Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Osservazione 6.2.5. La regola di rivalutazione della prestazione per l’ultimo anno della polizza
dell’esempio 6.2.8 è
Cn = Cn−1(1 + ρn) − C0 nux 0äx+n
Poiché 0äx+n = 0, il termine correttivo si annulla e si ha
Cn = Cn−1(1 + ρn) ,
ρn .
0ux+n näx
cioè nell’ultimo anno di polizza la rivalutazione è piena. Lo stesso accade anche per l’approssimazione
agli ennesimi, essendo
Cn = Cn−1(1 + ρn) − C0
n − n
n ρn = Cn−1(1 + ρn) ,
corentemente con l’interpretazione del termine correttivo fatta nell’osservazione 6.2.4: al
tempo n tutti i premi contrattualmente previsti sono stati pagati.
Esempio 6.2.9. In riferimento all’esempio 6.2.8, se la prestazione prevista è di tipo misto anziché
di capitale differito, il risultato che si ottiene è formalmente analogo. L’unica differenza è
nell’espresione del tasso di premio unico puro (che è ovviamente la stessa della mista a premio
unico). Anche in questo caso la regola di rivalutazione può essere efficacemente approssimata
con la regola degli ennesimi.
Esempio 6.2.10. In una polizza di capitale differito o mista a premio annuo costante, con
rivalutazione delle prestazioni a premio unico di inventario, si può ripetere il procedimento
dell’esempio 6.2.8, adattandolo alla presenza del tasso di caricamento non nullo n−tgx+t.
L’espressione che si ottiene è
Ct = Ct−1 [1 + (1 − n−tgx+t) ρt] − C0 nux n−täx+t
n−tux+t näx
(1 − n−tgx+t) ρt ,
dove naturalmente il tasso di premio unico puro n−tux+t è quello della polizza specifica (mista
o capitale differito). Come nel caso delle polizze corrispondenti a premio unico, la rivalutazione
è minore di quella del caso a premio unico puro, per la presenza del termine (1 − n−tgx+t) <
1.
Esempio 6.2.11. Nel caso di una polizza di rendita vitalizia, immediata o differita, temporanea
o meno, anticipata o posticipata, i risultati che si ottengono sono analoghi a quelli della
polizza di capitale differito. L’analogia dipende dal fatto che nella polizza di capitale differito
la riserva prestazioni e il premio unico puro sono proporzionali al capitale assicurato, mentre
nella polizza di rendita la proporzionalità è rispetto alla rata della rendita assicurata.
Nella cartella Excel lab6.xls sono proposti esempi numerici di trasformazione dell’utile
retrocesso in rivalutazione delle prestazioni.
6.2.4 Retrocessione sotto forma di rivalutazione di premi e prestazioni
Come visto nell’analisi delle regole di rivalutazione delle polizze a premio annuo, la rivalutazione
delle prestazioni è “frenata”, rispetto alla rivalutazione piena, dal fatto che non
tutti i premi sono stati pagati. Non è infatti possibile rivalutare le prestazioni in modo pieno
perché si romperebbe l’equilibrio della polizza: per finanziare l’incremento di riserva sarebbe
necessario un importo maggiore dell’utile da retrocedere. Una soluzione per ovviare a questo
problema è di rivalutare anche il premio annuo che l’assicurato corrisponde; la rivalutazione
riguarda naturalmente solo i premi ancora da versare. Illustriamo questo procedimento per il
caso di una polizza mista a premio annuo rivalutabile.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 48