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Vettori
Si dice vettore di ordine n ogni insieme ordinato di
n numeri
I numeri che compongono il vettore sono detti
elementi del vettore
Esistono vettori riga
e vettori colonna
a = [a1 a2 . ..an]
a =
⎡
⎢
⎣
Noi faremo solo riferimento ai vettori colonna. Per
indicare un vettore riga useremo la notazione
a ′
a1
a2
.
an
⎤
⎥
⎦
o a ′
1

Alcuni vettori notevoli
Vettore nullo: tutti gli elementi sono uguali a 0
⎡ ⎤
0
⎢
0 = ⎢ 0.
⎥
⎣ ⎦
0
Vettore unità: tutti gli elementi sono nulli
eccettuato l’i-esimo che è uguale a 1
⎡ ⎤
1
⎢
u1 = ⎢ 0.
⎥
⎣ ⎦
0
Vettore somma: tutti gli elementi sono uguali a 1
⎡ ⎤
1
⎢
1 = ⎢ 1.
⎥
⎣ ⎦
1
2

Rappresentazione geometrica di un
vettore
Un vettore di ordine n può essere rappresentato
in uno spazio cartesiano n-dimensionale mediante
un punto avente come coordinate gli elementi del
vettore.
-5
-4
-3
-2
x2
5
4
✻
✁✕
✁
✁ 3 ✁
✁
✁ 2 ✁
✁
✐ 1 ✁
✁
✁
✁
0❅ -1 ❅ 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
❅
❅
❅
❅
❅
❅ ❅❘
✲
x1
3

Addizione
Operazioni sui vettori
x + y =
⎡
⎢
⎣
x1 + y1
x2 + y2
.
xn + yn
NB: i vettori devono essere dello stesso ordine
L’addizione gode della proprietà commutativa e della
proprietà associativa
x + y = y + x
⎤
⎥
⎦
(x + y) + z = x + (y + z)
4

Prodotto di un vettore per uno scalare
ax =
⎡
⎢
⎣
ax1
ax2
.
axn
Il prodotto così definito gode della proprietà
associativa e della proprietà distributiva
⎤
⎥
⎦
(ab)x = a(bx)
a(x + y) = ax + ay
(a + b)x = ax + bx
Usando in modo combinato le operazioni di prodotto
e addizione è possibile definire anche l’operazione di
sottrazione tra due vettori
5

Combinazioni lineari
Dati k vettori di ordine n x1,x2, ...,xk e k numeri
reali a1, a2,...,ak, si dice combinazione lineare dei
k vettori l’espressione
a1x1 + a2x2 + ... + akxk
I numeri reali a1, a2,...,ak sono detti coefficienti
della combinazione lineare
NB: Una combinazione lineare di k vettori di ordine
n è anch’essa un vettore di ordine n
6

Dipendenza e indipendenza lineare
Se un vettore è esprimibile come combinazione lineare
di un insieme dato di k vettori x1,x2,...,xk si dice
che è linearmente dipendente da x1,x2, ...,xk
In caso contrario si dice che il vettore è linearmente
indipendente da x1,x2,...,xk
Dati k vettori x1,x2,...,xk di ordine n, si dice che
essi sono linearmente dipendenti se esistono k numeri
reali a1, a2, ...,ak non tutti nulli tali per cui
a1x1 + a2x2 + . .. + akxk = 0
In caso contrario i k vettori sono detti linearmente
indipendenti
7

Matrici
Si dice matrice di ordine m×n ogni insieme ordinato
di m × n numeri
I numeri che compongono la matrice sono detti
elementi della matrice
A =
⎡
⎢
⎣
a11 a12 . .. a1n
a21 a22 . .. a2n
. .. . .. . .. . ..
am1 am2 . .. amn
Il generico elemento della matrice è indicato in genere
come aij
Sia le colonne che le righe della matrice possono
essere interpretate come vettori
Se una matrice possiede un eguale numero di righe e
di colonne è detta matrice quadrata di ordine n
⎤
⎥
⎦
8

Alcune matrici notevoli
Matrice nulla: tutti gli elementi sono uguali a zero
Matrice diagonale: matrice quadrata nella quale
tutti gli elementi sono uguali a zero ad eccezione di
quelli sulla diagonale principale
Matrice identità: matrice diagonale nella quale gli
elementi sulla diagonale principale sono uguali a 1
In =
⎡
⎢
⎣
1 0 . .. 0
0 1 . .. 0
... ... . .. ...
0 0 . .. 1
Due matrici si dicono uguali se sono dello stesso
ordine e se tutti gli elementi corrispondenti sono
uguali.
⎤
⎥
⎦
9

