Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

1.3 Il caricamento di sicurezza e le basi tecniche del I ordine
La differenza fra il premio puro e il premio equo
L = P − E0[D]v (18)
è positiva e prende il nome di caricamento di sicurezza. Quantifica in unità monetarie al tempo
t0 l’avversione dell’assicuratore al rischio insito nell’operazione di assicurazione del danno D.
La terminologia deriva dal fatto, già richiamato, che l’assicuratore non può praticare premi
equi, altrimenti fallirebbe: deve quindi essere prudente, caricando i premi con il caricamento
di sicurezza.
Il caricamento di sicurezza si esprime spesso in percentuale del premio puro, come tasso
di caricamento di sicurezza
ℓ = L
. (19)
P
È un caricamento implicito, che l’assicuratore non è tenuto a dichiarare all’assicurato, diversamente
dal caricamento per spese, che invece deve essere normalmente dichiarato all’assicurato.
Per considerare correttamente la propria avversione al rischio nel calcolare i premi l’assicuratore
deve rinunciare alla semplicità di calcolo del premio equo. Come visto nel paragrafo 1.2,
infatti, e tranne in casi particolari (come nell’esempio 1.2.1) il calcolo del premio puro deve
essere condotto per via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. Per ovviare a
questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo
la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l’avversione al rischio dell’assicuratore.
Formalmente, si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I , i I ) di
misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I , i I )
risulti uguale al premio puro P . Se si indica con E I l’aspettativa calcolata con la misura di
probabilità prob I ciò significa che
E I 0(D)(1 + i I ) −1 = P = E0(D)(1 + i) −1 + L . (20)
In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I ,
detto anche tasso tecnico è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i,
mentre la distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi
del danno D. Per questo motivo la base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica
prudenziale.
Esempio 1.3.1. Proseguendo l’esempio 1.2.1, nel caso d = 100 si ha un caricamento di
sicurezza
L = P − E0[D]v = 4.995017 − 4.761905 = 0.233112 ,
che corrisponde ad un tasso di caricamento
ℓ = L
P
0.233112
= = 4.6669% .
4.995017
Ogni base tecnica del I ordine (p I , i I ) deve soddisfare l’equazione
p I (1 + i I ) −1 = P .
Se, per esempio, si sceglie i I = i, la probabilità del I ordine p I è univocamente determinata e
risulta
p I =
P (1 + i)
d
= 4.995017 × 1.05
100
= 5.2448% .
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 4