1§ Matrici

1§ Matrici.
1. Generalità.
Dati m e n, numeri interi positivi si dice matrice ad m righe e ad n colonne, o matrice
di tipo ( m,
n , ad elementi reali un insieme di mn numeri reali a
) ij
( i = 1,
2,...,
m;
j = 1,
2,...,
n)
disposti secondo la seguente tabella rettangolare
a
a
11
21
M
a
a
12
22
M
L
L
am1
am
2 L amn
Gli mn numeri reali a si dicono elementi della matrice; essa ha m righe e n colonne.
ij
Nell'elemento a l'indice i denota la riga cui esso appartiene, mentre j denota la
ij
colonna, pertanto i si dice indice di riga e j indice di colonna. Se si denota con A la
i
matrice suddetta allora la i-esima riga si indica con A ed è data da
i
i1
i2
a
a
1n
2n
A = a a L
e la j-esima colonna si indica con A j ed è data da
A
j
=
Esse vengono chiamate anche vettore riga e vettore colonna rispettivamente.
Le matrici di tipo (1,n) e (m,1) si dicono matrice riga e matrice colonna
rispettivamente.
Se m ≠ n la matrice si dice rettangolare, se m = n si dice quadrata di ordine n oppure
quadrata dell' n-esimo ordine.
Un solo numero reale, a∈R, si può considerare l'unico elemento della matrice che,
pertanto, e di tipo (1,1) e si denota con a .
Esiste anche la matrice zero: e quella in cui a = 0 per ogni i e j e si scrive nei modo
seguente
1
a
a
a
M
1j
2 j
M
mj
ij
=
a
in
a
ij
.

0
0
M
0
0
0
M
0
L'insieme della matrici di tipo (m,n) si denota con M mentre l'insieme delle
matrici quadrate di ordine n si denota con
L
L
L
M n .
Le matrici A = aij
e B = bij
dello stesso tipo (m,n) sono uguali se ∀i
= 1,
2,...,
m e
∀j
= 1,
2,...
n
e si scrive A = B.
a
ij
= b
Definizione 1.1. Data una matrice A di tipo (m,n), si dice matrice trasposta di A, e
t T
si denota con AoAo A-1,
la matrice ottenuta da A scambiando le righe con le
colonne. Pertanto A
t
Si osservi che
t
( t ) ,
ij
0
0
M
0
è una matrice di tipo (n,m).
1) A = A
2) la trasposta di una matrice quadrata di ordine n è ancora matrice quadrata dello
stesso ordine.
Definizione.1.2. Data una matrice A quadrata di ordine n, si dice diagonale
principale di A la n-pla ordinata ( a , a ,..., a ) .
11
22
Definizione.1.3 Una matrice quadrata A di ordine n avente tutti nulli gli elementi al
di sotto (o al di sopra) della diagonale principale si dice matrice triangolare superiore
(o triangolare inferiore):
a
11
0
M
0
a
a
12
22
M
0
L
L
L
a
a
a
1n
2n
M
nn
In simboli nella prima matrice è = 0 per i > j, nella seconda = 0 per i < j.
Le suddette matrici si denotano generalmente con T.
a ij
,
2
nn
a
a
a
11
21
M
n1
.
a
a
0
22
M
n2
L
L
L
m,
n
a
0
0
M
nn
a ij
.

Definizione. 1.4 Una matrice quadrata A di ordine n si dice diagonale se = 0 per
i ≠
j
e si denota generalmente con D.
Definizione 1.5. La matrice diagonale di ordine n avente tutti gli elementi della
diagonale principale uguali a 1 si dice matrice unitaria o matrice identica e si denota
con I .
n
Definizione 1.6. Una matrice quadrata A si dice simmetrica se coincide con la sua
trasposta, cioè
t
A = A .
3
a ij

