Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...
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1.3 Il caricamento di sicurezza e le basi tecniche del I ordine La differenza fra il premio puro e il premio equo L = P − E0[D]v (18) è positiva e prende il nome di caricamento di sicurezza. Quantifica in unità monetarie al tempo t0 l’avversione dell’assicuratore al rischio insito nell’operazione di assicurazione del danno D. La terminologia deriva dal fatto, già richiamato, che l’assicuratore non può praticare premi equi, altrimenti fallirebbe: deve quindi essere prudente, caricando i premi con il caricamento di sicurezza. Il caricamento di sicurezza si esprime spesso in percentuale del premio puro, come tasso di caricamento di sicurezza ℓ = L . (19) P È un caricamento implicito, che l’assicuratore non è tenuto a dichiarare all’assicurato, diversamente dal caricamento per spese, che invece deve essere normalmente dichiarato all’assicurato. Per considerare correttamente la propria avversione al rischio nel calcolare i premi l’assicuratore deve rinunciare alla semplicità di calcolo del premio equo. Come visto nel paragrafo 1.2, infatti, e tranne in casi particolari (come nell’esempio 1.2.1) il calcolo del premio puro deve essere condotto per via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l’avversione al rischio dell’assicuratore. Formalmente, si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I , i I ) di misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I , i I ) risulti uguale al premio puro P . Se si indica con E I l’aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che E I 0(D)(1 + i I ) −1 = P = E0(D)(1 + i) −1 + L . (20) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I , detto anche tasso tecnico è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i, mentre la distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. Per questo motivo la base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale. Esempio 1.3.1. Proseguendo l’esempio 1.2.1, nel caso d = 100 si ha un caricamento di sicurezza L = P − E0[D]v = 4.995017 − 4.761905 = 0.233112 , che corrisponde ad un tasso di caricamento ℓ = L P 0.233112 = = 4.6669% . 4.995017 Ogni base tecnica del I ordine (p I , i I ) deve soddisfare l’equazione p I (1 + i I ) −1 = P . Se, per esempio, si sceglie i I = i, la probabilità del I ordine p I è univocamente determinata e risulta p I = P (1 + i) d = 4.995017 × 1.05 100 = 5.2448% . c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 4
Se invece si pone p I = p, il tasso tecnico i I è univocamente determinato da i I = p d P − 1 = 0.05 × 100 4.995017 − 1 = 0.0998% . Nel caso invece di d = 500 si ottiene L = 6.591543 e ℓ = 21.6819%. Se si fissa il tasso tecnico i I al livello del tasso di mercato i, si ottiene p I = 6.3842%. Se invece si fissa la probabilità del I ordine, ad esempio al livello p I = 6.2%, si ottiene un tasso tecnico i I = 1.9701%. 1.4 La riserva matematica La riserva matematica di un contratto di assicurazione è l’importo monetario che l’assicuratore deve immobilizzare a fronte dell’impegno nei confronti dell’assicurato. In base a quanto visto nel paragrafo 1.1, nello schema uniperiodale considerato essa coincide con il premio puro. Detto in altri termini, la riserva matematica è il valore atteso scontato della prestazione, calcolato con la base tecnica del I ordine. Si noti che l’appostamento della riserva matematica non garantisce la solvibilità dell’assicuratore. Essa è infatti determinata in base alla prudenzialità, cioè all’avversione al rischio, dell’assicuratore. Il regolamentatore tipicamente richiede un’ulteriore immobilizzazione di capitale per garantire la solvibilità del contratto, il margine di solvibilità. c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 5
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Se invece si pone p I = p, il tasso tecnico i I è univocamente determinato da<br />
i I =<br />
p d<br />
P<br />
− 1 = 0.05 × 100<br />
4.995017<br />
− 1 = 0.0998% .<br />
Nel caso invece <strong>di</strong> d = 500 si ottiene L = 6.591543 e ℓ = 21.6819%. Se si fissa il tasso<br />
tecnico i I al livello del tasso <strong>di</strong> mercato i, si ottiene p I = 6.3842%. Se invece si fissa la<br />
probabilità del I or<strong>di</strong>ne, ad esempio al livello p I = 6.2%, si ottiene un tasso tecnico i I =<br />
1.9701%.<br />
1.4 La riserva <strong>matematica</strong><br />
La riserva <strong>matematica</strong> <strong>di</strong> un contratto <strong>di</strong> assicurazione è l’importo monetario che l’assicuratore<br />
deve immobilizzare a fronte dell’impegno nei confronti dell’assicurato. In base a quanto<br />
visto nel paragrafo 1.1, nello schema uni<strong>per</strong>ioda<strong>le</strong> considerato essa coincide con il premio puro.<br />
Detto in altri termini, la riserva <strong>matematica</strong> è il valore atteso scontato della prestazione,<br />
calcolato con la base tecnica del I or<strong>di</strong>ne.<br />
Si noti che l’appostamento della riserva <strong>matematica</strong> non garantisce la solvibilità dell’assicuratore.<br />
Essa è infatti determinata in base alla prudenzialità, cioè all’avversione al rischio,<br />
dell’assicuratore. Il regolamentatore tipicamente richiede un’ulteriore immobilizzazione<br />
<strong>di</strong> capita<strong>le</strong> <strong>per</strong> garantire la solvibilità del contratto, il margine <strong>di</strong> solvibilità.<br />
c○ C. Pacati 2005, <strong>Appunti</strong> IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 5
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