Addizione
X+Y =
⎡
⎢
⎣
Operazioni sulle matrici
x11 + y11 x12 + y12 ... x1n + y1n
x21 + y21 x22 + y22 ... x2n + y2n
... . .. ... ...
xm1 + ym1 xm2 + ym2 ... xmn + ymn
NB: le matrici devono essere dello stesso ordine
L’addizione gode della proprietà commutativa e della
proprietà associativa
X + Y = Y + X
(X + Y) + Z = X + (Y + Z)
10
⎤
⎥
⎦

Prodotto di una matrice per uno scalare
aX =
⎡
⎢
⎣
ax11 ax12 . .. ax1n
ax21 ax22 . .. ax2n
... ... . .. . ..
axm1 axm2 . .. axmn
Il prodotto così definito gode della proprietà
associativa e della proprietà distributiva
(ab)X = a(bX)
a(X + Y) = aX + aY
(a + b)X = aX + bX
Usando in modo combinato le operazioni di prodotto
e addizione è possibile definire anche l’operazione di
sottrazione tra due matrici
⎤
⎥
⎦
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Prodotto tra due matrici
Due matrici A e B si dicono conformabili se il
numero di colonne della prima matrice è uguale al
numero di righe della seconda
Date due matrici conformabili A e B, di ordine
rispettivamente m × n e n × s si definisce prodotto
di A per B la matrice C di ordine m × s il cui
generico elemento è dato da
cik =
n
j=1
aijbjk
Spesso si dice che la matrice A premoltiplica
la matrice B o, viceversa, che la matrice B
postmoltiplica la A
NB: il prodotto tra matrici non è commutativo,
mentre è possibile verificare che gode della proprietà
associativa e di quella distributiva
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Il prodotto scalare tra due vettori
Il prodotto scalare (o prodotto interno) tra due vettori
di ordine n è definito nel modo seguente
x ′ y =
Qualora x = y si ottiene
x ′ x =
n
i=1
n
i=1
xiyi
La radice quadrata di x ′ x è detta lunghezza o norma
del vettore x
Se il prodotto interno tra due vettori è pari a 0 i due
vettori si dicono ortogonali
x 2 i
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Media e varianza di una variabile
Sia x una variabile statistica. La media della variabile
può essere espressa nel modo seguente:
¯x = 1
n
n
i=1
xi = 1 ′ x/n
Il vettore contenente gli scarti dalla media può essere
espresso nel modo seguente
s = x − ¯x1 =
⎡
⎢
⎣
x1 − ¯x
x2 − ¯x
.
xn − ¯x
La devianza della variabile x si può quindi esprimere
nel modo seguente
Dev(x) =
⎤
⎥
⎦
n
(xi − ¯x) 2 = s ′ s
i=1
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Inversa di una matrice
Data una matrice A, se esiste una matrice, indicata
con A −1 , tale che
AA −1 = A −1 A = I
si dice che A −1 costituisce la matrice inversa (o
semplicemente l’inversa) di A.
NB: condizione necessaria ma non sufficiente
perche una matrice A abbia un’inversa è che essa
sia quadrata. Se una matrice ha un’inversa è detta
invertibile
L’inversa di una matrice, se esiste, è unica
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Trasposizione
La trasposta di una matrice si ottiene scambiando le
righe con le colonne.
La trasposta della matrice A si indica con la
notazione A ′
Se A è una matrice di ordine m × n, A ′ è di ordine
n × m
In generale
A = A ′
Nel caso in cui, per una matrice (quadrata) A valga
A = A ′
tale matrice è detta simmetrica
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Alcune proprietà della trasposizione
• (A ′ ) ′ = A
• (A + B) ′ = A ′ + B ′
• (AB) ′ = B ′ A ′
• Se esiste l’inversa della matrice A, allora
A −1 ′ = (A ′ ) −1
• il prodotto di una matrice per la sua trasposta è
una matrice simmetrica
• l’inversa di una matrice simmetrica, se esiste, è
anch’essa simmetrica
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La traccia di una matrice
Data una matrice quadrata di ordine n si definisce
traccia della matrice la somma degli elementi della
diagonale principale della matrice
tr(A) =
n
i=1
La traccia di una matrice gode delle seguenti
proprietà
• tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
• tr(cA) = c tr(A)
• tr(A) = tr(A ′ )
• tr(AB) = tr(BA)
aii
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Il determinante di una matrice
Dato l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine
n si voglia far corrispondere a ciascun elemento A
dell’insieme un numero reale, detto determinante e
indicato con det(A) o |A| tale che
• per ogni c ∈ R sia
det [a1, ...,caj,...,an] = cdet [a1,...,aj,...,an]
• posto aj = bj + cj
det [a1,...,bj + cj,...,an] =
det [a1, ...,bj,...,an] + det [a1, ...,cj,...,an]
• se ai = aj allora
• det(I) = 1
det [a1, ...,ai,...,aj,...,an] = 0
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Proprietà del determinante
• Se ad una delle colonne che compongono la