2. Operazioni sulle matrici.
Definizione 2.1 Date due matrici A = aij
, B = bij
entrambe di tipo (m,n) si dice
somma di A e B e si scrive A + B la matrice di tipo (m,n) il cui elemento sulla i - ma
riga e sulla j - ma colonna è a + cioè
ij bij
A + B = a .
ij + bij
Proposizione 2.1 Se , B,
C∈
, 0 è la matrice nulla di tipo (m,n) e si denota
con -A la matrice
DIM.
1) A + B = B + A,
A Mm, n m,
n
a , essendo A = aij
allora
- ij
2) (A + B) + C = A + (B + C),
3) + 0 = A = 0 + A ,
A m,
n m,
n
4) A + (-A) = 0 = (-A) + A.
A = a , B = bij
e C = cij
.
Siano ij
1) + B = aij
+ bij
Poiché
A .
a
ij
+ b
ij
= b
in virtù della proprietà commutativa dell'addizione dei numeri reali, si ha
e quindi
2) A + ( B + C)
= a + ( b + c )
Poiché
ij
ij
a
ij
ij
+
a
ij
+ b
ij
=
ij
b
+ a
ij
ij
+ a
A + B = B + A.
( bij
+ cij)
= ( aij
+ bij)
+ cij
in virtù della proprietà associativa dell'addizione dei numeri reali, si ha
e quindi
a
ij
+
( bij
+ cij)
= ( aij
+ bij)
+ cij
A + (B + C) = (A + B) + C.
4
ij

3) A + 0 = aij
+ 0 = aij
= A
Si prova in modo analogo anche l’altra uguaglianza.
4) A + (-A) = +
aij (-a ij ) = 0 = 0
Si prova in modo analogo anche l’altra uguaglianza.
.
Definizione 2.2 Data la matrice A = aij
di tipo (m,n) e un numero reale h, si dice
prodotto di h per A e si scrive hA la matrice di tipo (m,n) il cui elemento o sulla i-ma
riga e sulla j-ma colonna è haij,
cioè
hA = ha .
Proposizione 2.2 Se A, B,
C∈
Mm,
n e h, k sono numeri reali allora
1) h ( A + B)
= hA + hB,
2)
3)
DIM.
( h + k)
A = hA + kA ,
h ( kA)
= ( hk)A.
A = a , B = bij
e sia h,k∈R
Siano ij
1) ( A + B)
= h a + b = h(
a + b )
h ,
poiché
ij
ij
h
ij
ij
ij
( aij
+ bij)
= haij
+ hbij
in virtù della proprietà distributiva del prodotto dei numeri reali rispetto alla
somma, si ha
e dunque
h
( aij
+ bij)
= haij
+ hbij
= haij
+ hbij
h(A + B) = hA + hB;
2) ( + k)
A = ( h + k)
a = ( h + k)
a = ha + ka =
h ij
ij ij ij
= haij
+ kaij
= hA + KA ;
3) ( kA)
= h(
k a ) = h ka = h(
ka ) = ( hk)
a =
h ij
ij
ij
ij
5

( hk)
a = ( hk)
a = ( hk)A.
= ij
ij
Proposizione 2.3. Se , B∈
M e h∈R allora
t
1) ( ) t
A + B = A+
B,
t
2) ( ) t
hA = h A .
DIM.
Siano ij
A m,
n
t
A = a , B = bij
e sia h∈R,
1) poiché
si ha
2) poiché
si ha
t
A + B =
a
ij + bij
( ) t t
A + B = a + b = a + b = A + B ;
t
ji
ji
hA =
ji
haij
( ) t
hA = ha = h a = h A .
ji
Definizione 2.3 Siano A = aij
matrice di tipo (m,n) e B = b jk matrice di tipo
(n,p), si dice prodotto righe per colonne di A e B e si scrive A•B la matrice
tipo (m,p) ove
c ik di
n
c a b = a b + a b + ...... + a
ik = ∑
j = 1
∀ i = 1,
2,....,
m e ∀k
= 1,
2,...,
p .
ij
jk
i1
1k
Osservazione 2.1 Per eseguire tale prodotto il numero delle colonne della matrice A
deve essere uguale al numero delle righe della matrice B e la matrice prodotto A • B
ha lo stesso numero di righe di A e lo stesso numero di colonne di B.
Osservazione.2.2 Se A , A ,...., A sono i vettori riga dei la matrice A e
, B ,..., B i vettori colonna della matrice B, l'elemento c della matrice A • B si
può scrivere nella forma
1
2
B1 2 p
ik
m
i
A Bk
e quindi
6
i2
2k
ji
ji
in
b
nk

