Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...
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Il fattore Φ(0, t − 1) è noto alla data t − 1 e <strong>per</strong> la proprietà <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza dall’importo si<br />
ha quin<strong>di</strong> che<br />
V t − 1, Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t) = Φ(0, t − 1) V t − 1, Φ(t − 1, t) = Φ(0, t − 1) u .<br />
Sostituendo si ottiene che<br />
V 0, Φ(0, t) = V (0, Φ(0, t − 1) u) .<br />
Poiché u è una costante, usando nuovamente l’in<strong>di</strong>pendenza dall’importo e applicando l’ipotesi<br />
induttiva si ha<br />
che conclude la <strong>di</strong>mostrazione.<br />
V 0, Φ(0, t) = u V (0, Φ(0, t − 1)) = u u t−1 = u t ,<br />
Per concludere l’analisi è opportuno calcolare <strong>le</strong> scomposizoni put e call del fattore<br />
<strong>di</strong> valutazione. Esse inducono naturalmente <strong>le</strong> scomposizioni put e call del valore della<br />
prestazione.<br />
A.2.2 La scomposizione put del fattore <strong>di</strong> valutazione<br />
La scomposizione put del fattore <strong>di</strong> rivalutazione è<br />
Φ(0, t) = Φ base (0, t) + Φ put (0, t) ,<br />
dove Φ base (0, t) è calcolato come Φ(0, t) ma con la successione dei tassi <strong>di</strong> rivalutazione base<br />
ρ base<br />
k<br />
= βIk − i<br />
1 + i<br />
cioè<br />
Φ base t<br />
(0, t) = (1 + ρ<br />
k=1<br />
base<br />
k ) ,<br />
e la componente put del fattore <strong>di</strong> valutazione è<br />
Lemma A.2.6. Se t = 1 si ha che<br />
Φ put (0, t) = Φ(0, t) − Φ base (0, t) .<br />
,<br />
V 0, Φ base (0, 1) = 1 −r <br />
(1 − β) e + β . (222)<br />
1 + i<br />
Dimostrazione. Ripetendo l’analisi fatta <strong>per</strong> Φ(0, 1) nella <strong>di</strong>mostrazione del <strong>le</strong>mma A.2.2, si<br />
ha che<br />
Φ base (0, 1) = 1 + ρ base<br />
1<br />
= 1<br />
(1 + βI1)<br />
1 + i<br />
= 1<br />
<br />
1 + β<br />
1 + i<br />
S1<br />
<br />
− β<br />
S0<br />
= 1<br />
<br />
1 − β +<br />
1 + i<br />
β<br />
<br />
S1<br />
Il valore <strong>di</strong> mercato del fattore <strong>di</strong> rivalutazione base è quin<strong>di</strong> <strong>per</strong> linearità<br />
S0<br />
V 0, Φ base (0, 1) = 1 −r <br />
(1 − β) e + β .<br />
1 + i<br />
c○ C. Pacati 2005, <strong>Appunti</strong> IMAAV, appen<strong>di</strong>ce (v. 26/12/2005) pag. 61<br />
.