Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

tasso di rivalutazione al livello minimo garantito ρ gar
t
essere scritta nella forma
ρ put
t
= max ρ gar
t − βIt
− i
, 0
1 + i
che è in un certo senso ridondante (perchè ρ gar
t
= 0. La componente put può anche
,
= 0), ma la rende più “riconoscibile” come
opzione put.
Un altro modo interessante di vedere il fenomeno è la scomposizione call del tasso di
rivalutazione:
con
ρ call
t
= ρt − ρ gar
t
ρt = ρ gar
t
+ ρcall
t , (212)
βIt − i
= max − ρgar t , 0
1 + i
, (213)
che mostra come il tasso di rivalutazione possa essere visto come il suo livello minimo garantito
più un’opzione call che retrocede l’eventuale sovrarivalutazione oltre quella minima garantita.
Osservazione 6.3.1. Si noti che il tasso di rivalutazione minimo garantito ρ gar
t
= 0 corrisponde
ad un minimo per il rendimento di gestione di i. Come visto nel paragrafo 6.2.1, infatti,
l’assicuratore si impegna contrattualmente a rivalutare gli attivi di almeno il tasso tecnico
i, che rappresenta quindi il rendimento minimo garantito del contratto. Il livello i/β ≥ i è
invece il livello del rendimento di gestione, al di sotto del quale l’assicuratore non riesce a
trattenere la frazione 1 − β del rendimento; è quindi un obiettivo “di secondo livello” per la
gestione, essendo il tasso tecnico quello di “primo livello”.
Tralasciando il caso di retrocessione della rivalutazione sotto forma di cedole, nei casi
più frequenti la regola di rivalutazione delle prestazioni è di tipo ricorrente. La componente
opzionale della rivalutazione (put o call, a seconda del punto di vista) si applica ai livelli
delle prestazioni risultati dalle rivalutazioni degli anni precedenti, nei quali le corrispondenti
componenti opzionali potrebbero essere a loro volta scattate. Le componenti opzionali della
rivalutazione di ogni anno vanno quindi a comporsi con quelle degli anni precedenti; sono
pertanto opzioni cliquet (o ratchet), nelle quali la rivalutazione di ogni anno consolida. In particolare,
non si possono compensare anni “cattivi”, con rendimento di gestione insufficiente,
con anni “buoni”.
Esempio 6.3.1. Si consideri il caso di una polizza con β = 80%, i = 4% e durata n = 2 anni.
Si consideri il caso di I1 = 8% e I2 = 3%. Come visto nell’analisi dell’esempio 6.2.1, nel primo
anno il rendimento di gestione è ottimale:
80% × 8% − 4%
ρ1 = max
, 0 =
1 + 4%
2.4%
≈ 2.31% .
1.04
Dal punto di vista della scomposizione put si ha pertanto
ρ base
1 = ρ1 ≈ 2.31% , e ρ put
1 = ρ1 − ρ base
1 = 0 .
La l’opzione put protettiva non scatta (non c’è nulla da proteggere) e la componente base
coincide con il tasso di rivalutazione. Dal punto di vista della scomposizione call, risulta
ρ gar
1
= 0 , e ρcall
1
= ρ1 − ρ gar
1 = ρ1 ≈ 2.31% .
La componente call coincide con il tasso di rivalutazione, che è tutto sovrarivalutazione
rispetto al minimo ρ gar
1 = 0.
Nel secondo anno la situazione è invece pessima:
80% × 3% − 4%
ρ2 = max
, 0 = 0,
1 + 4%
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 50