A • B
=
A
A
A
1
2
M
m
B
B
1
B
1
1
A
A
A
1
2
m
Osservazione 2.3 Non esiste il prodotto di B per A a meno che non sia in = p e in tal
caso B•A è matrice quadrata di ordine n, mentre A • B è matrice quadrata di ordine
m.
Se A e B sono entrambe matrici quadrate dello stesso ordine esiste sia il prodotto
A • B che il prodotto B•A ma, in genere, è A• B ≠ B • A .
Definizione 2.4 Due matrici A e B, quadrate dello stesso ordine, si dicono
permutabili se A • B = B • A .
Osservazione 2.4 Ogni matrice quadrata A di ordine n è sempre permutabile con 1a
matrice identica I e con la matrice nulla, 0 cioè
B
M
B
B
2
2
2
L
L
L
A • I = A = I • A e A • 0 = 0 = 0 • A
pertanto si dice che I è elemento neutro rispetto al prodotto di matrici quadrate e che
la matrice nulla di ordine n annulla sempre un prodotto di matrici.
Proposizione 2.4 Siano A, B, C tre matrici per cui sia possibile il prodotto A • B e
A • C,
la somma B+C e il prodotto A•(B+C). Se h è un qualunque numero reale (in
genere uno scalare), si ha
1) A•(B+C) = A•B + A•C,
2) A•(hB) = h(A•B).
DIM.
i
Sia A la i-ma riga di A e siano B k e Ck
le k-me colonne rispettivamente di B e C,
allora Bk
+ Ck
Bk è la k-ma colonna della matrice B+C. Poiché 1’elemento di posto
ik delle matrici A • B,
i i i
A Bk,
A Ck
e A ( Bk
+ Ck
) ,
A • C e A•(B + C) è rispettivamente
1) da
segue la 1),
i ( ) i i
A Bk
+ Ck
= A Bk
+ A Ck
2) da
segue 2).
i ( ) ( i
A hBk
= h A Bk
)
7
A
A
A
1
2
m
B
M
B
B
p
p
p
.

Proposizione 2.5. Siano A,B,C tre matrici per cui è possibile il prodotto di A e B e
i1 prodotto di B e C, allora è possibile il prodotto di A•B e C e il prodotto di A e
B•C e si ha
(A•B)•C = A•(B•C).
Proposizione 2.6 Se A e B sono matrici che si possono moltiplicare allora anche
t
e B si possono moltiplicare e si ha
t ( ) t t
A • B = B • A .
DIM.
A = a di tipo (m,n) e sia B = bij
di tipo (n,p). L'elemento di posto ik della
Sia ij
matrice A•B è
i
A B
= ∑
=
n
k
j 1
t
mentre ( A • B)
, trasposta di A•B, ha il predetto elemento al posto ki.
t
D'altro canto la matrice A , trasposta di A, è di tipo (n,m) e ha
t
analogamente la matrice B,
trasposta di B, è di tipo (p,n) e ha b'
= . Osservato
B t t
che si può fare solo i1 prodotto
posto ki risulta
• A , che è una matrice di tipo (p,m), l'elemento di
k
B' A'i
=
n
∑
kj ji jk ij
j = 1
j = 1
j = 1
n
a
ij
b
i
b ' a'
= ∑b
a = ∑ aijb
jk = A Bk
.
jk
n
kj b jk
t
A
a ' ;
ji = aij
Definizione 2.5. Se A è una matrice quadrata di ordine n si dice che A è invertibile se
esiste una matrice quadrata B pure di ordine n tale che
A • B = In
= B • A .
Osservazione 2.4 Se A è invertibile, la matrice B di cui alla definizione 2.5 è unica.
Infatti sia C un'altra matrice tale che
si ha
A•C = In=
C•A,
B = In
• B = ( C • A)
• B = C • ( A • B)
= C • In
= C .
Tale matrice B si chiama inversa di A e si denota con A -1 .
In seguito si daranno alcuni metodi per determinarla.
Il prodotto di A con se stessa, cioè A•A, si indica anche con A ; Si può fare anche
m
m
A• ... •A m volte e si scrive A . Allora per ogni intero m>1 A è il prodotto di m
fattori uguali ad A.
8
2

