Appendice esercitazione n.10 - DIMA

ESERCIZIO 4. (CONTINUAZIONE)
Sia A =
Matrice inversa con la tecnica della matrice aggiunta
⎛2 − 1
⎜
⎜2
0
⎜
⎝4
2
1⎞
⎟
1⎟
1⎟
⎠
determinare la matrice inversa A -1 .
∈ M3(R) . Verificare che A è invertibile e
E’ noto dalla teoria che se A è una matrice quadrata:
A è invertibile ⇔ det(A) ≠0
2 − 1
Calcoliamo detA = 2 0
4 2
LAPLACE′ secondo la prima riga R1 così :
det A = 2
0
2
1
1
- (-1)
2
4
1
1
1
1
1
+1
tramite lo ′SVILUPPO DI
ogni elemento della prima riga viene moltiplicato per il suo
complemento algebrico, minore di ordine 2x2 ( a meno del
segno)(*), che si sa calcolare e dunque :
det A = 2(-2)+1(-2)+1(4) = -2 ≠0
N.B. Si prova che lo sviluppo del determinante può essere
effettuato indifferentemente lungo qualsiasi riga e qualsiasi
colonna. Era meglio sviluppare lungo R2 o C2 dove c’è uno zero!
Vediamo ora l’algoritmo per determinare la matrice aggiunta.
(*) Vedi la pagina successiva per la precisazione
2
4
0
2
1
1.Passo dell’algoritmo : costruzione della matrice
t A, trasposta di A
⎛2 − 1 1⎞
⎜ ⎟
A = ⎜2
0 1⎟
⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
scambio righe con colonne
⎜ ⎟
⎝4
2 1⎠
⎯ →
t
A
⎛ 2
⎜
= ⎜−
1
⎜
⎝ 1
2.Passo dell’algoritmo : costruzione della matrice
Agg(A), aggiunta di A
Agg(A) = matrice i cui elementi sono i complementi
algebrici della matrice t A
t
A
⎛ 2
⎜
= ⎜−
1
⎜
⎝ 1
complemento algebrico di ar,s è il prodotto del minore
complementare (determinante della sottomatrice 2x2 , ottenuta
cancellando la riga e la colonna dell’elemento stesso ar,s) per il
numero (-1) r+s , con r =posto di riga, s = posto di colonna.
a11=2 A11 = (-1) 1+1
posto di riga
0
1
2
1
2
0
1
4⎞
⎟
2⎟
1⎟
⎠
2
0
1
posto di colonna
4⎞
⎟
2⎟
1⎟
⎠
=-2 (A11 compl. alg. di a11)
2

