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Autovalori e autovettori di una matrice Si consideri il sistema di equazioni lineari o, equivalentemente Ax = λ x (A − λ I) x = 0 Il sistema è quindi omogeneo e ammette soluzioni non banali se e solo se det(A − λ I) = 0 Questa condizione è detta equazione caratteristica di A. Essa è un polinomio di grado k (ordine di A) in λ Le k soluzioni λi sono dette autovalori o radici caratteristiche di A A ciascun autovalore corrisponde un vettore xi detto autovettore o vettore caratteristico di A 26
Autovalori e autovettori di una matrice • Se la matrice A è simmetrica gli autovalori sono tutti reali • Se la matrice A è simmetrica gli autovettori sono tutti ortogonali fra loro • La somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice • Il prodotto degli autovalori è uguale al determinante della matrice • Se la matrice A è singolare allora almeno un autovalore è uguale a 0 • Gli autovalori di A −1 sono i reciproci degli autovalori di A, gli autovettori sono identici 27
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