Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

2 Il modello probabilistico “tradizionale” per la durata della
vita umana
2.1 Durata della vita alla nascita
Si consideri un individuo con età x = 0 (alla nascita) e sia T0 la durata della sua vita in anni,
che sarà assunta una variabile aleatoria a valori reali e positivi.
Nella modellistica si considera sia la possibilità che T0 illimitata superiormente sia il
caso, più frequente nella pratica, che ci sia un’età massima raggiungibile, che viene indicata
solitamente con ω > 0. Per trattare contemporaneamente i due casi, supporremo che ω sia
fissato, eventualmente a +∞, e che T0 ≤ ω.
Sia F0(t) = prob(T0 ≤ t) la funzione di ripartizione della variabile aleatoria T0.
La funzione di sopravvivenza è la funzione di ripartizione complementare:
Risulta
S(t) = prob(T0 > t) = 1 − F0(t) . (21)
F0(0) = 0 , lim F0(t) = 1 ,
t→ω
(22)
S(0) = 1 , lim S(t) = 0 .
t→ω
(23)
La figura 1 riporta in forma grafica un esempio concreto di funzione di ripartizione e della
conseguente funzione di sopravvivenza in uso nella pratica attuariale italiana.
F0(x)
···································································· ·········································· S(x)
x
···································································· ··········································
x
Figura 1: Funzione di ripartizione e funzione di sopravvivenza
2.2 Durata della vita ad età x
Si consideri un individuo con età x ≥ 0 e sia Tx la durata residua della sua vita. Per definizione
è
T0 − x se T0 > x,
Tx = T0 − x | T0 > x =
(24)
non definita se T0 ≤ x.
La funzione di ripartizione è pertanto
Fx(t) = prob(Tx ≤ t) = prob(T0 ≤ x + t | T0 > x) . (25)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005) pag. 6