Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...
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dove<br />
d1 =<br />
log S0<br />
K<br />
+ r + 1<br />
2 σ2<br />
σ<br />
= r − log<br />
<br />
1 + i<br />
β<br />
σ<br />
<br />
+ 1<br />
2 σ2<br />
Sostituendo nella (218) l’espressione (219) si ottiene l’asserto.<br />
, d2 = d1 − σ .<br />
Osservazione A.2.3. Poiché il membro destro della (215) non <strong>di</strong>pende da S0, che riassume<br />
<strong>le</strong> con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> mercato alla data zero <strong>di</strong> valutazione, il risultato ottenuto nel <strong>le</strong>mma A.2.2<br />
non <strong>di</strong>pende separatamente dalla data <strong>di</strong> valutazione zero e dalla scadenza 1, ma solo dalla<br />
durata unitaria. Se si pone <strong>per</strong>tanto<br />
u = 1 −r<br />
(1 − β) e + β N(d1) + (i + β) e<br />
1 + i<br />
−r N(−d2) ,<br />
si può estendere il risultato del <strong>le</strong>mma:<br />
V t − 1, Φ(t − 1, t) = u <strong>per</strong> ogni t > 0. (220)<br />
Osservazione A.2.4. Il fattore unitario <strong>di</strong> valutazione u può essere scritto nella forma equiva<strong>le</strong>nte<br />
Infatti N(−d2) = 1 − N(d2) e quin<strong>di</strong><br />
u = 1 −r<br />
(1 + i) e + β N(d1) − (i + β) e<br />
1 + i<br />
−r N(d2) .<br />
(1 − β) e −r + (i + β) e −r N(−d2) = (1 − β) e −r + (i + β) e −r − (i + β) e −r N(d2)<br />
Teorema A.2.5. Per ogni t > 0 intero si ha<br />
= (1 + i) e −r − (i + β) e −r N(d2) .<br />
V 0, Φ(0, t) = u t , (221)<br />
Dimostrazione. La <strong>di</strong>mostrazione procede <strong>per</strong> induzione su t.<br />
Per t = 1, base dell’induzione, l’asserto è stato <strong>di</strong>mostrato nel <strong>le</strong>mma A.2.2.<br />
Assunto quin<strong>di</strong> vero il risultato <strong>per</strong> t − 1:<br />
V 0, Φ(0, t − 1) = u t−1 ,<br />
osserviamo anzitutto che, <strong>per</strong> l’assenza <strong>di</strong> arbitraggi non rischiosi 25 , risulta<br />
Poiché<br />
Φ(0, t) =<br />
si ottiene quin<strong>di</strong> che<br />
V 0, Φ(0, t) = V 0, V t − 1, Φ(0, t) .<br />
t<br />
<br />
t−1 <br />
(1 + ρk) = (1 + ρk) (1 + ρt) = Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t) ,<br />
k=1<br />
k=1<br />
V 0, Φ(0, t) = V 0, V t − 1, Φ(0, t − 1) Φ(t − 1, t) <br />
25 Se si considera al tempo t un contratto che al tempo s > t paga l’importo Xs, <strong>per</strong> l’ipotesi <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong><br />
arbitraggi non rischiosi è sempre vero che <strong>per</strong> ogni data interme<strong>di</strong>a T (t ≤ T ≤ S) il contratto che paga in T<br />
l’importo YT = V (T, Xs) ha prezzo si mercato in t<br />
V (t, YT ) = V t, V (T, Xs) = V (t, Xs) .<br />
c○ C. Pacati 2005, <strong>Appunti</strong> IMAAV, appen<strong>di</strong>ce (v. 26/12/2005) pag. 60