Si pone, poi,
valida la regola
= I (I matrice identica dello stesso ordine) e = A , sicché risulta
A 0
A
r+
s
= A
per ogni coppia di interi non negativi r e s.
Proposizione 2.7 Se A è invertibile anche la sua inversa A -1 è invertibile e la sua
inversa è A.
DIM. Se A è invertibile e A -1 è la sua inversa, risulta
ovvero
r
• A
A•A -1 = I = A -1 •A
A -1 •A = I = A•A -1
pertanto A -1 è invertibile e la sua inversa è A.
Proposizione 2.8 Se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine ed entrambe
invertibili, allora la matrice A•B e invertibile e risulta
(A•B) -1 = B -1 •A -1 .
DIM. Sia n l’ordine di A e B. Essendo esse invertibili, si ha
dunque
e
A•A -1 = I = A
n
B•B -1 = I = B
n
s
-1 •A,
-1 •B,
(A•B)•(B -1 •A -1 ) = A•(B•B -1 )•A -1 -1 -1
= A•In•A = A•A = I n
(B -1 •A -1 )•(A•B) = B -1 •(A -1 •A)•B = B -1 -1
•In•B = B •B = I n
dunque la matrice A•B è invertibile e la sua inversa B -1 •A -1 .
Proposizione 2.9 Se A è una matrice invertibile, la sua trasposta A è invertibile e
si ha
t -1 t -1
( A) = (A ).
DIM.
Poiché la matrice A è invertibile, risulta
A•A -1 -1
= I n = A •A
da cui
t -1 t -1
(A•A ) = I = (A •A)
t n
t n n
In virtù della proposizione 2.5 ed essendo I = I , si ha
t -1 t
(A )• A = I = A• (A
n
9
t t -1 )
A 1
t

t
t -1
pertanto A è invertibile e la sua inversa ( A ) è (A
t -1 ).
Definizione 2.7. Una matrice A quadrata di ordine n si dice ortogonale se
t t
A•A = I = A• A.
Proposizione 2.10 Se A è matrice ortogonale, la sua trasposta è ortogonale.
DIM. Sia A matrice di ordine n ortogonale, allora
ovvero
Poiché A= ( A)
si ha
t t
n
t t
A•A = I n = A• A
t
A• A = I = A•A.
( A
t t ) t
t
pertanto la matrice A è ortogonale.
n
• A = I =
t
t
n ( )
t t
A• A ;
Osservazione 2.5. Se A è matrice ortogonale, essa è invertibile e risulta
A -1 t
= A .
Ciò segue dalla definizione 2.5 e dalla osservazione 2.4.
10

3. Determinante di una matrice quadrata.
Data una matrice quadrata di ordine n
A =
si dice determinante di A e si indica con det A o A o
numero reale e relativo che si ottiene nel modo seguente:
se n = 1,
A = (a), A = a ,
a11
a12
a11
a12
se n = 2,
A = , A = = a 22
a a a a
11a - a 12a 21,
a
21
22
se n = 3,
A = a a a ,
11
a
22
11
21
31
33
a
a
12
22
32
12
a
a
13
23
33
a
21
11
21
31
a
a
a
11
21
M
n1
22
12
22
32
a
a
a
12
22
M
n2
13
23
33
L
L
L
a
a
a
11
21
31
1n
2n
M
nn
a
12
A = a a a a a =
23
31
a
13
a
a
= a a a + a a a + a a a - a a - a a -a a a .
21
32
a
a
a
a
a
22
32
a
a
a
11
21
M
n1
a
a
a
12
22
M
n2
L
L
L
a31 22 13 a31 23 11 33 21 12
Quest'ultimo calcolo va sotto il nome di regola di Sarrus e si applica solo ai
determinanti delle matrici di ordine 3.
Se n = 4 , cioè
a
11
31
a
12
32
a 41 a42
a 43 a 44
si sceglie una riga (arbitrariamente) o una colonna, per esempio la 1 a riga, si sopprime
via via ciascun elemento di essa ottenendo, così, un matrice di ordine 3; si calcola di
13
33
14
a 21 a22
a 23 a 24
A =
,
a a a a
11
a
a
34
a
a
a
1n
2n
M
nn
il