t
A
⎛ 2
⎜
= ⎜−
1
⎜
⎝ 1
2
0
1
4⎞
⎟
2⎟
1⎟
⎠
a12 =2 A12 = (-1) 1+2
⎛−
2
⎜
Agg(A) = ⎜ 2
⎜
⎝ 4
3
− 2
− 8
− 1⎞
⎟
0 ⎟
2 ⎟
⎠
− 1
1
2
1
= -3, …
3.Passo dell’algoritmo : moltiplicazione della matrice
1
Agg(A) per il numero
det( A )
Si conclude: A -1 1
=
det( A )
Agg(A)
⎛−
2
1 ⎜
= − ⎜ 2
2 ⎜
⎝ 4
3
− 2
− 8
− 1⎞
⎟
0 ⎟
2 ⎟
⎠
⎛ 1
⎜
= ⎜ − 1
⎜
⎝ − 2
− 3 / 2
1
4
1 / 2⎞
⎟
0 ⎟ ok!
− 1 ⎟
⎠
Osservazione. Questo metodo di calcolare l’inversa , di certo più
elegante della tecnica di riduzione, in realtà dal punto di vista calcolativo
richiede in generale un numero maggiore di operazioni. Basta
pensare ad una matrice A 10x10, in cui sarà necessario calcolare 10x10
= 100 determinanti di matrici 9x9 ! Mentre con il metodo di riduzione si
effettuano un numero di operazioni (circa) pari al calcolo di det A.
Però va notato che questo metodo nel caso di calcolo manuale di matrici
2x2 , 3x3 può a volte risultare vantaggioso.
Esercizio. Determinare A -1 ⎛a
con A = ⎜
⎝c
b ⎞
⎟
d ⎠
Risposta: A -1 ⎛ d
⎜
= ⎜ ad − bc
⎜ c
−
⎝ ad − bc
− b ⎞
⎟
ad − bc ⎟
a
⎟
ad − bc ⎠
nell’ipotesi ad-bc≠0
3
ESERCIZIO 5.
Sistema di Cramer
⎧x
+ 2y + z + 2t = 1
⎪
x − y + z − t = 1
Dato il sistema lineare ⎨
⎪x
+ 3y − t = 0
⎪
⎩x
+ 4y + t = 0
a) Provare che ha un’unica soluzione
b) Determinare la soluzione facendo uso della regola di
Cramer.
a) I sistemi che soddisfano questi requisiti:
n equazioni, n incognite
det(A) ≠ 0, con A matrice dei coefficienti delle incognite
sono detti SISTEMI DI CRAMER e hanno 1! (un’unica) soluzione,
che sappiamo essere la matrice nx1, X= A -1 b ottenuta moltiplicando
a sinistra AX= b per A -1 (A -1 esiste perché det(A)≠0.
A -1 AX= A -1 b => X= A -1 b).
a) A|b =
A =
⎛1
⎜
⎜1
⎜
1
⎜
⎝1
2
− 1
3
4
⎛1
⎜
⎜1
⎜
⎜
1
⎜
⎝1
1
1
0
0
2
− 1
3
4
1
1
0
0
2 ⎞
⎟
− 1⎟
− 1
⎟
⎟
1
⎟
⎠
2 1⎞
⎟
− 1 1⎟
− 1 0
⎟
⎟
1 0⎟
⎠
R2 → R2 – R1
A′ =
Questa operazione elementare
non altera det(A)
4 equazioni - 4 incognite
Verifichiamo: det(A) ≠ 0
⎛1
⎜
⎜0
⎜
1
⎜
⎝1
2
− 3
3
4
1
0
0
0
2 ⎞
⎟
− 3⎟
− 1
⎟
⎟
1
⎟
⎠
4

− 3
− 3
det(A) = det(A′)= 1 3 − 1
1 4 1
= -1(-3+12) +1(3+9)=3 ≠ 0
0
⇒ il sistema è di Cramer ed ha quindi un’unica soluzione.
b) La regola di Cramer, applicata ai sistemi lineari di Cramer :
dice semplicentente come è fatta la matrice X= A -1 b
Δ1 x1 =
det(A)
Δ 2
, x2 =
det(A)
Δ n
,… , xn =
det(A)
dove Δi = det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima
x=
1
1
0
0
2
− 1
3
4
det(A)
colonna di A/b con la colonna dei termini noti.
1
1
0
0
2
− 1
− 1
1
= 0 perché C1= C3
Colonna dei termini noti
analogamente si ottiene y=0, t=0, mentre
5
z=
1
1
1
1
2
− 1
3
4
1
1
0
0
det(A)
2
− 1
− 1
1
det(A)
= =1
det(A)
(… il calcolo è qui particolarmente semplice, a differenza di
quanto succede usualmente ! )
Conclusione: l’unica soluzione è (0,0,1,0)
Osservazione. Analogamente a quanto osservato sopra per la
matrice aggiunta, la regola di Cramer per sistemi con un grande
numero di incognite non è vantaggiosa dal punto di vista computa-
zionale. Rispetto al metodo di riduzione richiede infatti un numero
molto più elevato di operazioni, dovendo effettuare il calcolo di n+1
determinanti !
Colonna dei termini noti
6