matrice si aggiunge una combinazione lineare delle
altre colonne il determinante non cambia
• Se le n colonne che compongono la matrice
sono linearmente dipendenti il determinante della
matrice è pari a 0
• Scambiando tra loro due colonne della matrice il
determinante cambia segno
• det(AB) = det(A)det(B)
Le proprietà precedenti valgono anche quando riferite
alle righe della matrice
Il determinante di una matrice esiste sempre ed è
unico
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Calcolo del determinante
Sia Aij la matrice che si ottiene dalla matrice A
eliminando l’i-esima riga e la j-esima colonna. Si
può allora dimostrare che
det(A) = (−1) 1+i ai1 det(Ai1) + (−1) 2+i ai2 det(Ai2)
o, alternativamente
+... + (−1) n+i ain det(Ain)
det(A) = (−1) 1+j a1j det(A1j) + (−1) 2+j a2j det(A2j)
+... + (−1) m+j amj det(Amj)
a seconda che si proceda ad uno sviluppo in base alla
i-esima riga o alla j-esima colonna
Le quantità Âij = (−1) i+j det(Aij) sono dette
cofattori o complementi algebrici di aij
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Inversa di una matrice
Sia  la trasposta della matrice formata dai cofattori
di A
 =
⎡
⎢
⎣
Â11
Â12
Â21 ... Ân1
Â21 ... Ân2
... . .. ... ...
Â1n
Â2n ... Ânn
Tale matrice è detta matrice aggiunta di A
Si può allora dimostrare che, data la matrice A di
ordine n, se det(A) = 0, l’inversa di A esiste ed è
data da
A −1 = (det(A)) −1 Â
Una matrice avente determinante pari a 0 è detta
non invertibile o singolare
⎤
⎥
⎦
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Il rango di una matrice
Il numero di colonne (o righe) linearmente
indipendenti di una matrice definisce il rango della
matrice r(A).
Poiché il numero di colonne linearmente indipendenti
corrisponde al numero di righe, il rango di una
matrice un numero unico e tale per cui, se la matrice
di ordine m × n, il rango r(A) ≤ min(m,n)
• Se r(A) = m(< n) la matrice detta avente rango
riga pieno
• Se r(A) = n(< m) detta avente rango colonna
pieno
• Se tutte le colonne e le righe sono linearmente
indipendenti la matrice è detta di pieno rango.
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Sistemi di equazioni lineari
Si consideri il seguente sistema di m equazioni lineari
a11x1 + a12x2 + . .. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . .. + a2nxn = b2
. ..
am1x1 + am2x2 + . .. + amnxn = bm
Il sistema può essere rappresentato nel modo
seguente
Ax = b
dove
e
A =
⎡
⎢
⎣
x =
a11 a12 . .. a1n
a21 a22 . .. a2n
. .. . .. . .. . ..
am1 am2 . .. amn
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎣
x1
x2
.
xn
⎥
⎦
b =
⎢
⎣
b1
b2
.
bm
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
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Sistemi di equazioni lineari
Nel caso in cui b = 0 il sistema è detto omogeneo
Un vettore soluzione ˆx è una n-pla di numeri
reali che soddisfano ciascuna delle equazioni di cui il
sistema si compone
Il sistema è detto compatibile se esiste almeno un
vettore soluzione, altrimenti è detto incompatibile
Teorema 1: Il sistema di m equazioni lineari in n
incognite Ax = b ammette un’unica soluzione se e
solo se r(A) = r(B), dove B = [A b]
Teorema 2: Il sistema omogeneo di m equazioni
lineari in n incognite Ax = 0 ammette soluzioni non
banali se e solo se r(A) < n. Qualora sia m = n ciò
implica che la matrice dei coefficienti A sia singolare
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Autovalori e autovettori di una matrice
Si consideri il sistema di equazioni lineari
o, equivalentemente
Ax = λ x
(A − λ I) x = 0
Il sistema è quindi omogeneo e ammette soluzioni
non banali se e solo se
det(A − λ I) = 0
Questa condizione è detta equazione caratteristica
di A. Essa è un polinomio di grado k (ordine di A)
in λ
Le k soluzioni λi sono dette autovalori o radici
caratteristiche di A
A ciascun autovalore corrisponde un vettore xi detto
autovettore o vettore caratteristico di A
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Autovalori e autovettori di una matrice
• Se la matrice A è simmetrica gli autovalori sono
tutti reali
• Se la matrice A è simmetrica gli autovettori sono
tutti ortogonali fra loro
• La somma degli autovalori è uguale alla traccia
della matrice
• Il prodotto degli autovalori è uguale al
determinante della matrice
• Se la matrice A è singolare allora almeno un
autovalore è uguale a 0
• Gli autovalori di A −1 sono i reciproci degli
autovalori di A, gli autovettori sono identici
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