ciascuna il determinante (con la regola di Sarrus) prendendolo col segno + o -
secondo che la somma di i e j, indici dell'elemento a , sia pari o dispari.
ij
Allora det A è la somma dei prodotti degli elementi della riga (o colonna) scelta, in
questo caso la 1 a , per i suddetti determinanti.
In simboli
11
a
a
22
32
42
a
a
23
33
43
a
a
24
A = a a a a -a
a a a +
21
34
44
+ a a a a -a
a a a .
13
a
31
a 41 a 42 a 44 a 41 a 42 a
In generale per n ≠ 4 si procede nel modo descritto per n = 4.
a
22
32
a
24
34
Osservazione 3.1. Per n = 1,
det A è una forma (polinomio) di 1° grado omogenea;
per n = 2 , det
A è un forma di 2° grado omogenea;
per n = 3,
det A è una forma di 3° grado omogenea;
per n = 4 , det
A è una forma di 4°grado omogenea;
in generale per n qualunque det A è una forma di grado n omogenea.
Osservazione 3.2. In ogni addendo della forma gli elementi di A compaiono una sola
volta e in tutta la forma compaiono (complessivamente) tutti gli elementi di A.
Osservato che è uso comune parlare di ordine, di elementi, di righe, di colonne, di
diagonali di determinante riferendosi alle corrispondenti della matrice relativa,
sussistono le
Proposizione 3.1 Il determinante della trasposta di una matrice A = aij
di ordine
n è uguale a determinante di A, cioè
t
det A = det A .
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.2 Se in una matrice A di ordine n si verifica una delle seguenti
circostanze:
a) gli elementi di una riga (o colonna) sono tutti nulli;
b) esistono due righe (o colonne) proporzionali (in particolare uguali);
c) esiste una riga (o colonna) che è combinazione lineare delle altre righe (o
colonne);
allora detA = 0.
Si omette la dimostrazione.
12
11
12
a
a
a
21
31
21
31
41
a
a
a
22
32
23
33
43
a
a
a
23
33
43
24
34
44

Proposizione 3.3 Se detA = 0 allora esiste un riga (o colonna) che è combinazione
lineare delle altre righe (o colonne).
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.4 Se in una matrice A = aij
si aggiunge a una riga (o colonna)
una combinazione lineare delle altre righe (o colonne) la matrice A'
ottenuta ha il
determinante uguale a quello di A, cioè
det A'=
det A .
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.5 Se in una matrice A = aij
si scambiano tra loro due righe (o due
colonne ) la matrice A'
ottenuta ha il determinante uguale all’opposto di quello di A,
cioè
det A'=
-det A .
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.6 Se nella matrice A la riga i-ma è del tipo
= a'
+ a''
∀j
= 1,
2,...,
n,
aij ij ij
dette A' e A'' le matrici ottenute da A, sostituendo la riga i-ma rispettivamente gli
e gli a''
, si ha
ij
Si omette la dimostrazione.
det A = det A'+
det A''
Proposizione 3.7 Se A e B sono due matrici quadrate entrambe di ordine n si ha
det(A•B) = det A • det B
Più in generale i1 determinante dal prodotto di più matrici è uguale al prodotto dei
determinanti delle matrici.
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.8 Se A è una matrice invertibile si ha
det (A -1 1
) = .
det A
DIM. Se A è una matrice invertibile e A -1 è la sua inversa, allora
A•A -1 = I
e quindi,
det A•det(A -1 ) = 1
da cui 1’asserto.
Definizione 3.4 Una matrice A, quadrata di ordine n, si dice non singolare se il suo
determinante è non nullo.
13
a'ij

