei) e’ la base canonica<br />
delle colonne sono le matrici Eij .<br />
Osservare che cosi’ e’ facile calcolare il prodotto A·Eij = A·(ei·(ej) t ) = (A·ei)·(ej) t =<br />
Ai ·(ej) t ; pertanto il prodotto A·Eij e’ la matrice dove tutte le colonne sono nulle tranne<br />
la colonna j che e’ la colonna i della A.<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 7 Geometria<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.<br />
Rotazioni<br />
Una applicazione importante del prodotto A · C e’ qualla delle rotazioni. Supponiamo<br />
che vogliamo ruotare una figura <strong>di</strong> un angolo θ intorno al punto O nel senso anti-orario:<br />
Il problema e’ trovare le coor<strong>di</strong>nate dei punti A ′ , B ′ , C ′ usando le coor<strong>di</strong>nate dei punti A, B, C .<br />
<br />
cos(θ) − sin(θ)<br />
La matrice R =<br />
permette <strong>di</strong> risolvere il problema facilmente.<br />
sin(θ) cos(θ)<br />
Assumiamochele coor<strong>di</strong>nate del punto O sono 0, 0, cioe’ O si rappresenta tramite <br />
0<br />
a<br />
la colonna . Possiamo rappresentare il punto A tramite la colonna A = ,<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
a<br />
0<br />
il punto B con la colonna B = e infine il punto C tramite la colonna C = .<br />
b<br />
b<br />
Ecco la soluzione:<br />
A ′ = R · A<br />
B ′ = R · B<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 8 Geometria
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.<br />
C ′ = R · C<br />
Dunque, in generale, se vogliamo ruotare la colonna X =<br />
prodotto R · X . Ecco il risultato:<br />
R · X =<br />
cos(θ) − sin(θ)<br />
sin(θ) cos(θ)<br />
<br />
·<br />
x<br />
y<br />
<br />
=<br />
x<br />
y<br />
<br />
cos(θ)x − sin(θ)y<br />
sin(θ)x + cos(θ)y<br />
basta calcolare il<br />
Piu’ avanti si fara’ vedere che usando i numeri complessi e’ anche molto facile ruotare<br />
le figure nel piano.<br />
Ingegneria dell’Autoveicolo, <strong>LeLing9</strong> 9 Geometria