E’ di facile dimostrazione la seguente
Proposizione 3.9 Una matrice A, quadrata di ordine n, è invertibile se e se A è non
singolare.
Definizione 3.5 Sia ij a = A una matrice quadrata di ordine n si dice minore
complementare ( o semplicemente minore) dell'elemento a nel determinante det A e
si indica con det A il determinante della matrice di ordine n-1 ottenuta da A
ij
sopprimendo la i - ma riga e la j - ma colonna.
L'espressione
i+
j
= (-1) det A si dice complemento algebrico o cofattore
dell'elemento
D ij
a . ij
Sussistono le seguenti
ij
Proposizione 3.10 (I Teorema di Laplace) Sia ij a = A una matrice quadrata d1
ordine n (n≠2), il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi
di una riga (o colonna) di A per i rispettivi complementi algebrici, cioè
n
∑
j = 1
det A = aijDij
, i = 1,
2,...
n (o det ∑ ij ij ,
=
D a A
= n
i
1
ij
j = 1,
2,...
n )
Proposizione 3.11. (II Teorema di Laplace). Sia ij a = A una matrice quadrata di
ordine n (n≠2), la somma dai prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i
complementi algebrici di un’altra riga (o colonna) è nulla, cioè
n
∑
j = 1
a = 0,
i, h = 1,
2,...
n con i ≠ h ( o a = 0,
k j con n k j = ,... ≠
2 , 1 , )
ijDhj
n
∑
i=
1
ij ik D
Si omette la dimostrazione delle suddette Proposizioni, ma si fa notare che la prima è
di notevole aiuto per il calcolo di un determinante di ordine n in quanto lo riconduce
via via a quello di determinanti di ordine minore sino ad ottenere solo determinanti di
ordine 3 o di ordine 2.
Osservazione 3.2. Se ij a = A è matrice triangolare di ordine n, risulta
det A = a a a ..... a .
11
22
14
33
nn

Proposizione 3.12 Sia ij a = A una matrice quadrata di ordine n invertibile, allora
la sua inversa è
D ji
A -1 =
D ji
det A
DIM. Si ponga B = , essendo det A ≠ 0 in quanto A è invertibile, e sia b il ik
det A
generico elemento della matrice prodotto A • B pertanto
b
ik
=
( a D + a D + .... + a D )
i1
k1
i2
k2
det A
Tenendo conto della Proposizione 3.11 e della Proposizione 3.12 risulta
b = 1se
i = k ,
ik
bik = 0 se i ≠ k ,
dunque
A•B = I
e quindi
B= A -1 .
Si ricava, allora, la seguente regola per calcolare l’inversa di una matrice A, che sia
invertibile:
t
1° si scrive la trasposta A ;
t
2° si sostituisce ogni elemento di A con il suo complemento algebrico (si ottiene
così la matrice
D ji ;
3° si divide la matrice ottenuta ( D ji ) per detA.
Proposizione 3.13 Se A è una matrice ortogonale di ordine n, allora det A = ± 1.
DIM. Se A è una matrice ortogonale, dalla definizione, si ha
det( A A)
= det I
t
t
da cui, essendo det I = 1e det A = det A,
2 ( det A)
= 1
e quindi
det A = ± 1.
Proposizione 3.14 Se A e B sono matrici quadrate ortogonali dello stesso ordine,
allora anche la matrice A • B è ortogonale.
Si omette la dimostrazione.
Proposizione 3.15. Una matrice A quadrata di ordine n e ortogonale se e solo se la
somma dei quadrati degli elementi di ciascuna riga (e analogamente per le colonne)
15
in
kn
.

è uguale a 1, mentre la somma dei prodotti degli elementi corrispondenti di due righe
diverse (o di due colonne) è uguale a 0.
DIM. Sia A matrice ortogonale, allora
t
t
A • A = I = A•
A ,
cioè (dalla seconda uguaglianza)
e quindi
n
i
• Ak
= ∑
j =1
A a a = δ
n
∑
j = 1
n
∑
j = 1
Viceversa se per la matrice A risultano
si può scrivere, per la prima,
n
∑
j = 1
n
∑
j = 1
n
∑
j = 1
ij
jk
2 ( ) = 1
a ,
ij
aijakj
= 0.
2 ( ) = 1
a ,
ij
aijakj
a
ijaij
= 0.
= 1
e quindi riassumere entrambe nella formula più compatta
cioè
pertanto A è matrice ortogonale.
t
A
n
∑
j =1
a = δ ,
ija jk
ik
• A = I = A•
16
t
A ,
ik

4. Rango di una matrice
Definizione 4.1 Sia A una matrice di tipo (m,n). Si dice minore di ordine p (si
indicherà con M ), estratto da A, il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di
p
ordine p ottenuta da A sopprimendo m-p righe e n-p colonne.
Si chiama rango di A l’ordine massimo dei minori non nulli estratti dalla matrice A.
Osservazione 4.1 Se A è una matrice nulla si conviene che il rango sia zero.
Osservazione 4.2 Il rango di una matrice A non nulla è un numero naturale p diverso
da zero che non può superare né m né n.
Osservazione 4.3 Se il rango della matrice è p, esiste almeno un minore non nullo
estratto da A di ordine p e ogni eventuale minore di ordine p+1 estratto da A è nullo.
Osservazione 4.4 Se B e una matrice estratta da A, il rango di B non può
superare quello di A.
I minori non nulli di ordine massimo estraibili dalla matrice A vengono detti anche
minori fondamentali di A.
Un procedimento consigliabile per stabilire il rango di una matrice è quello che
utilizza il teorema degli orlati o di Kronecker che viene esposto di seguito.
Definizione 4.2 Sia A una matrice di tipo (m,n) e sia M un minore di ordine p
{ }
estratto da A (p > 0 e p < min m,
n ).
M
Si dice orlato di ogni minore di ordine p+1 estratto da A e contenente il minore
p
M p .
Sussiste la seguente:
Proposizione 4.1. ( Teorema degli orlati o di Kronecker ). Una matrice A di tipo
(m,n) ha rango p se e solo se esiste almeno un minore M di ordine p della matrice
A non nullo avente tutti gli orlati uguali a zero.
Si omette la dimostrazione .
In conclusione per determinare il rango di una matrice non nulla e consigliabile
procedere come segue:
a) si cerca un minore di ordine 2 estratto dalla matrice che sia diverso da zero;
può accadere che
17
p
p

1) esso non esiste (occorre pertanto calcolare tutti i minori del secondo
ordine estraibili da A), allora si dice che il rango di A è 1,
2) esso esiste e si passa al punto b);
b) si procede al calcolo dai suoi orlati del terzo ordine; può accadere che
1) essi sono tutti nulli, allora si dice che il rango di A è 2;
2) esiste uno non nullo e si passa al punto c);
c) si procede al calcolo dei suoi orlati dei quarto ordine può accadere che
1) essi sono tutti nulli, allora si dice che il rango di A è 3;
2) esiste uno non nullo e si passa al punto d);
d) si procede al calcolo dei suoi orlati del quinto ordine ecc.
L’uso di questo teorema è sicuramente,vantaggioso in quanto evita il calcolo di tutti i
minori di dato ordine estraibili dalla matrice.
Proposizione 4.2 Siano A e B due matrici di tipo rispettivamente (m,n) e (n,p) e sia
C = A • B,
allora
rangC ≤ rangA e rangC ≤ rangB .
Si omette la dimostrazione
Proposizione 4.3 Il rango di una matrice non cambia se essa viene moltiplicata a
destra o a sinistra per un matrice non singolare.
DIM. Sia A una matrice di tipo (m,n) di rango p e sia P una matrice non singolare di
ordine m. Posto C = P•A, risulta
rangC ≤p.
Moltiplicando a sinistra ambo i membri per P -1 , si ha
A = P -1 • C
da cui
p≤ rangC .
Dalle due relazioni si ricava
rangC = p.
18